Задача 3-4

Задача 3.4 Знайти площу фігури обмеженої лініями:

Обчислити об’єм тіла, одержаного обертанням навколо осі Оy фігури, що обмежена лініями.

, при x>0

1) Площа

Намалюємо графік двох функції та

– це парабола з вершиною

Перетин з віссю Ox: Перетин з віссю Oy:

– це пряма

Достатньо 2-ох точок для побудови (3;0) та (0;9)

Для знаходження площі отриманої фігури знайдемо розв’язки системи рівнянь

За т. В.

Графіки перетинаються у точках

(-7;30) та (1;6) отже інтегруємо на відрізку від -7 до 1

2) Об’єм Ox

Намалюємо графіки функції ,

– це парабола з вершиною

Перетин з віссю Ox: Перетин з віссю Oy:

– це пряма

Достатньо 2-ох точок для побудови (3;0) та (0;9)

– це пряма яка співпадає з віссю ординат

Нижню границю маємо з умови x=0

Верхню знайдемо у точці перетину графіків

За т. В.

за умовою x>0

отже інтегруємо на відрізку від 0 до 1

2) Об’єм Oy

Намалюємо графіки функції ,

– це парабола з вершиною

Перетин з віссю Ox: Перетин з віссю Oy:

– це пряма

Достатньо 2-ох точок для побудови (3;0) та (0;9)

– це пряма яка співпадає з віссю ординат

Аби знайти об’єм цієї фігури, розглянемо його як суму об’єму фігури утвореною обертанням прямої та об’єму фігури утвореною обертанням частинки параболи навколо осі ординат, точкою розрізу буде точка перетину графіків

За т. В.

Тепер необхідно знайти точки перетину графіків з віссю ординат

Для параболи це:

Для прямої це:

Знайдемо об’єм першої фігури:

Знайдемо об’єм другої фігури:

Додаємо: