Вопросы к экзамену по курсу высшей математики для студентов 1-го курса географического факультета.

.

1. Предмет высшей математики. Исторические сведения. Понятие о роли математики в географии. Понятие о комплексных числах.

2. Метод координат на плоскости. Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости: нахождение расстояния между двумя точками, деление отрезка в данном отношении, вычисление площади треугольника.

3. Полярные координаты. Преобразования прямоугольной системы координат: параллельный перенос, поворот осей координат.

4. Уравнение линии на плоскости. Различные виды уравнений прямой на плоскости. Общее уравнение прямой.

5. Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых. Расстояние от точки до прямой.

6. Эллипс. Вывод канонического уравнения эллипса. Эксцентриситет эллипса, его геометрический смысл. Фокальные радиусы.

7. Гипербола. Вывод канонического уравнения. Эксцентриситет гиперболы, его геометрический смысл. Фокальные радиусы. Директрисы эллипса и гиперболы.

8. Парабола. Уравнение параболы. Фокальный параметр параболы.

9. Общее уравнение линии второго порядка. Приведение уравнения линии второго порядка к каноническому виду.

10. Матрицы. Основные определения. Операции над матрицами (сумма, произведение, умножение на число). Свойства операций. Применение матриц в географии.

11. Определители второго и третьего порядков. Свойства. Вычисление определителей. Теорема Лапласа (без док-ва). Миноры и алгебраические дополнения. Обратная матрица. Условие существования обратной матрицы.

12. Системы линейных алгебраических уравнений. Метод Крамера. Метод Гаусса. Однородные системы и методы их решения.

13. Числовые последовательности, способы их задания. Ограниченные и неограниченные последовательности. Монотонные последовательности. Определение предела последовательности. Сходящиеся и расходящиеся последовательности. Геометрический смысл понятия предела. Свойства сходящихся последовательностей.

14. Бесконечно малые последовательности, их свойства. Теорема о связи сходящейся и бесконечно малой последовательности. Бесконечно большие последовательности. Связь между бесконечно малой и бесконечно большой последовательностью. Теорема об арифметических операциях над пределами. Существование предела монотонной ограниченной последовательности. Число е.

15. Предел функции на бесконечности. Различные виды определений предела функции в точке. Геометрическая интерпретация. Односторонние пределы. Свойства функций, имеющих предел. Бесконечно малые и бесконечно большие функции, их свойства. Замечательные пределы. Вычисление пределов.

16. Непрерывность функции в точке. Свойства функций, непрерывных в точке. Арифметические действия над непрерывными функциями. Непрерывность основных элементарных функций. Односторонняя непрерывность. Точки разрыва и их классификация. Свойства функций непрерывных на отрезке (без док-ва).

17. Определение производной, ее геометрический и физический смысл. Дифференцируемые и недифференцируемые функции. Уравнение касательной и нормали. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью. Скорость перемещения и уклон земной поверхности как производные.

18. Основные правила дифференцирования. Производные основных элементарных функций. Производная сложной функции. Производная обратной функции.

19. Дифференциал функции, применение дифференциала к приближенным вычислениям. Производные и дифференциалы высших порядков.

20. Основные теоремы дифференциального исчисления (Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши). Правило Лопиталя.

21. Исследование функций на возрастание и убывание. Достаточные условия экстремума функции в точке. Исследование функции на выпуклость. Точки перегиба. Асимптоты графика функции. Общая схема исследования функции.

22. Первообразная и неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла. Таблица интегралов. Основные методы интегрирования: непосредственное интегрирование, метод подстановки, интегрирование по частям.

23. Интегрирование рациональных дробей с квадратным трехчленом в знаменателе. Интегрирование рациональных функций.

24. Определенный интеграл: определение, геометрический и физический смысл. Условия интегрируемости функций. Свойства определенного интеграла. Теорема о среднем.

25. Интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона – Лейбница. Замена переменной в определенном интеграле. Интегрирование по частям.

26. Приложения определенного интеграла: вычисление площадей плоских фигур, длины дуги плоской кривой, объемов геометрических тел. Применение интегрирования в географии. Вычисление объёмов холмов, вулканов.

27. Несобственные интегралы (интегралы с бесконечными пределами и интегралы от неограниченных функций).

28. Функции нескольких переменных. Частные и полное приращения. Частные производные и полный дифференциал. Дифференцирование сложных и неявных функций.

29. Экстремум функции нескольких переменных. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума (без док-ва). Условный экстремум. Метод наименьших квадратов.

30. Дифференциальные уравнения первого порядка. Общее и частное решения. Начальные условия. Уравнения с разделяющимися переменными. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка (определение и метод решения). Линейные дифференциальные уравнения.

31. Дифференциальные уравнения второго порядка. Простейшие типы дифференциальных уравнений второго порядка (y^”=f(x); y^”=f(y); y^”=f(y^’)), способы их решения. Случаи понижения порядка. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, метод решения. Приложения дифференциальных уравнений в географии.

32. Элементы теории множеств. Перестановки, размещения и сочетания.

1. Основы теории вероятностей. Классификация событий. Действия над событиями. Классическое определение вероятности. Теорема сложения вероятностей.

2. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей. Независимость случайных событий. Формула полной вероятности, формула Байеса. Формула Бернулли.

3. Линейное программирование, основные понятия. Задача о наилучшем использовании ресурсов. Задача о смесях. Графическое решение задачи линейного программирования с двумя переменными.

4. Транспортная задача. Опорный план, оптимальный план. Отыскание исходного опорного плана (метод северо-западного угла и метод минимального элемента). Решение транспортной задачи методом потенциалов.

5. Основные понятия теории графов. Транспортная задача в сетевой постановке, алгоритм решения. Потоки на сетях. Задача о максимальном потоке, алгоритм решения.

Примерные варианты итогового контроля

География, ГИС, геоэкология.