Лабораторная работа №2
Сложение гармонических колебаний
Цель работы: Изучить биения и сложение двух взаимно перпендикулярных колебаний с помощью электронного осциллографа.
Оборудование и принадлежности: осциллограф универсальный С1-65, звуковой генератор, соединительные провода.
Контрольные вопросы:
1. Уравнение и график гармонических колебаний.
2. Что такое гармоническое колебание, его уравнение и график.
Колебания - движения или процессы, обладающие той или иной повторяемостью во времени. Простейшим типом колебаний являются гармонические колебания – колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется со временем по закону синуса (косинуса) и описываются уравнением типа
x = А соs (t + 0),
где А – максимальное значение колеблющейся величины, называемое амплитудой колебания, – круговая (циклическая) частота, 0 или 0 – начальная фаза колебания в момент t=0, (t + 0) – фаза колебания в момент времени t. Фаза колебания определяет значение колеблющейся величины в данный момент времени. Так как косинус изменяется в пределах от +1 до –1, то х может принимать значения от +А до –А.
Определенные состояния системы, совершающей гармонические колебания, повторяются через промежуток времени Т, называемой периодом колебания, за который фаза колебания получает приращение 2.
Т= 2
Величина, обратная периоду колебаний, = 1/Т называется частотой колебаний и равна числу полных колебаний, совершаемых в единицу времени. Откуда =2. Единица частоты - герц (Гц). 1 Гц – частота периодического процесса, при которой за 1 с совершается 1 цикл процесса.
Гармонические колебания могут изображаться графически методом вращающегося вектора амплитуды, или методом векторных диаграмм.
Возьмем ось, вдоль которой будем откладывать колеблющуюся величину x (рис.1). Из взятой на оси точки О отложим вектор длины A, образующий с осью угол . Если привести этот вектор во вращение с угловой скоростью ω, то проекция конца вектора будет перемещаться по оси x в пределах от -А до +A, причем координата этой проекции будет изменяться со временем по закону
Следовательно, проекция конца вектора на ось будет совершать гармонические колебания с амплитудой, равной длине вектора, с круговой частотой, равной угловой скорости вращения вектора, и с начальной фазой, равной углу, образуемому вектором с осью в начальный момент времени.
Таким образом, гармоническое колебание может быть задано с помощью вектора, длина которого равна амплитуде колебания, а направление образует с осью x угол, равный начальной фазе колебаний.
Представление гармонических колебаний с помощью векторов позволяет заменить сложение функций сложением векторов, что значительно проще.
3. При каких условиях наблюдаются биения?
Рассмотрим сложение двух гармонических колебаний, происходящих вдоль одной прямой с частотами ω1 и ω2, незначительно отличающихся друг от друга. (Ω=( |ω1 - ω2 |<< ω1 и Ω<< ω2 ).Пусть в начальный момент времени фазы складываемых колебаний одинаковы. Тогда эти колебания запишутся в виде
и (4)
Найдем сумму двух таких колебаний, предположив для простоты сначала, что их амплитуды одинаковы (A1 = A2): Отсюда видно, что результирующее колебание (биение) происходит с частотой (ω1+ω2)/2, а амплитуда колебаний со временем изменяется в пределах от 2A1 до 0 по закону (рис. 3). Значение 2A1 достигается тогда, когда фазы складываемых колебаний совпадают, а нуль - когда фазы противоположны. Периодическое изменение результирующей амплитуды, получающееся при сложении колебаний, совершающихся с близкими частотами и вдоль одной прямой, называют биениями. Циклическая частота биений Ω= |ω1 - ω2 |, период биений Т = 2π/ Ω (рис.3) и частота биений
νб = 1/Tб = |ν1 - ν2 |, где ν1 и ν2- частоты складываемых колебаний.
Если амплитуды складываемых колебаний не равны (A1 # A2), то максимальное значение амплитуды результирующего колебания равно A1+A2, а минимальное А1-А2. В этом случае биения выражены менее четко (рис.4). Частоты Ω, νб и период Tб определяются разностью частот складываемых колебаний и не зависят от их амплитуд и начальных фаз.
Сложение колебаний во взаимно перпендикулярных направлениях.
Представим две взаимно перпендикулярные векторные величины x и y, изменяющиеся со временем с одинаковой частотой ω по гармоническому закону
(6) где ex и eу — орты координатных осей x и y, А и B — амплитуды колебаний. Величинами x и у может быть, например, смещения материальной точки (частицы) из положения равновесия. В случае колеблющейся частицы величины
, , (7)
определяют координаты частицы на плоскости xy. Частица будет двигаться по некоторой траектории, вид которой зависит от разности фаз обоих колебаний. Выражения (6) представляют собой заданное в параметрической форме уравнение этой траектории. Чтобы получить уравнение траектории в обычном виде, нужно исключить из уравнений (6) параметр t. Из первого уравнения следует, что
(8)
Соответственно (9)
Развернем косинус во втором из уравнений (6) по формуле для косинуса суммы:
Подставим вместо cosωt и sinωt их значения (3) и (4):
Преобразуем это уравнение
(10)
Это уравнение эллипса, оси которого повернуты относительно координатных осей х и у. Ориентация эллипса и его полуоси зависят довольно сложным образом от амплитуд A и В и разности фаз α.
Попробуем найти форму траектории для нескольких частных случаев.
-
Разность фаз α равна нулю.
В этом случае уравнение (10) упрощается следующим образом:(11)
Отсюда получается уравнение прямой:
Результирующее движение является гармоническим колебанием вдоль этой прямой с частотой ω и амплитудой, равной (рис. 5а).