Министерство образования и науки Российской Федерации Московский государственный институт электронной техники (технический университет)

Сборник заданий

для самостоятельной работы студентов по курсу «Основы математического анализа»

Часть 2

Неопределенный и определенный интегралы.

Функции многих переменных

Под редакцией кандидата физико-математических наук, доцента С.Г. Кальнея

Утверждено редакционно-издательским советом института

Москва 2005

3

УДК 517(075.8)

Рецензент канд. физ.-мат. наук, доц. Т.В. Соколова

Борзистая Е.Л., Еремченко Д.В., Епихин В.Н., Кальней С.Г., Клюшин А.В., Ходеева Т.В.

Сборник заданий для самостоятельной работы студентов по курсу «Основы математического анализа». Часть 2: Неопределенный и определенный интегралы. Функции многих переменных / Под ред.

С.Г. Кальнея. - М.: МИЭТ, 2005. - 52 с.

Сборник предназначен для студентов 1-го курса технических факультетов МИЭТ для самостоятельной работы по курсу «Основы математического анализа». Сборник содержит тематические наборы по 30 заданий примерно равной сложности по разделам «Неопределенный интеграл. Определенный интеграл. Приложения определенного интеграла. Функции многих переменных». Из заданий сборника могут формироваться семестровые домашние задания, варианты контрольных и самостоятельных работ, индивидуальные задания.

Сборник заданий составлен преподавателями кафедр высшей математики МИЭТ.

ãМИЭТ, 2005

4

Борзистая Екатерина Леонидовна Еремченко Дмитрий Васильевич Епихин Валерий Николаевич Кальней Сергей Григорьевич Клюшин Александр Викторович Ходеева Татьяна Владимировна

Сборник заданий для самостоятельной работы студентов по курсу «Основы математического анализа». Часть 2. Неопределенный и определенный интегралы. Функции многих переменных.

Текст печатается в авторской редакции.

Подписано в печать с оригинал-макета 20.06.05. Формат 60x84 1/16. Печать офсетная. Бумага офсетная. Гарнитура Times New Roman. Усл. печ. л. 3,02.

Уч.-изд. л. 2,6. Тираж 1000 экз. Заказ 119.

Отпечатано в типографии ИПК МИЭТ.

124498, Москва, Зеленоград, проезд 4806, д. 5, МИЭТ.

5

Введение

Освоение студентами курса математического анализа невозможно без большой внеаудиторной работы. Одной из наиболее эффективных форм самостоятельной работы

является выполнение индивидуальных семестровых домашних заданий по отдельным дисциплинам высшей математики. Применение системы семестровых домашних заданий (называемых также типовыми расчетами) рекомендовано научно-методическим советом по математике при Министерстве образования и науки Российской Федерации. Поэтому

учебные планы дисциплин включают в качестве контрольных мероприятий кроме коллоквиумов и контрольных работ, семестровые домашние задания.

Задания сборника разбиты по темам, причем каждые 30 задач на определенную тему имеют примерно одинаковую сложность. Каждый студент решает одну из задач в соответствии с номером своего варианта. Номер варианта определяется преподавателем, ведущим практические занятия.

В индивидуальные домашние задания могут включаться не все задачи сборника. Группы задач, которые в конкретном учебном году должны быть решены студентами, определяются лектором потока.

Задачи решаются студентами самостоятельно по мере прохождения соответствующих тем и сдаются на проверку преподавателю в установленные сроки. Неверно решенные задачи возвращаются на доработку. Порядок сдачи (защиты) семестрового домашнего задания определяется преподавателем. Сдача студентом семестрового задания – необходимое условие выполнения семестрового плана по дисциплине (получения зачета).

Сборник заданий содержит задачи по следующим разделам курса математического анализа: неопределенный и определенный интегралы, приложения определенных интегралов, функции многих переменных (частные производные, экстремумы, нахождение наибольших и наименьших значений на замкнутых ограниченных областях). В некоторые разделы включены задачи большей сложности, которые могут предлагаться отдельным студентам.

Сборник не содержит теоретических сведений, необходимых для решения задач, так

как является дополнительным пособием к учебникам по математическому анализу и сборникам задач по высшей математике, используемым при проведении практических занятий в соответствии с семестровыми планами.

Настоящее пособие – второе, существенно переработанное и дополненное издание сборника заданий для самостоятельной работы студентов по курсу «Основы математического анализа» часть 2, опубликованного в РИО МИЭТ в 1994 г. При

переработке сборника учтен опыт выполнения студентами семестровых домашних заданий, при этом значительное внимание уделено обеспечению примерно равной трудности заданий по каждой теме.

6

sin2 x

1. Неопределенный интеграл

Применив табличные интегралы и подведение под знак дифференциала, найти неопределенные интегралы.

æ	1		ö	æ	1		ö
1.1. òç		+ x2	÷	×ç x -			÷dx .
					x	2
è x			ø	è			ø

ò

æ

1

ö

+ 3 x

1.3.

x×ç

÷dx .

5

ç

x

2

÷

è

ø

1.5. ò

x3 cos x - 2x2 + 4

dx .

x

3

1.7. ò

5x4 +1

dx .

x

5

+ x

+ 3

1.9.òctgæç1+ 2 xö÷dx .

è3 ø

1.11.òtgæç 2x + p ö÷dx .

è3 ø

	ò	æ1+ x					ö2
1.13.		ç					÷ dx .
		è x					ø
1.15. ò					sin x					dx .
			3cos			2
							x -1
1.17. ò					x				dx .
				1- x4

1.19. ò xdxln x .

1.21. òctg(5x + 2)dx .

1.23. ò	5			2x+1				dx .
		2x +1
1.25. ò				x				dx .
		9 - x2
1.27. ò(1			+ 8x)26 dx .

1.2. ò

ex + 3x

dx .

2

x

æ

3

ö

ò

5

x

1.4.

ç x×

x

-

÷dx .

2

ç

x

÷

è

ø

1.6. ò3 + sin3 x + ex ×sin2 x dx .

1.8. ò

dx

.

1- x2 ×arccos x

1.10. ò(x + 2)×3x2 +4x dx .

1.12. ò

x

dx .

1+ 25x2

1.14. òx ×

7 - x2 dx .

1.16. ò

dx

.

(4

+ tg

2

x)

×cos

2

x

1.18. ò

3x

dx .

3

x

+1

1.20.òarctg2 x dx .

1+ x2

1.22.òxe2x2 +1dx .

1.24. ò1+x2x6 dx .

1.26. òarcsin3 x dx .
			1- x2
1.28. ò			sin x			dx .
	1		+ cos	2
					x

1.29.	òx3 ×cos(x4 +1)dx .
1.31.	ò(2x -1)99 dx .
1.33.	ò(1+ 4x)19 dx .

1.35. òarcsin2 x dx .

1- x2

1.37. òe(2 x +1) dx .

x

1.39. ò(7x +1)81 dx .

1.30. ò8(3x + 2)3 dx . 1.32. ò(1- 2x)77 dx . 1.34. ò52x +1dx .

1.36. ò(x -1)x2 - 2x + 5dx .

1.38. ò xx-+11dx . 1.40. ò(1- 3x)43 dx .

7

1.41. ò(2x + 3)109 dx .

1.43.òarcsin 2x dx .

1- 4x2

1.45. ò	e		x+2		dx .
		x + 2
1.47. ò(1+ 3x)39 dx .
1.49. ò(2x + 7)84 dx .
1.51. òx ×sin(x2						+1)dx .
1.53. òx ×sin(x2						+1)dx .

1.55. ò(1+ 9x)26 dx .

1.57.ò 7x6 -15x2 dx .

x7 - 5x3 + 2

ex+1

1.59.ò 2 x +1 dx .

1.61. ò		cos x						dx .
	7
			sin		5
						x
1.63. ò				x -1						dx .
			x	2	- 2x + 6

1.65.ò4x3 + 50x dx .

x4 + 25x2

1.67. ò		2x -1		dx .
		2
		4x - 4x + 5

òsin 2x

1.69.10 + cos2x dx .

1.71. ò			ex						dx .
					x	)	2
	(2 + 3e
1.73. ò		cos3x							dx .
	4	-sin			2	3x
1.75. ò		x2
				dx .
	x	3
			-1

1.77. òarctg2x dx .

1+ 4x2

1.79. òcos2x×sin3 2xdx . 1.81. ò(x2 + 2)ex3 +6xdx .

1.83. òarctg3x dx .

1+ 9x2

1.42. ò11 5x + 3dx . 1.44. ò8(4x + 9)7 dx .

1.46. ò

(x - 3)3

dx .

x

1.48. ò(x +1)

x2 + 2x + 2 dx .

1.50. ò

ex

dx .

x

e

+ 2

1.52. ò7

dx .

9x + 2

1.54. ò

2x +1

dx .

x - 4

1.56. ò(1+ 7x)48 dx .

1.58. ò13

dx .

(5x + 2)3

1.60. ò

cos x

dx .

sin

2

x

-

1

1.62. ò

dx

.

2

4

cos

x ×

tg x +

3

1.64. ò

sin 2x

dx .

3

cos

2

2x

1.66. ò

×e

x3 dx .

x

1.68. ò

dx

.

cos

2

x

×(4 - tg

2

x)

1.70.òln(x -5) dx .

x-5

1.72. ò

e

−2x

dx .

2

+

3e

−2x

1.74. ò

ex

dx .

1- e2x

1.76. òx×e−

x2

2

dx .

1.78. ò

ln2 x

dx .

x

1.80. ò

sin x

dx .

2

1+ cos

x

òsin x

1.82.(1+ cos x)45 dx .

1.84.òlnx3 x dx .

8

1.85. ò

dx

.

1.86. ò

cos x

dx .

x×ln2x

2

2 + sin

x

tg x

1.87. òcos8x×sin8x dx .

1.88. ò

e

dx .

2

ln x + ln2 x

cos

x

1.89. ò

dx .

1.90. ò

tg x + 3

dx .

2

x

cos

x

Применив формулу интегрирования по частям, вычислить интегралы.

1.91. ò(3x + 2)cos5xdx . 1.93. òx2 ×3x dx .

1.95. ò(x -1) ×ln xdx .

1.97. ò(2x -1)cos xdx . 1.99. òx2e−xdx . 1.101. òarccos1+ xx dx .

1.103. ò(5x - 2)sin 3x dx . 1.105. òx2 cos3xdx .

1.107. òarccos2x dx .

1- 2x

1.109. ò(2 - 9x)cos5xdx . 1.111. òx2 sin 2x dx . 1.113. òarcsin3xdx . 1.115. ò(1- 4x)sin 2x dx .

1.117. òarcsin 3x dx .

1- 3x

1.119. òxex dx .

− x

1.121. òx2e 2 dx . 1.123. òx2 cos3xdx . 1.125. òx ln 2xdx .

1.127. òarctg5xdx . 1.129. òx3 ln xdx . 1.131. òln (2 + x2 )dx . 1.133. òx × 2x dx .

1.92. ò(x -1)2 e−xdx . 1.94. òx ln xdx . 1.96. òln(lnx x) dx .

1.98. òx2								x
		×sin								dx .
								2
1.100. òx					ln xdx .
			x
1.102. ò		x							dx .
	cos			2
							x
1.104. òx2e−4xdx .
1.106. ò	lg x						dx .
	x		x

1.108. òarcsin 2xdx . 1.110. ò(x - 2)2 e−xdx . 1.112. ò3x ln xdx . 1.114. òxln2 xdx . 1.116. òarccos 2xdx .

1.118. ò(x + 2)ln xdx . 1.120. òarctg xdx .

1.122. ò x dx . cos2 x

1.124. òx2e3xdx . 1.126. òarccos3xdx .

1.128. ò x2 dx . e3x

1.130. ò(3x2 +1)arctg xdx . 1.132. òarctg(2x +1)dx . 1.134. òarctg 2x -1dx .

9

1.135. òxln(1+ x2 )dx . 1.137. òln (3 − x2 )dx .

1.139. òxsin3xdx . 1.141. òxln(3 + x)dx . 1.143. òln2 xdx . 1.145. òx3/ 2 ln xdx .

1.147. ò(1+ 5x − x2 )e− xdx .

1.149. òxarctg 3x dx .

Вычислить интегралы, трехчлене.

1.151. ò

x + 2

dx .

2

7 − 2x − x

1.153. ò

5x + 6

dx .

13 − 4x − x2

1.155. ò

x + 2

dx .

11+ 2x − x

2

1.157. ò

x + 2

dx .

5 + 2x − x

2

1.159. ò

2x + 7

dx .

x

2

− 3x + 8

1.161. ò

4 − x

dx .

8

− 4x − x

2

1.163. ò

3x

dx .

1− x − x

2

1.165. ò

10 − 2x

dx .

2x2 − 4x +1

1.167. ò

3x +11

dx .

2

x

+ 2x −1

1.169. ò

11x + 4

dx .

11+ 2x − x

2

1.171. ò

4 + 3x

dx .

2

7 − 2x − x

1.173. ò

x2 +1

dx .

1

2

− x − x

1.175. ò

8 + 2x2

dx .

x

2

− 2x + 5

1.177. ò

4 + 3x

dx .

x2 + 6x −1

1.136. òarctg

dx .

5x −1

1.138. òarctg(3x + 2)dx .

1.140. òarccos

dx .

1− 2x

x

1.142. òx2 arctg xdx .

1.144. òarcsin2 xdx .

1.146. ò(7x +1)e2xdx .

1.148. òarcsin

dx .

1− x

x

1.150. òarctg

dx .

x

x

применив выделение полного квадрата в квадратном

1.152. ò

3x +1

dx .

x

2

+10x − 2

1.154. ò

4x +11

dx .

7 − 2x − x

2

1.156. ò

3x + 4

dx .

x

2

− 8x +15

1.158. ò

x − 7

dx .

5

− 4x − x

2

1.160. ò

x + 3

dx .

x

2

− 2x + 5

1.162. ò

x

dx .

x

2

−10x

+ 8

1.164. ò

18 − 3x

dx .

10 − 8x + x

2

1.166. ò

1− x

dx .

1− 4x − x2

1.168. ò

6x + 5

dx .

7 − x − x

2

1.170. ò

8 − 3x

dx .

8

− 4x − x2

1.172. ò

x −1

dx .

5

− 4x − x

2

1.174. ò

x + 3

dx .

5

+ 2x − x

2

1.176. ò

6 − x

dx .

10 − 8x + x

2

1.178. ò

2 + 3x2

dx .

x

2

− 3x + 8

10

1.179. ò		1- x2		dx .	1.180. ò		3- 2x2		dx .
	7	- 2x - x	2			5	- 4x - x	2

Вычислить интегралы от рациональных дробей.

1.181. ò

x

dx .

(x -1)2

(x2 +1)

1.183. ò

x4

+ 6x2 + 8

dx .

x

3

-

8

1.185. ò

x4 +1

dx .

x

3

- x

2

+ x -

1

1.187. ò

dx

.

x

3

+ 2x

2

+ x

1.189. ò

dx

.

(x2 +1)(x2 + 2)

1.191. ò

x2

+ x +1

dx .

x

4

-1

1.193. ò

7x2 - 27x + 24

dx .

x(x - 2)(x - 3)

1.195. ò

x2 + 36

dx .

x

3

(x - 6)

1.197. ò

2x2

- 3x - 3

dx .

(x -1)

(x2 - 2x + 5)

1.199. ò

x +1

dx .

x(x -1)

3

1.201. ò

x

3

-1

dx .

4x

3

- x

1.203. ò

dx

.

x

3

5

+ x

1.205. ò

5x +1

dx .

(x

-1)(x

2

+ x -

2)

1.207. ò

2x2 - 24

dx .

(x

2

+1)(x - 5)

1.209. ò

x5 - x2

dx .

x

3

- 8

1.182. ò

x +1

dx .

x

4

2

+ 25x

1.184. ò

x

2

+1

dx .

x

3

-1

1.186. ò

x + 2

dx .

(x2 +1)(x2 + x)

1.188. ò

x2 + x +1

dx .

(x2 + 2x +1)(x -1)

1.190. ò

dx

.

x

4

+ x

3

+ x

2

1.192. ò

x2 + 5x +1

dx .

(x - 2)(x + 3)(x -1)

1.194. ò

7x + 3

dx .

(x +1)

2

(x +

5)

1.196. ò

x2 +1

dx .

(x3 - 9x)(x + 2)

1.198. ò

x -1

dx .

x

3

+

1

1.200. ò

x2

dx .

1- x

4

1.202. ò

dx

.

(x

2

- 2x +1)(x + 2)

1.204. ò

x3 + x +1

dx .

x

3

+ x

2

+ 2x

òx2 +1

1.206. x(x2 + 2x +1) dx .

ò3x2 - 3

1.208. (x2 + 5)(x +1)2 dx .

1.210. ò 2x2 -1 dx . x(x +1)2

Вычислить интегралы от тригонометрических функций.

ò

3

æ

3x ö

ò

3

æ 5x ö

1.211.

cos

ç

÷dx .

1.212.

sin

ç

÷dx .

è

4 ø

è 2

ø

1.213. ò

cos5 x

dx .

1.214. òcos3x ×sin2 6xdx .

sin

3

x

1.215.

ò

cos

5

4xdx .

1.216.

ò

sin

5 æ 2

ö

è 3

ø

ç

x ÷dx .

11

3

x

1.217. ò

cos

dx .

sin

7

x

1.219. òcos2 5x ×sin 7x dx .

1.221. ò

cos3 x

dx .

sin

7

x

1.223. òsin2 13x ×sin 5xdx .

sin

5

1.225. ò

x

dx .

7

cos

x

ò

2

æ x

ö

4 æ x

ö

1.227.

sin

ç

÷ ×cos

ç

÷dx .

è 2

ø

è 2

ø

1.229. òcos2 2x ×sin 4xdx .

1.231. òsin4 x ×cos2 xdx .

1.233. òsin2 x ×cos2 xdx .

1.235. òcos3 x ×sin5 xdx .

1.237. òcos x ×cos2 2xdx .

ò

5

æ x

ö

1.239.

sin

ç

÷dx .

è 3

ø

1.218. òcos6x ×cos2 xdx .

1.220. òsin5 4x dx . 1.222. òcos7x ×cos3xdx . 1.224. òcos3 3xdx .

1.226. òsin5 xdx .

1.228. òcos5 2xdx .

1.230. ò

dx

.

4

x

cos

1.232. ò

cos3 x

dx .

sin x

1.234. ò

dx

.

sin

4

(5x)

1.236. ò

dx

.

sin

3

x ×cos

5

x

1.238. ò

cos3 x

dx .

sin

5

x

1.240. ò

dx

.

sin

2

x ×cos

4

x

Вычислить интегралы от иррациональных функций.

1.241. ò x + 4× 4x + 3 dx . x + 3

1.243. ò

dx

.

×(

3

+ 9)

4 - 3x

4 - 3x

x + 4 -

1.245. ò

x + 3

dx .

3

x +

3

1.247. ò

4x + 3

dx .

4x + 7

1.249. ò

x -

x + 3

dx .

3

x + 3

1.251. ò

6 + 4x

dx .

+

+

5

1

4x

2x +

1.253. ò

x +1

dx .

3

x +1

4

1.255. ò

1- 4x

dx .

4 +

1- 4x

1.242. ò

dx

.

x

×(x +

5)

1.244. ò

dx

.

x ×

(

3

)

x +1

5

1.246. ò

x2

dx .

- x × 5

4

x2

1.248. ò

dx

.

x ×(

5

- 2)

x

1.250. ò

dx

.

+

x

3

x

1.252. ò

dx

.

3

×(6

+ x)

x5

x

1.254. ò

dx

.

3

x

x

2

-

1.256. ò x + 4 + 3x + 3 dx . x + 3

12

1.257. ò

1- 3

3 - 3x

dx .

1.258. ò

dx

.

x ×(

6

- 2)

(3 - 3x)2

3

x

1

1

dx .

1.259. ò

×

x -1

dx .

1.260. ò

×

1+ x

(1+ x)

2

x

x +1

1- x

1.261. ò

dx

.

1.262. ò

dx

.

4

5

(x -1) ×

x

3

x

x

2

+

3x - 4

6

x - 3

1.263. ò

dx .

1.264. ò

x

dx .

6

x - 3

9

-

x

7

1.265. ò

dx

1.266. ò

dx

.

.

x ×(

7

+ 3)

2 × 3

(5 - 4x)2

+ 3

x2

5 - 4x

1.267. ò

x -

3

dx .

dx

x + 2

1.268. ò

.

x + 2

3x - 4

x

1.269. ò

dx

.

1.270. ò

dx

.

(

)

2

5 (5x - 2)2 + 4

x ×

5

x

-1

Найти неопределенные интегралы.

1.271. ò

dx

.

5 - cos x + 2sin x

1.273. ò

2

dx .

5 - 3cos

x

1.275. ò

e3x

dx .

e

x

+1

1.277. ò

dx

.

1- 5cos

x

1.279. ò

8 + 3x2 dx .

1.281. ò

dx

.

(x2 + 4x +

7)

3

1.283. ò

dx

.

3- 2sin x + cos x

1.285. ò

dx

.

x ×

4 - x2

1.287. ò((ln x)2 - 2ln x)dx . 1.289. òth3 xdx .

ò 4x2

1.291. ((2x)2 +1)2 dx .

1.293. òx2 (ln x)2 dx . 1.295. òtg4 xdx . 1.297. òsh4 xdx .

1.272. ò

dx

.

2sin x - cos x + 3

1.274. ò

sin x

dx .

5sin x -1

1.276. ò

dx

.

2sin x - 3cos x + 7

1.278. òch2 x ×sh2 xdx .

1.280. ò

dx

.

(x2 +

2x + 5)

3

1.282. ò(x3 + x) × ex2 dx .

1.284. ò

dx

.

2 - sin x

1.286. ò

dx

.

x ×

x2 +1

1.288. ò

cos x

dx .

1+ 2cos x

1.290. òe

dx .

x

1.292. ò

dx

.

3sin x ×cos x

1.294. òctg3 xdx .

1.296. òsin3 x ×

dx .

cos x

1.298. òsin(ln x)dx .

13

1.299. ò

2x2 -1dx .

1.301. òchx ×exdx .

1.303. ò

dx

.

e

x

+ 4

- 5×e

−x

ò

æ

x2

ö

1.305.

ç

÷arctg xdx .

2

ç

÷

è1+ x

ø

1.307. òe2x sh 3xdx .

1.309. ò

2x2 -1

dx .

2

x(x +1)

1.311. ò

5x3 +1

dx .

(x +1)(2x +1)

1.313. ò

3e2x + 2ex

dx .

e

2x

+ e

x

- 2

1.315. òx arcsin xdx .

1.317. ò

x2 - x + 2

dx .

x

4

- 5x

2

+

4

1.319. ò

x3 + 4x2 + 6

dx .

(x +1)

2

(x

2

+ 2)

1.321. ò1- cos(dx ax) , a = const . 1.323. òe2x ×cos(2x + 3)dx . 1.325. ò(x -1)(2 - x)dx .

ò ln(sin x)

1.327. sin2 x dx . 1.329. òsin x × ln(tg x)dx .

1.300. òch3 (3x)dx . 1.302. òex (x2 + x +1)dx .

1.304. ò		x				dx .
		cos	2	x
1.306. òxarctg xdx .
1.308. ò		xsin x			dx .
		2
		cos		x
1.310. òarcsin7xdx .
1.312. ò			x3 + 3
											dx .
		(x2 +1)						(x -1)
1.314. òarctg3xdx .
1.316. ò		x2							dx .
		2			)		2
		(1+ x
1.318. ò				x2
											dx .
		(x +		2)		2
								(x +1)

1.320. ò1+ sin(dx ax) , a = const . 1.322. òcos(ln x)dx .

1.324. ò					x2						dx .
		x	6	-10x					3	+ 9
1.326. ò				dx				.
		ex + e				x
						2
1.328.	ò			æ	1+ x ö
		x lnç								÷dx .
				è	1- x ø

ò sin2 x

1.330. sin x + 2cos xdx .

14