Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
113
Добавлен:
12.05.2017
Размер:
379.82 Кб
Скачать

Министерство образования Российской Федерации

Московский государственный институт электронной техники (технический университет)

Сборник заданий для самостоятельной работы студентов

по курсу "Основы математического анализа"

Часть 1

Введение в анализ, дифференциальное исчисление функций одной переменной

Под редакцией кандидата физико-математических наук, доцента С. Г. Кальнея

Утверждено редакционно-издательским советом института

Москва 2003

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

УДК 517 (075.8)

Рецензент доц. А.А.Прокофьев

Коллектив авторов:

Бардушкина И.В., Ефимова В.В.,

 

Епихин В.Н., Литвинов А.И.

Сборник заданий для самостоятельной работы студентов по курсу "Основы математического анализа". Часть 1: Введение в анализ, дифференциальное исчисление функций одной переменной / Под ред. С.Г.Кальнея. - М.: МИЭТ, 2003. - 72 с.

Сборник заданий предназначен для студентов первого курса МИЭТ для самостоятельной работы по курсу "Основы математического анализа". Из заданий сборника могут формироваться семестровые домашние задания, варианты контрольных и самостоятельных работ, индивидуальные задания.

ã МИЭТ, 2003

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Введение

Освоение студентами курса математического анализа невозможно без большой внеаудиторной работы. Одной из наиболее эффективных форм самостоятельной работы является выполнение

индивидуальных семестровых домашних заданий по отдельным дисциплинам высшей математики. Применение системы семестровых домашних заданий (называемых также типовыми расчетами) рекомендовано научно-методическим советом по математике при Министерстве образования Российской Федерации. Поэтому учебные планы дисциплин включают в список контрольных мероприятий кроме коллоквиумов и контрольных работ, семестровые домашние задания.

Задания данного сборника разбиты по темам, причем каждые 30 задач имеют примерно одинаковую сложность. Каждый студент из 30 задач решает одну в соответствии с номером своего варианта. Номер варианта определяется преподавателем, ведущим практические занятия.

Виндивидуальные домашние задания могут включаться не все задачи сборника. Группы задач, которые в конкретном учебном году должны быть решены студентами, определяются лектором потока.

Задачи решаются студентами самостоятельно по мере прохождения соответствующих тем и сдаются на проверку преподавателю в установленные сроки. Неверно решенные задачи возвращаются на доработку. Порядок сдачи (защиты) семестрового домашнего задания определяется преподавателем. Сдача студентом семестрового задания является необходимым условием выполнения семестрового плана по дисциплине (получения зачета).

Всборник заданий включены задачи по следующим темам: метод математической индукции,

построение графиков функций с помощью поэтапного преобразования графиков основных элементарных функций, предел последовательности и функции, непрерывность функции, производная и ее геометрические приложения, правило Лопиталя, формула Тейлора, исследование и построение графиков функций, применение производной к решению задач на наибольшее и наименьшее значения.

Теоретические сведения в сборнике не помещены, так как предполагается, что данное пособие

используется в дополнение к учебнику по математическому анализу и сборнику задач для работы на практических занятиях и дома.

Настоящее пособие является переработанным вариантом Сборника заданий для самостоятельной работы студентов по курсу «Основы математического анализа» часть 1, опубликованного в 1994 г. Сборник заданий составлен на кафедре высшей математики 2 МИЭТ и предназначен для студентов факультетов МП и ТК, ЭКТ, ИнЭУ, а также для всех изучающих основы математического анализа самостоятельно. Часть 1 соответствует программе первого семестра изучаемого курса.

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

1. Метод математической индукции

Методом математической индукции доказать для натуральных n следующие равенства и неравенства.

1.1.

22 + 42 + ...+ (2n)2 =

2n(n +1)(2n +1)

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.2.

12 + 32 + 52 + ... + (2n -1)2 =

n(2n -1)(2n +1)

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.3.

1×2 + 2×3 + 3×4 + ...+ n(n +1) =

 

n(n +1)(n + 2)

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

n(n +1)(n + 2)(n + 3)

 

1.4.

1× 2 ×3 + 2 ×3× 4 + 3× 4 ×5 + ... + n(n +1)(n + 2) =

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

1.5.

 

1

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

+ ...+

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

=

 

n(n + 3)

.

 

1×2×3

 

 

2

×3× 4

 

3×4×5

 

 

n(n

+1)(n +

2)

4(n +1)(n + 2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.6.

 

1

 

+

 

 

1

 

 

+

 

1

 

 

+ ... +

 

 

 

 

1

 

 

 

=

 

n

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1× 2

 

 

2 ×3

3× 4

 

 

n(n +

1)

(n +1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.7.

12 + 22 + 32 +...+ n2 =

n(n +1)(2n +1)

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.8.

3

 

 

 

3

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

én(n +1) ù2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+...+ n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ú .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 +

2

 

 

 

+ 3

 

 

 

= ê

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ë

 

 

 

 

û

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.9.

1×4×7 + 2×5×8 +K+ n(n + 3)(n + 6) =

1 n(n +1)(n + 6)(n + 7) .

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

4

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

1.10.

 

+

 

 

 

 

+

 

 

+ ...+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

2×3

 

 

3× 4

4×5

 

 

 

(n +1)(n +

2)

2(n + 2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.11.

1 +

 

2

 

 

+

 

3

 

+ ...+

 

 

n

 

= 2 -

n + 2

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

22

 

 

 

 

 

 

2n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

23

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.12.

1

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

1 æ 1

 

1

ö

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

+ ...+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

ç

 

 

-

 

÷ .

 

 

2 ×5

 

 

5×8

 

8×11

 

(3n -1)(3n +

2)

 

 

 

3n + 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 è 2

 

ø

 

 

1.13.

1 +

 

3

 

 

+...+

2n -1

= 3 -

2n + 3

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

22

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.14.

 

1

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

1

é

1

 

1

ù

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

+...+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

=

ê

-

ú .

3×7 ×11

7 ×11×15

11×15×19

(4n -1)(4n + 3)(4n + 7)

8

3×7

(4n + 3)(4n + 7)

 

 

 

 

 

 

ë

 

û

1.15. 1+ 3 + 6 + ... +

n(n +1)

 

=

 

n(n +1)(n + 2)

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

1× 2 ×3

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.16.

 

1

+

 

 

 

1

 

 

+

 

 

 

1

 

 

+ ... +

 

 

 

 

1

 

 

 

 

=

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1× 4

4 ×7

7 ×10

 

(3n

- 2)(3n +1)

3n +1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.17.

 

12

+

 

 

22

 

 

+

32

 

+ ... +

 

 

 

 

 

n2

 

=

 

n(n +1)

.

 

 

 

 

 

 

 

 

1×3

3×5

 

5×7

 

(2n -1)(2n +1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2(2n +1)

 

 

 

 

 

 

 

 

1.18. 1+ 3 + 5 + ...+ (2n -1) = n2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.19.

5

 

5

 

+ ... + n

5

 

 

n2 (n +1)2

(2n2 + 2n -1)

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 + 2

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.20.1×5×9 + 2 ×6 ×10 +K+ n(n + 4)(n + 8) = 14 n(n +1)(n + 8)(n + 9).

1.21.1× 2 + 2×5 + 3×8 + ...+ n(3n -1) = n2 (n +1) .

1.22.

 

1

+

1

+

1

+ ... +

1

=

n

 

.

1×3

3×5

5×7

(2n -1)(2n +1)

2n +1

 

 

 

 

 

 

1.23. 1+ 7 +19 + 37 + ...+ (3n2 - 3n +1) = n3 .

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

1.24. 13 + 33 + 53 + ...+ (2n -1)3 = n2 (2n2 -1) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.25.

 

1

 

 

 

+

 

1

 

 

+

 

 

 

1

 

 

 

+...+

 

 

 

 

1

 

 

 

 

=

 

 

n

 

 

 

.

 

5×11

 

11×17

 

 

17

×23

 

 

(6n -1)(6n + 5)

5(6n + 5)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.26.

1

 

 

 

+

 

1

 

 

+

 

 

 

1

 

 

+ ...+

 

 

 

1

 

 

 

 

 

=

1

æ

1

-

 

1

ö

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ç

 

 

 

÷.

4 ×11

 

11×18

18×

25

 

(7n - 3)(7n +

4)

7

4

7n + 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

è

 

 

ø

1.27.

æ

 

4 ö æ

4 ö æ

 

 

 

 

4

ö

 

é

 

 

4

 

ù

 

 

1+ 2n

.

 

 

 

 

ç1-

 

 

 

÷

×ç1-

 

 

 

÷

×ç1-

 

 

 

÷ ×...× ê1-

 

 

 

 

ú

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9

25

(2n -1)2

 

1- 2n

 

 

 

 

è

 

1 ø è

ø è

 

 

ø

 

ë

û

 

 

 

 

 

 

 

1.28.

 

 

2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

2

+ ...+ (n

-1) ×n

2

 

n(n2

 

-1)(3n + 2)

.

 

 

1×2

 

+ 2×3 + 3× 4

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12

 

 

 

 

 

 

 

1.29. 1×1!+ 2×2!+ 3×3!+ ...+ n ×n!= (n +1)!-1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.30. 2 ×12 + 3× 22 + 4 ×32 + ...+ (n +1) × n2 = n(n +1)(n + 2)(3n +1) . 12

Дополнительные задания

Доказать неравенства для натуральных n:

1.31. 2n > (2n +1),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.32.

æ n

ön

n ³ 3 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n!> ç

 

÷

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

è

ø

 

1.33. 1 ×

 

3

×

5 ×K×

2n -1

<

 

 

1

 

 

 

,

 

n ³ 2 ;

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2n

3n +

1

 

 

 

 

 

 

 

 

1.34. n!> 2n1,

 

 

n ³ 3;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.35. n!³ 2×3n2,

 

n ³ 2 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.36.

1

 

+

1

 

 

+

 

 

1

 

+K+

 

1

 

 

>

 

 

 

 

,

n ³ 2 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.37. 2

 

 

>

1

 

 

+

 

1

 

+K+

1

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Доказать, что при любом натуральном n:

1.38.Число (4n +15n -1) делится на 9;

1.39.Число (n7 - n + 7) делится на 7;

1.40.Число (5× 23n2 + 33n1) делится на 19.

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

2. Построение графиков функций

Построить графики функций с помощью элементарных преобразований (параллельный перенос, сжатие, растяжение вдоль осей) графиков основных элементарных функций.

2.1.

y = -

1

 

æ 1

 

 

x -

 

 

p ö

+ 2 .

 

 

 

sinç

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

÷

 

 

3

3

 

12

 

 

 

 

 

 

 

è

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ø

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.3.

 

1

 

 

 

æ

 

 

 

 

 

 

 

 

p

ö

 

 

 

 

 

4

 

 

.

 

 

 

 

y =

 

 

 

sinç2x +

 

 

 

 

÷

-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

3

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

è

 

 

 

 

 

 

 

 

ø

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

æ

 

 

 

 

-

 

3p

ö

+

 

5

.

 

2.5. y = -2sinç3x

 

4

 

 

 

÷

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

è

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ø

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

æ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9p

ö

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.7. y = -2sinç3x

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

÷

-1.

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

è

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ø

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

æ

 

 

 

 

 

 

 

2p ö

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

2.9. y = 3sinç2x -

 

 

 

 

 

 

 

 

÷

-

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

3

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

è

 

 

 

 

 

 

 

 

ø

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.11. y =

1

 

æ 1

 

 

x +

 

p

ö

-1 .

 

 

 

 

sinç

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

÷

 

 

2

2

 

6

 

 

 

 

 

 

è

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ø

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

æ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p ö

 

 

 

 

 

 

2.13. y = -3sinç

- 2x +

 

 

 

 

 

 

 

÷

 

+ 3 .

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

è

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ø

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

æ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4p ö

 

 

 

 

2.15. y = -3sinç

- 2x +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

÷

+1.

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

è

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ø

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

æ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p ö

+ 2 .

2.17. y = -3cosç- 2x +

3

÷

 

 

 

 

 

 

 

è

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ø

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

æ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p ö

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.19. y = 2cosç2x +

 

 

 

 

 

 

 

 

÷

 

-1,5 .

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

è

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ø

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.21. y =

 

2

 

æ

-

 

 

2x +

 

 

4p ö

- 2 .

 

 

 

cosç

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

÷

 

3

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

è

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ø

 

 

 

 

 

2.23. y = -

1

 

 

 

æ

1

x

+

 

p ö

+1 .

 

cosç

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

÷

2

2

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

è

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ø

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

æ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p ö

 

 

 

 

p

 

2.25. y = -2cosç2x +

 

 

 

 

 

÷

 

+

 

 

 

 

.

3

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

è

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ø

 

 

 

 

 

 

 

2.27. y =

 

3

 

æ

-

 

3x +

 

 

3p ö

- 2 .

 

 

 

cosç

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

÷

 

2

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

è

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ø

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

æ 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

ö

 

 

 

 

 

p

 

 

 

2.29. y = 2cosç

 

 

 

x +

 

 

 

 

 

 

÷

-

 

 

 

 

.

 

2

 

3

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

è

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ø

 

 

 

 

 

 

 

 

2.31. y = -

 

1

 

 

 

 

 

 

-1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x + 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.33. y =

 

 

 

2

 

 

 

 

-

 

3

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,5x +1

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.35. y =

 

 

9

 

+

 

 

1

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3x -1

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.37. y = -

 

6

 

 

 

 

 

+1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4x - 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.39. y =

 

 

 

1

 

 

 

 

- 2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,5x -1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.2. y =

3

 

 

 

æ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

ö

 

 

 

 

 

p

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

sinç- 2x -

 

 

 

 

 

 

÷

-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

3

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

è

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ø

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.4. y = -

1

 

 

æ

 

 

 

 

 

+

 

 

3p ö

 

 

 

 

1

 

.

 

 

 

2

 

sinç3x

 

4

÷ +

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

è

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ø

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.6. y = -

1

 

 

æ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2p

ö

 

 

 

 

 

1

 

.

 

 

 

 

sinç 2x

+

 

 

 

 

 

 

 

 

÷

-

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

3

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

è

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ø

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

æ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

ö

+1 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.8. y = -2sinç2x -

3

÷

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

è

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ø

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

æ 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p ö

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.10. y = 2sinç

 

 

 

 

x +

 

 

 

 

 

 

÷

 

-

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

è 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9 ø

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.12.

y =

 

 

1

 

 

æ

 

-

 

 

1

 

 

 

x +

p ö

+

 

 

p

.

 

 

 

 

sinç

 

 

 

 

 

 

 

 

÷

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

2

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

è

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6 ø

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.14.

y =

 

 

3

 

 

æ

1

 

x

+

 

 

 

7p ö

 

- 2 .

 

 

 

 

 

 

sinç

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

÷

 

 

 

 

 

2

 

2

 

12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

è

 

 

 

 

 

 

 

 

ø

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

æ

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p ö

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.16. y = 2cosç

 

 

 

 

x

+

 

 

 

 

÷

-1.

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

è

 

 

 

 

 

 

 

 

6 ø

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.18.

 

 

 

 

 

1

 

 

æ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

ö

 

 

 

 

 

1

.

 

 

y = -

 

 

cosç 2x +

 

 

 

 

 

÷

+

 

 

 

 

 

 

 

2

3

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

è

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ø

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

æ

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p ö

 

 

 

 

 

1

 

2.20. y = -2cosç

-

 

 

 

 

 

 

x

-

 

 

 

 

 

 

 

 

÷

+

 

 

.

3

 

 

12

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

è

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ø

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

æ

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p ö

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

2.22. y = 3cosç

 

 

 

 

x

-

 

 

 

 

÷

+

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

è

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8 ø

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.24.

y = -

1

 

 

æ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2p ö

+1 .

 

2

cosç2x -

 

 

3

÷

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

è

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ø

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

æ

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7p

ö

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

2.26. y = -cosç

 

 

 

 

 

x

-

 

 

 

 

 

 

 

 

÷

+

 

 

 

 

 

.

 

2

 

12

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

è

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ø

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.28.

y =

 

 

1

 

 

æ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3p ö

 

 

 

 

1

.

 

 

 

 

 

4

cosç3x -

 

4

÷ -

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

è

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ø

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.30.

 

 

 

 

1

 

 

æ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5p

ö

-1.

 

 

 

y =

 

 

 

 

cosç2x

-

 

 

 

 

 

 

 

 

÷

 

 

 

 

 

2

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

è

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ø

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.32. y =

 

3

 

 

- 2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x + 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.34. y = -

 

 

6

 

 

 

 

 

 

+1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3x + 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.36. y = -

 

 

2

 

 

 

 

 

 

+1 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,5x -1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.38. y =

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- 3 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- 0,5x +1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.40. y = -

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-

 

1

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- 0,5x + 2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

2.41. y =

 

 

 

2

 

 

+

3 .

 

 

 

 

 

 

 

 

2.42. y =

 

 

 

 

4

 

 

-

 

3

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3x -1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x -

3

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.43. y = -

 

1

 

 

 

+1.

 

 

 

2.44. y = -

 

3

 

 

 

+

1

.

 

 

 

 

 

 

 

 

0,25x +1

2x -

5

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

æ

 

1

 

 

 

 

 

ö

 

 

p

 

2.45. y = -

 

 

 

 

 

+

 

 

.

 

 

 

2.46. y = -2arctgç-

 

 

 

 

x +

1÷ +

 

 

.

-

3x + 2

2

 

3

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

è

 

 

 

 

 

 

ø

 

 

 

2.47. y = 2arctg(2x +1) 3 .

2.48. y = −1,5arcctg(3x + 6) + 2 .

 

2.49. y = -

4

arctg(2x + 3) + 2 .

2.50. y = 2arcctg(-0,5x + 3) - p .

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

2.51. y =

1

 

arctg(3x - 6) -1.

2.52. y =

 

 

1

arctg(-0,5x +1) - p .

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

2.53. y =

3

arctg(-2x +1) -

p

.

2.54. y = -2arctg(0,5x -1) -

 

p

.

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2.55. y = 2arctg(3x - p) + p .

2.56. y = -

2

arctg(0,5x -1) +1.

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.57. y = 2arctg(3 2x) − π .

2.58. y = 2arcctg(-3x - 2) - p .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

2.59. y = 2arcctg(2x - p) +

p

.

2.60. y = -2arctg(1,5x + 2) -

p

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

2.61. y = 0,5log2(2x -1) +1.

2.62. y = −2ln(0,5x 1,5) + 2 .

 

 

 

2.63. y = −1,5lg(3x + 3) 1.

2.64. y = 2ln(0,5x 1) + 2 .

 

 

 

2.65. y = 2ln(1,5x + e) 2 .

2.66. y = -2log8(8x - 2) -1.

 

 

 

2.67. y = 0,5log2 (-2x +1) + 2 .

2.68. y = 2log2(1- 0,5x) + 3 .

 

 

 

2.69. y = 0,5ln(1,5x 1) + 2 .

2.70. y = -2log3(2x -1) - 3.

 

 

 

2.71. y = 2log5(2x +1) +1,5 .

2.72. y = πlg(0,25x 1) +1.

 

 

 

2.73. y = 2lg(0,5x + 2) 1.

2.74. y = 1,5log2 (2x -1) -1,5 .

 

 

 

2.75. y = 3log2(2x -1) + 2 .

2.76. y = 0,5× e3x+6 +1.

 

 

 

 

 

 

 

 

2.77. y = 2 × 50,5x1 - 2 .

 

 

 

 

2.78. y = -0,5 × 22x+1 +1.

 

 

 

 

 

 

2.79. y =

1

 

 

× e2x4 -1.

 

 

 

 

2.80. y =

 

 

 

 

 

æ

1 ö2x+1

 

 

 

3

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1,5 ×ç

 

 

÷

 

 

 

 

 

 

-

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

è

2

ø

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

2.81. y = 0,5× 32x1 + 2 .

 

 

 

 

2.82. y = 3× e2x+1- 2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.83. y = 2 × e2x+4 -1.

 

 

 

 

2.84. y = -1,5 × 22x3 + 2 .

 

 

 

2.85. y = 1,5 × 32x+2 + 3 .

2.86. y =

 

 

 

 

æ 1

ö2x+2

 

 

 

 

5

 

.

 

 

 

 

 

 

2×ç

 

÷

 

 

 

 

-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

è

ø

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.87. y = -0,25× 52x+1 + 2 .

2.88. y = -

1

× 22x5

+1.

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.89. y = -1,5 × e2x2 +1.

2.90. y = 0,5 × 32x+4 - 2 .

 

 

 

 

 

 

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com