Планирование и обработка эксперимента / Rakitskiy - Chislenniye metodi resheniya 1979
.pdfю. В. РАКИТСКИй, с. .м. ~·стинов, и. г. ЧЕРНОРУЦI<Ий
Численные методы
решения
жестких систем
.\ЮСКВА «НАо'КА»
Г.1АВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО·l•\АТЕ.\IАТИЧЕСКОй ЛИТЕРАТУРЫ
1 9 7 9
22.193 р 19
УДК 519.6
ЧисJiенные |
методы |
решения |
жестких систем. |
Рак и т- |
|
-:: кий Ю. В., |
У ст ин о в |
С. М., |
Ч ер.нор у цк и й |
И. |
Г. Наука. |
Г.1~вная редакция физико-:v1ате:11атической литературы. |
М., |
1979. |
Книга посвящена :11ето.1а:v1 анализа и численного решения жсст ю1х дифференциальных с1·:сте:v1 (ЖДС). Так на:н-.шаются системы обыкновенных дифференциальных уравнений. при '!ИС'.1е.нном интегри
роваюш которых традщионны~1и ,,1етода:v1и приходится испо.1ьзовать
очень '1a.1ыi'I шаг интегрирования по сравнению с заданньв1 ЩJО?.1е жутко:.1 интегрирования, хотя иско:11ые функции из;,1еняются доста
точно :11ед:~ечно. В 1ш11ге дано строгое опре,1е.1ение класса ЖДС.
Опнсаны источ11111<11 их возникноuсшш и основ:1ые сrюйства. Расс:чот
рены зr.:..ачи оптнчизации и управления, которые .J.о,:1жны решатьс11
с уч:=1·0:.1 жесткости, даны новые методы решения ЖДС и задач оп
ти :-шз а111ш.
Юр11й Вас11льев11ч Ракитский Сергей i\/ихайлов11ч J'стинов
Игорь Георгиеви•1 Черноруцкий
Чпс.1(!:1Ные методы решения жестких систем
:V\" i 9~9 г., 208 стр. с и.1.1.
Рt·;щктор lf. Н. Васина
Тех:'. ре;~,актор Е. В. Морозова
Корректоры О. А. Бутусова. Е. В. Сидоркина
и~; ,\; |
11234 |
|
|
|
|
|
|
|
Сдано |
в |
набор 15.02.79. |
По;~,писано к печати 05.07.79. |
|
Т-11245. |
|||
Бр1аrа |
8!Х 1081/32. тип. |
J\J1J 1. |
Лн•сrатурная 1·арнитура. |
Высокая |
печать. |
|||
Ус.човн. печ. л. 10,92. |
Уч.-11зд. |
л. 11,16. |
Тираж 5000 |
экз. |
Зак. |
No 50. |
||
Цена книги 1 р. 10 к. |
|
|
|
|
|
|
||
Из;~,ате.1ьство «Наука» |
|
|
|
|
|
|
||
Главная редакция физико-)1атематической литературы |
|
|
|
|||||
117071. Москва, В·71, ЛенИIIС!<ИЙ проспект, 15 |
|
|
|
|||||
Типография издате.~ьства «Связь:. Госкомиздата СССР |
|
|
|
|||||
Москва, 101000, ул. !(крова, д. 40 |
|
|
|
|
|
|||
20204-114 |
1702070000 |
@ Г.1авная редакция |
|
|
||||
р |
|
52-79. |
физико-математической |
|
||||
053 (02)-79 |
|
|
литературы |
|
|
|
издательства «Наука•, 1919
Оглавление
Пре;щс.1оn:;е |
|
|
|
|
|
4 |
||
Вnедение |
|
|
|
|
|
|
7 |
|
~ В.1. Яв.1ен11е жестко~тп |
|
|
|
7 |
||||
~ П.2. Фор~;а:тьное опре.:~.елепис |
|
|
15 |
|||||
~ В.3. Своiiспза жестких |
систе~! |
|
|
19 |
||||
§ В.4. Прю1еры |
|
|
|
|
|
28 |
||
Г.zа1ю /. |
ЧисJiенное интегрирование жестких систем |
36 |
||||||
~ |
1.1. |
Ра:шо-:: rпые схе:чы |
. |
|
|
36 |
||
,, |
1.2. |
У~то:«t1;:nость 11 |
точпость . |
|
|
47 |
||
§ 1.3..'\1ето.:~.11ка |
прш.1енен11я неявных |
~1етодов |
73 |
|||||
Г.zor:e |
2. |
С1,-:тею1ые методы |
|
|
|
81 |
||
~ |
2.1. |
II::с.1снное решение |
.1и11сйннх |
свете~·! . . |
81 |
|||
~ |
2.?. . |
.\\атrичаые р~э.1ожс11ш1 11 |
спсте~шые :.rето.1ы |
96 |
||||
~· |
:?"З. |
Прнб.1:1жен11сс ре.непнс снсте:.r разностных ураJ- |
108 |
|||||
|
|
нений |
|
|
|
|
|
|
Г.~ава 3. |
Асимптотические |
преобразования жестких систем |
113 |
|||||
~ |
.1.1. |
Принцип |
квазистационарности |
производных |
113 |
|||
§ 3.2. |
Квазнсташюнарность производных в не.1инейных |
121 |
||||||
|
|
жестких снсте>1ах |
|
|
|
|||
Г.zапа 4. |
Оптимизация |
|
|
|
|
135 |
||
§ |
4.1. Оптимизация и |
жесткость |
. . . |
135 |
||||
§ 4.2. Анализ некоторых известных методов |
142 |
|||||||
§ 4.3. Системные методы оптимизации |
151 |
|||||||
§ 4.4. Принцип повторных измерений |
|
169 |
||||||
§ 4.5. Иерархическая |
оптимизация |
|
180 |
|||||
§ 4.6. |
Примеры |
|
|
|
|
|
195 |
|
.1итература |
|
|
|
|
|
206 |
Предисловие
Эффективное
управленпе
процессами
и
систе
мами основано ческих моделей
на использованпи адекватных математи |
|
объектов. Учет большого числа |
факто |
ров
при
построении
таких
моделей
неизбежно
приво
дит I< явлению жесткости
системам. Сущность этого
и описывающим его жестким
явления определяется необ
ходимостью
одновременного
привлечения
для
адекват
ного
оп11санпя
процессов
в
тобой
точке
отрезка
наблю
дения
быстроубывающих
функций
с
большими
произ
водными
и
функций
с
малымп
производнымп.
По-впдпмому, термин «жесткие
первой |
публикацией, |
где |
вводится |
уравнения» и показана |
целесообраз- |
1юсть |
испо.1ьзования для их |
численного |
решения |
||||
ных |
методов, является |
работа |
К. Куртиса |
и |
Д. |
||
шфельдера [44]. Появление |
этой |
статьи |
в 1952 |
г. |
неяв Хир бьIJio
вызвано трудностями при
численном
интегрировании
некоторых типов обыкновенных |
дифференциальных |
неннй классичсскпми методами |
Адамса и Рунге - |
урав Кут
та.
Поначалу
скептическое
отношение
к
жестким
урав
нениям, как к некоторой частности, |
усиливалось |
|||
дами на |
всемогущее быстродействие |
грядущей |
||
.'Iителыюй |
техники. |
Однако расширение ~классов |
||
мых задач, глубина |
их постановки |
и |
обилие |
надеж вычис решае вычис
.'Iяемых
вариантов,
ставшие
возможными
именно
благо
даря
прим·енению
вычислительных
машин,
позволили
ус
танавить, что |
|
ниях - |
скорее |
явление |
жес-гкости в научных исследов·а |
пра1вило, |
чем исключение, •и что высокая |
п·роизводительность
·современных
вычислитель·ных
средств
не
снимает Хорошо
проблемы известно,
жестких систем с повестки дня. |
||
что |
необоснованное |
пренебреже |
ние
разного рода
«малыми
величинами»
при
математи
ческом
моделировании
реальных
процессов
может
су
щественно
исказить
истинную
картину
явлений.
Поэто
rvtу
n
системах
уравнений,
описывающих
еще |
не |
изу-
Предис.ловие |
5 |
ченный процесс, исследователь вынужден учитывать бо.r~ьшое количество на первый взгляд второстепенных
факторов. Следствием этого, ка1к правило, является, с
одной стороны - относительно высокий порядок сис
тюш. с другой - ее жес11кость. При дальнейшем изуче
нии процесса степень жес11кости и порядок системы
обычно понижаются, но ·существует и ряд важных задач, г;re )Кесткость присутствует по самой сути 'Вещей.
Поэтому интерес к методам численного решения жесю~х уравнений непрерывно растет, о чем свиде
те.1ьствуют многочпсленные пуб.'шкации и проведенные
'ltеж1ународные конференции [59, 15].
С другой стороны, хотя некоторые вопросы числен
но:-о интегрирования, связанные с жесткими система
\Ш, 1~з.1ожены 'В книге Н. С. Бахвало·ва [2] и ·специаль
ных ;-;1авах монографий [50, 53], одна1ко до сих пор не
сущ.::ствовало даже строгого определения к.riacca жест-
1шх уравнений, отсутствовали |
единая |
терминология |
и |
|||
спеuпфпческпе методы |
исследования, |
основанные |
на |
|||
свойствах жестких систем. |
Настоящая |
монография, |
||||
как надеются авторы, должна |
восполнить |
этот |
пробел. |
|||
В ней с единой точки |
зрения |
рассматриваются |
вопро |
сы, свлзанные с явлением жесп<0сти в системах обык новенных дифференциальных уравнений и объединенные
общ1r:.1 математическим подходом. Класс рассматривае
мых задач ограничен задачей Коши для обыкновенных
дифференциальных уравнений и смежными вопросами
оптюшзации в конечномерных пространствах.
Во введении дается понятие жесткой системы обык
новенных дифференциальных уравнений, рассматрива
ются источники возникновения таких систем и излагают
ся их свойства. Приведены характерные примеры, ил
люстрирующие явление жесткости в различных техниче
ских системах.
Г.1ава l посвящена сравнительному анализу явных
инеявных методов численного интегрирования приме
ните.1ьно к жестким системам, методике синтеза раз
ностных схем с расширенными областями устойчивости
по шагу дискретности, а также вопросам их практиче
ского пспользования.
В r.'1аве 2 излагаются общие вопросы построения разностных схем на базе матричных разложений, обоб-
6
Предисловие
щающих
классическое
разложение
Тейлора.
Приводится
методика
точного
решения
спстем
линейных
диффе
ренциальных уравненнй |
с |
постоянными |
коэффпцнен· |
тами. Расс:\1атриваются |
методы приближенного решення |
||
систем разностных уравнений. Основные :v1атериа.1ы :.1а |
|||
вы впервые нзложены в 1[22, 23]. |
|
||
Резу.11ьтаты третьей |
11 |
четвертой гдав в |
значите.1ь |
ной
степенн
основаны
на
двух
принципах
(пршшппе
квазистащюнарностн
производных
и
принцнпе
повтор
ных |
11з~1ерений), |
предложенных |
Ю. |
впервые сфор~rу.шрованных ·в r24]. в |
В. |
Ракитскю.r |
п |
пос.1едующей |
ра |
боте
[25]
бы.10
получено
необходимое
математическое
обоснование
указанных
прннщшов
и
разработаны
соот
ветствующие алгоритмы.
Г.1ава 3 посвящена
асимптотическпы
преобра.>ова-
1-шям жtстю~х снстеч. |
Показана возможность |
с11:'>1ацш1 снстема!\111 |
меньшей размерностп. |
пх аппрок
расс.1атри
вается
пр11мененпе
разработанных
методов
для
:;аж
ного
ч<1ст1-юго
случая
жесткпх
систем,
допус1<ак;щ11х
предста1мен11е В г.1аве 4
в спнгу.11ярно возмущенно:..1 впде.
излагаются ~1етоды реШения оптпмпзаш1-
онных задач |
для |
скорейшего |
спуска, |
фу11ющона.1ов с опасывае?.1ым11
траектор11ям1: |
наи |
|
жеспш:шr |
с::::·те~1а |
м11
дифферешшальных
уравненпй.
Прп
l\ШЮЕ\Шзащш
r;о
добных
фушш1юн<1.1ов
трад1щ1юнными
методами
вознп
кают пзвестные
.1енные овражной
вычпстпельпые |
трудностп, |
обу.:-.1ов |
структурой поверхности уровня. |
Прнведенная
бпбтюграфня
не
претендует
на
по.1-
ноту
п
содержит
лишь
те работы, |
которые непоср.:Jст |
венно 1шигн.
11спользоваш1сь авторами
Обшпрная библиография
при |
написанин |
:.тoi"r |
|
зарубежных |
пуб.1iша |
ций Ю!;\f
имеется в системам
сборнике докладов
[59] и монографии
конференцип [53].
по
жест
В
книге
принята
следующая
система
ссы.1ок
на
фор
мулы: двойная |
нумерация |
означает |
|
формулы; одинарная - |
тодько номер |
г.11аву форму.1ы
11 в
номер данной
главе. |
|
|
|
|
Авторы |
11 |
искренне |
признательны Н. С. |
|
внимание |
доброжелательную |
критику |
||
стоящей ~книги. |
|
|
Бахвалову рукописн
за на
Авторы
Введение
§ B.l. Яв.'lение жесткости
Рассмотрим дифференциальное уравнение пер r;сс, поря,1r.::а с малым параметром ~t прп производной
dx |
х), |
~t>O, f (t, |
о |
t |
, |
xER1 |
(1) |
µ d[ = f (t, |
x)ECtx |
|
.i:::;~ с.1учая, когда вырожденное уравнение, соответствую
w=е (l),
f (t, Х)= о |
(2) |
11-.1 еет единственное решение |
|
x(t) = G (t) |
(3) |
li .а окрестностп этого решенпя величина дf/дх |
отрица |
те.1ьна. Пос.тrеднее условие является достаточным для |
|
ус:оiiчивости решения x(t) =G(t). |
|
Характер поведения решений уравнения (1) |
отражен |
нz.: рпс. J. Штриховыми .тrиниями показано поле направ
.1е~тй, касательных |
к интегральным кривым. Для |
до |
с·т ;~ ·:оч!ю м а:юго µ |
касате.1ы1ые к интегральным |
кри |
IЗЫ)I даже при небольшом отк.'юненпи от функции |
(3) |
|
rсочпr Ш! ра"1лельны осн х. I I чем меньше ве.'шчина µ, |
тем |
'3с.:стрее осуществляется сб.1ижс1ше интегральной кривой lf решеrrпя (3) вырожденного уравнения.
Сптуаuпя, представ.1еш1ая на рис. 1, может быть опи
·::''1I:а с.1едующим образо:11. У .1юбой интегральной кривой
нз рассматриваемой об.1асп1 выделяются два участ,ка с
--·ущественпо различным поведением решения, причем
продотюпельность первого значительно меньше второго.
Первый участок с быстрым пзменением искомой функ
Li!Ш отражает стремление интегра.пьной кривой к графи-
1-;у функции x=G(t) 11 называется пограничным слоел·t.
8 |
Введение |
На втором участке производные решения значительно
меньше, а интегральная кривая практически совпадает
с графиком G(t). Пограничный слой всегда будет иметь
место, кроме случая специального выбора нача,1ьных
::п•.То)
. - . .'
о |
t |
|
|
|
Рис. 1. |
условий хо= G(to) на графи1ке корня вырожденного уравнения (2). Разю1чный характер поведения решения
на обоих участках прояв.11яется тем О1'чет.11ивее, чем
меньше величина параметра ~t.
Таким образом, вне пограничного CJtOЯ для описания решения дифференциального уравнения ( 1) может быть
испо.'IЬзова~-ю решение алгебраического уравнения (2).
Заслуживает внимания и то, что даже прп небольшом
отклонении начальных условий от графика x=G(t) в
.11юбой его точке производная решения dx/dt резко воз растает по сравнению с производной dG(t)/dt.
Кривые, аналоrнчные интегральным кривым рис. 1.
разумеется, могут отвечать и бодее сложным уравнени ям. Так линейное однородное уравнение второго поряд ка с малым множителем ~t при второй производной
d2 x |
dx r |
(4) |
µ-+--гх=О |
||
dt2 |
dt |
|
имеет решение |
|
|
х (t) = С1 1-•t +С2e"•t, |
(5} |
где С1, С2 - производьные постоянные, определяемые
§
В.1.
Явление
жесткости
9
нача:1ьными условиями,
ческого уравнения
а
Л.1,
/.2
-
корни
характеристи
/..
1
~
1
-- µ.
+
1
+
µ,
Л.
2
~
-
1-
µ,
опре.J.е.1енные
с
точностью
до
ч.1енов
поряд.~ка
~t
включи
те.1ьно. Особенности
решенпя
уравнения
(
1),
уже
рассмот
ренные
выше,
будут
нметь
место
и
для
решения
уравне
ния
(
4).
Продолжительность
пограничного
слоя
~-пс
в
данном случае |
определяется |
ря.J.ОК величины |
~t. Вне этого |
величиной |
Л1 и имеет по |
промежутка |
решение изме |
няется значительно медленнее в
сдаr·аемым в (5). Предпо.1агая,
соответствии со вторым |
|
как это |
обычно имеет |
)f·есто,
что
промежуток
Т
наблюдения
решения
опреде
ляется
величиной
Л2,
по.1учим
очевидное
неравенство:
Т~'tпс.
Вырожденным
уравпенпем
для
(4)
будет
урав
нение
dx . - dГ'х=О,
(6)
решение
которого,
как
и
в
предыдущем
примере,
может
быть слоя.
использовано Погрешность
д.11я оппсания (5) в аппрокспмации
вне пограничного показателя экспо
ненты |
Л2 |
имеет |
величину |
порядка |
~t. |
|
Еще |
одной |
иллюстрацией |
рассмотренного |
|||
может |
служить |
система |
.11шейных |
уравнений |
||
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
-=Ах |
|
||
|
|
|
|
dt |
|
|
явления
(7)
с
м:.::трицей |
второго |
порядка |
А--(-11000 |
-9929)· |
Л |
1 |
= |
|
|
|
|
-1001,
где |
Л1, Л.2 - |
собственные чпсла |
матрицы |
А. |
103, |
|
Разделив первое уравнение |
системы |
на |
10-3 dx;:> |
= -хщ |
+О,999х< |
> , |
||
|
|
|
|
2 |
|
ttx<2> |
- |
щ - |
2х<2> |
• |
|
dГ-х |
|
|
|
|
получим
(8)