Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Планирование и обработка эксперимента / Rakitskiy - Chislenniye metodi resheniya 1979

.pdf
Скачиваний:
69
Добавлен:
13.05.2017
Размер:
6.71 Mб
Скачать

ю. В. РАКИТСКИй, с. .м. ~·стинов, и. г. ЧЕРНОРУЦI<Ий

Численные методы

решения

жестких систем

.\ЮСКВА «НАо'КА»

Г.1АВНАЯ РЕДАКЦИЯ

ФИЗИКО·l•\АТЕ.\IАТИЧЕСКОй ЛИТЕРАТУРЫ

1 9 7 9

22.193 р 19

УДК 519.6

ЧисJiенные

методы

решения

жестких систем.

Рак и т-

-:: кий Ю. В.,

У ст ин о в

С. М.,

Ч ер.нор у цк и й

И.

Г. Наука.

Г.1~вная редакция физико-:v1ате:11атической литературы.

М.,

1979.

Книга посвящена :11ето.1а:v1 анализа и численного решения жсст­ ю1х дифференциальных с1·:сте:v1 (ЖДС). Так на:н-.шаются системы обыкновенных дифференциальных уравнений. при '!ИС'.1е.нном интегри­

роваюш которых традщионны~1и ,,1етода:v1и приходится испо.1ьзовать

очень '1a.1ыi'I шаг интегрирования по сравнению с заданньв1 ЩJО?.1е­ жутко:.1 интегрирования, хотя иско:11ые функции из;,1еняются доста­

точно :11ед:~ечно. В 1ш11ге дано строгое опре,1е.1ение класса ЖДС.

Опнсаны источ11111<11 их возникноuсшш и основ:1ые сrюйства. Расс:чот­

рены зr.:..ачи оптнчизации и управления, которые .J.о,:1жны решатьс11

с уч:=1·0:.1 жесткости, даны новые методы решения ЖДС и задач оп­

ти :-шз а111ш.

Юр11й Вас11льев11ч Ракитский Сергей i\/ихайлов11ч J'стинов

Игорь Георгиеви•1 Черноруцкий

Чпс.1(!:1Ные методы решения жестких систем

:V\" i 9~9 г., 208 стр. с и.1.1.

Рt·;щктор lf. Н. Васина

Тех:'. ре;~,актор Е. В. Морозова

Корректоры О. А. Бутусова. Е. В. Сидоркина

и~; ,\;

11234

 

 

 

 

 

 

Сдано

в

набор 15.02.79.

По;~,писано к печати 05.07.79.

 

Т-11245.

Бр1аrа

8!Х 1081/32. тип.

J\J1J 1.

Лн•сrатурная 1·арнитура.

Высокая

печать.

Ус.човн. печ. л. 10,92.

Уч.-11зд.

л. 11,16.

Тираж 5000

экз.

Зак.

No 50.

Цена книги 1 р. 10 к.

 

 

 

 

 

 

Из;~,ате.1ьство «Наука»

 

 

 

 

 

 

Главная редакция физико-)1атематической литературы

 

 

 

117071. Москва, В·71, ЛенИIIС!<ИЙ проспект, 15

 

 

 

Типография издате.~ьства «Связь:. Госкомиздата СССР

 

 

 

Москва, 101000, ул. !(крова, д. 40

 

 

 

 

 

20204-114

1702070000

@ Г.1авная редакция

 

 

р

 

52-79.

физико-математической

 

053 (02)-79

 

 

литературы

 

 

 

издательства «Наука•, 1919

Оглавление

Пре;щс.1оn:;е

 

 

 

 

 

4

Вnедение

 

 

 

 

 

 

7

~ В.1. Яв.1ен11е жестко~тп

 

 

 

7

~ П.2. Фор~;а:тьное опре.:~.елепис

 

 

15

~ В.3. Своiiспза жестких

систе~!

 

 

19

§ В.4. Прю1еры

 

 

 

 

 

28

Г.zа1ю /.

ЧисJiенное интегрирование жестких систем

36

~

1.1.

Ра:шо-:: rпые схе:чы

.

 

 

36

,,

1.2.

У~то:«t1;:nость 11

точпость .

 

 

47

§ 1.3..'\1ето.:~.11ка

прш.1енен11я неявных

~1етодов

73

Г.zor:e

2.

С1,-:тею1ые методы

 

 

 

81

~

2.1.

II::с.1снное решение

.1и11сйннх

свете~·! . .

81

~

2.?. .

.\\атrичаые р~э.1ожс11ш1 11

спсте~шые :.rето.1ы

96

:?"З.

Прнб.1:1жен11сс ре.непнс снсте:.r разностных ураJ-

108

 

 

нений

 

 

 

 

 

Г.~ава 3.

Асимптотические

преобразования жестких систем

113

~

.1.1.

Принцип

квазистационарности

производных

113

§ 3.2.

Квазнсташюнарность производных в не.1инейных

121

 

 

жестких снсте>1ах

 

 

 

Г.zапа 4.

Оптимизация

 

 

 

 

135

§

4.1. Оптимизация и

жесткость

. . .

135

§ 4.2. Анализ некоторых известных методов

142

§ 4.3. Системные методы оптимизации

151

§ 4.4. Принцип повторных измерений

 

169

§ 4.5. Иерархическая

оптимизация

 

180

§ 4.6.

Примеры

 

 

 

 

 

195

.1итература

 

 

 

 

 

206

Предисловие

Эффективное

управленпе

процессами

и

систе­

мами основано ческих моделей

на использованпи адекватных математи­

объектов. Учет большого числа

факто­

ров

при

построении

таких

моделей

неизбежно

приво­

дит I< явлению жесткости

системам. Сущность этого

и описывающим его жестким

явления определяется необ­

ходимостью

одновременного

привлечения

для

адекват­

ного

оп11санпя

процессов

в

тобой

точке

отрезка

наблю­

дения

быстроубывающих

функций

с

большими

произ­

водными

и

функций

с

малымп

производнымп.

По-впдпмому, термин «жесткие

первой

публикацией,

где

вводится

уравнения» и показана

целесообраз-

1юсть

испо.1ьзования для их

численного

решения

ных

методов, является

работа

К. Куртиса

и

Д.

шфельдера [44]. Появление

этой

статьи

в 1952

г.

неяв­ Хир­ бьIJio

вызвано трудностями при

численном

интегрировании

некоторых типов обыкновенных

дифференциальных

неннй классичсскпми методами

Адамса и Рунге -

урав­ Кут­

та.

Поначалу

скептическое

отношение

к

жестким

урав­

нениям, как к некоторой частности,

усиливалось

дами на

всемогущее быстродействие

грядущей

.'Iителыюй

техники.

Однако расширение ~классов

мых задач, глубина

их постановки

и

обилие

надеж­ вычис­ решае­ вычис­

.'Iяемых

вариантов,

ставшие

возможными

именно

благо­

даря

прим·енению

вычислительных

машин,

позволили

ус­

танавить, что

ниях -

скорее

явление

жес-гкости в научных исследов·а­

пра1вило,

чем исключение, •и что высокая

п·роизводительность

·современных

вычислитель·ных

средств

не

снимает Хорошо

проблемы известно,

жестких систем с повестки дня.

что

необоснованное

пренебреже­

ние

разного рода

«малыми

величинами»

при

математи­

ческом

моделировании

реальных

процессов

может

су­

щественно

исказить

истинную

картину

явлений.

Поэто­

rvtу

n

системах

уравнений,

описывающих

еще

не

изу-

Предис.ловие

5

ченный процесс, исследователь вынужден учитывать бо.r~ьшое количество на первый взгляд второстепенных

факторов. Следствием этого, ка1к правило, является, с

одной стороны - относительно высокий порядок сис­

тюш. с другой - ее жес11кость. При дальнейшем изуче­

нии процесса степень жес11кости и порядок системы

обычно понижаются, но ·существует и ряд важных задач, г;re )Кесткость присутствует по самой сути 'Вещей.

Поэтому интерес к методам численного решения жесю~х уравнений непрерывно растет, о чем свиде­

те.1ьствуют многочпсленные пуб.'шкации и проведенные

'ltеж1ународные конференции [59, 15].

С другой стороны, хотя некоторые вопросы числен­

но:-о интегрирования, связанные с жесткими система­

\Ш, 1~з.1ожены 'В книге Н. С. Бахвало·ва [2] и ·специаль­

ных ;-;1авах монографий [50, 53], одна1ко до сих пор не

сущ.::ствовало даже строгого определения к.riacca жест-

1шх уравнений, отсутствовали

единая

терминология

и

спеuпфпческпе методы

исследования,

основанные

на

свойствах жестких систем.

Настоящая

монография,

как надеются авторы, должна

восполнить

этот

пробел.

В ней с единой точки

зрения

рассматриваются

вопро­

сы, свлзанные с явлением жесп<0сти в системах обык­ новенных дифференциальных уравнений и объединенные

общ1r:.1 математическим подходом. Класс рассматривае­

мых задач ограничен задачей Коши для обыкновенных

дифференциальных уравнений и смежными вопросами

оптюшзации в конечномерных пространствах.

Во введении дается понятие жесткой системы обык­

новенных дифференциальных уравнений, рассматрива­

ются источники возникновения таких систем и излагают­

ся их свойства. Приведены характерные примеры, ил­

люстрирующие явление жесткости в различных техниче­

ских системах.

Г.1ава l посвящена сравнительному анализу явных

инеявных методов численного интегрирования приме­

ните.1ьно к жестким системам, методике синтеза раз­

ностных схем с расширенными областями устойчивости

по шагу дискретности, а также вопросам их практиче­

ского пспользования.

В r.'1аве 2 излагаются общие вопросы построения разностных схем на базе матричных разложений, обоб-

6

Предисловие

щающих

классическое

разложение

Тейлора.

Приводится

методика

точного

решения

спстем

линейных

диффе­

ренциальных уравненнй

с

постоянными

коэффпцнен·

тами. Расс:\1атриваются

методы приближенного решення

систем разностных уравнений. Основные :v1атериа.1ы :.1а­

вы впервые нзложены в 1[22, 23].

 

Резу.11ьтаты третьей

11

четвертой гдав в

значите.1ь­

ной

степенн

основаны

на

двух

принципах

(пршшппе

квазистащюнарностн

производных

и

принцнпе

повтор­

ных

11з~1ерений),

предложенных

Ю.

впервые сфор~rу.шрованных ·в r24]. в

В.

Ракитскю.r

п

пос.1едующей

ра­

боте

[25]

бы.10

получено

необходимое

математическое

обоснование

указанных

прннщшов

и

разработаны

соот­

ветствующие алгоритмы.

Г.1ава 3 посвящена

асимптотическпы

преобра.>ова-

1-шям жtстю~х снстеч.

Показана возможность

с11:'>1ацш1 снстема!\111

меньшей размерностп.

пх аппрок­

расс.1атри­

вается

пр11мененпе

разработанных

методов

для

:;аж­

ного

ч<1ст1-юго

случая

жесткпх

систем,

допус1<ак;щ11х

предста1мен11е В г.1аве 4

в спнгу.11ярно возмущенно:..1 впде.

излагаются ~1етоды реШения оптпмпзаш1-

онных задач

для

скорейшего

спуска,

фу11ющона.1ов с опасывае?.1ым11

траектор11ям1:

наи­

жеспш:шr

с::::·те~1а­

м11

дифферешшальных

уравненпй.

Прп

l\ШЮЕ\Шзащш

r;о­

добных

фушш1юн<1.1ов

трад1щ1юнными

методами

вознп­

кают пзвестные

.1енные овражной

вычпстпельпые

трудностп,

обу.:-.1ов­

структурой поверхности уровня.

Прнведенная

бпбтюграфня

не

претендует

на

по.1-

ноту

п

содержит

лишь

те работы,

которые непоср.:Jст­

венно 1шигн.

11спользоваш1сь авторами

Обшпрная библиография

при

написанин

:.тoi"r

зарубежных

пуб.1iша­

ций Ю!;\f

имеется в системам

сборнике докладов

[59] и монографии

конференцип [53].

по

жест­

В

книге

принята

следующая

система

ссы.1ок

на

фор­

мулы: двойная

нумерация

означает

формулы; одинарная -

тодько номер

г.11аву форму.1ы

11 в

номер данной

главе.

 

 

 

 

Авторы

11

искренне

признательны Н. С.

внимание

доброжелательную

критику

стоящей ~книги.

 

 

Бахвалову рукописн

за на­

Авторы

Введение

§ B.l. Яв.'lение жесткости

Рассмотрим дифференциальное уравнение пер­ r;сс, поря,1r.::а с малым параметром ~t прп производной

dx

х),

~t>O, f (t,

о

t

,

xER1

(1)

µ d[ = f (t,

x)ECtx

 

.i:::;~ с.1учая, когда вырожденное уравнение, соответствую­

w=е (l),

f (t, Х)= о

(2)

11-.1 еет единственное решение

 

x(t) = G (t)

(3)

li .а окрестностп этого решенпя величина дf/дх

отрица­

те.1ьна. Пос.тrеднее условие является достаточным для

ус:оiiчивости решения x(t) =G(t).

 

Характер поведения решений уравнения (1)

отражен

нz.: рпс. J. Штриховыми .тrиниями показано поле направ­

.1е~тй, касательных

к интегральным кривым. Для

до­

с·т ;~ ·:оч!ю м а:юго µ

касате.1ы1ые к интегральным

кри­

IЗЫ)I даже при небольшом отк.'юненпи от функции

(3)

rсочпr Ш! ра"1лельны осн х. I I чем меньше ве.'шчина µ,

тем

'3с.:стрее осуществляется сб.1ижс1ше интегральной кривой lf решеrrпя (3) вырожденного уравнения.

Сптуаuпя, представ.1еш1ая на рис. 1, может быть опи­

·::''1I:а с.1едующим образо:11. У .1юбой интегральной кривой

нз рассматриваемой об.1асп1 выделяются два участ,ка с

--·ущественпо различным поведением решения, причем

продотюпельность первого значительно меньше второго.

Первый участок с быстрым пзменением искомой функ­

Li!Ш отражает стремление интегра.пьной кривой к графи-

1-;у функции x=G(t) 11 называется пограничным слоел·t.

8

Введение

На втором участке производные решения значительно

меньше, а интегральная кривая практически совпадает

с графиком G(t). Пограничный слой всегда будет иметь

место, кроме случая специального выбора нача,1ьных

::п.То)

. - . .'

о

t

 

 

Рис. 1.

условий хо= G(to) на графи1ке корня вырожденного уравнения (2). Разю1чный характер поведения решения

на обоих участках прояв.11яется тем О1'чет.11ивее, чем

меньше величина параметра ~t.

Таким образом, вне пограничного CJtOЯ для описания решения дифференциального уравнения ( 1) может быть

испо.'IЬзова~-ю решение алгебраического уравнения (2).

Заслуживает внимания и то, что даже прп небольшом

отклонении начальных условий от графика x=G(t) в

.11юбой его точке производная решения dx/dt резко воз­ растает по сравнению с производной dG(t)/dt.

Кривые, аналоrнчные интегральным кривым рис. 1.

разумеется, могут отвечать и бодее сложным уравнени­ ям. Так линейное однородное уравнение второго поряд­ ка с малым множителем ~t при второй производной

d2 x

dx r

(4)

µ-+--гх=О

dt2

dt

 

имеет решение

 

 

х (t) = С1 1-•t +С2e"•t,

(5}

где С1, С2 - производьные постоянные, определяемые

§

В.1.

Явление

жесткости

9

нача:1ьными условиями,

ческого уравнения

а

Л.1,

/.2

-

корни

характеристи­

/..

1

~

1

-- µ.

+

1

+

µ,

Л.

2

~

-

1-

µ,

опре.J.е.1енные

с

точностью

до

ч.1енов

поряд.~ка

~t

включи­

те.1ьно. Особенности

решенпя

уравнения

(

1),

уже

рассмот­

ренные

выше,

будут

нметь

место

и

для

решения

уравне­

ния

(

4).

Продолжительность

пограничного

слоя

~-пс

в

данном случае

определяется

ря.J.ОК величины

~t. Вне этого

величиной

Л1 и имеет по­

промежутка

решение изме­

няется значительно медленнее в

сдаr·аемым в (5). Предпо.1агая,

соответствии со вторым

как это

обычно имеет

)f·есто,

что

промежуток

Т

наблюдения

решения

опреде­

ляется

величиной

Л2,

по.1учим

очевидное

неравенство:

Т~'tпс.

Вырожденным

уравпенпем

для

(4)

будет

урав­

нение

dx . - dГ'х=О,

(6)

решение

которого,

как

и

в

предыдущем

примере,

может

быть слоя.

использовано Погрешность

д.11я оппсания (5) в аппрокспмации

вне пограничного показателя экспо­

ненты

Л2

имеет

величину

порядка

~t.

Еще

одной

иллюстрацией

рассмотренного

может

служить

система

.11шейных

уравнений

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

-=Ах

 

 

 

 

 

dt

 

 

явления

(7)

с

м:.::трицей

второго

порядка

А--(-11000

-9929)·

Л

1

=

 

 

 

 

-1001,

где

Л1, Л.2 -

собственные чпсла

матрицы

А.

103,

 

Разделив первое уравнение

системы

на

10-3 dx;:>

= -хщ

+О,999х<

> ,

 

 

 

 

2

 

ttx<2>

-

щ -

2х<2>

 

dГ-х

 

 

 

 

получим

(8)