Лабораторная работа № 23 определение момента инерции твердого тела и проверка теоремы штейнера

Цель работы:

Экспериментальное определение моментов инерции различных твердых тел с помощью измерения периода крутильных колебаний, и проверка теоремы Штейнера.

Оборудование:

Штатив со спиральной пружиной и приспособлением для крепления исследуемых тел, регистратор движения, электронный блок управления Cobra3, набор тел различной формы, компьютер.

Продолжительность работы– 4 часа.

Теоретическая часть

Момент инерции - это величина, зависящая от распределения масс в теле и являющаяся мерой инертности тела при вращательном движении. Момент инерции тела относительно оси вращения определяется выражением

(1)

где- элементарные («точечные») массы, на которые мысленно разбивается тело,- расстояния от этих масс до оси вращения (рис.1)

Рис.1. К определению момента инерции (ось перпендикулярна плоскости чертежа)

Если вещество в теле распределено непрерывно, то вычисление момента инерции сводится к вычислению интеграла

, (2)

где и- масса и объем элемента тела, находящегося на расстоянииот интересующей нас оси;- плотность тела. Интегрирование должно производиться по всему объему тела.

Аналитическое вычисление таких интегралов возможно только в простейших случаях тел правильной геометрической формы. Если твердое тело представляет собой тонкое кольцо радиуса Rи массыm, то момент инерции относительно оси, перпендикулярной плоскости кольца и проходящей через его центр равен (рис. 2).

. (3)

При вычислении момента инерции однородного цилиндра (или диска) относительно оси, совпадающей с его осью симметрии (рис.3), следует учесть, что величины в выражениине равны радиусу дискаR, а изменяются для разных элементарных массот 0 доR. После вычисления этой суммы (интегрирования) получим для момента инерции цилиндра

(4)

где - масса цилиндра.

Рис. 2. Момент инерции кольца	Рис. 3. Момент инерции цилиндра	Рис.4 Момент инерции шара

Вычисление по формуле (2) момента инерции шара массы m и радиусаRотносительно оси, проходящей через центр шара (рис.4), дает результат:

. (5)

Другим типовым элементом конструкции твердых тел является стержень. Стержень массы m , имеющий длинуL , изображен на рис.5.

Рис.5 Схематическое изображение стержня

Момент инерции стержня, вычисленный относительно оси Z, проходящей через его центр масс, равен:

(6)

Если определен момент инерции относительно некоторой оси Z, проходящей через центр масс тела, то, оказывается, можно легко вычислить момент инерции относительно любой другой оси, параллельной оси Z. Правила этого расчета сформулированы в теореме Штейнера.

Согласно этой теоремы,момент инерции тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс телаи параллельной данной оси, и произведения массы тела т на квадрат расстояния между осями:

(7)

С помощью формул (3) – (6) можно рассчитать именно величины I_с предметов различной формы. Если интересует, например, момент инерции стержня относительно осиZ₁, проходящей через один из его торцов ( рис.5 ), то, в соответствии с (7):

(8) Для тел неправильной формы интегралы (2) могут быть найдены численными методами.

Экспериментально определить момент инерции можно, например, с использованием механического устройства, создающего крутильные колебания исследуемого тела. В данной работе крутильные колебания создаются с помощью спиральной пружины. Один конец этой пружины жестко связан с основанием штатива, другой прикреплен к вертикальному валу, ось которого совпадает с осью вращения тела. Вал может вращаться относительно основания без трения. В верхнем торце вала имеется приспособление для крепления исследуемого тела.

При повороте тела на угол φ пружина закручивается, и возникает момент силM, который в широких пределах пропорционален углу закручивания:

(9)

где f– постоянная для данной пружины величина, называемая ее модулем кручения.

Если исследуемое тело повернуть на некоторый угол, а затем отпустить, в системе возникнут крутильные колебания, которые можно описать с помощью основного уравнения динамики вращательного движения:

или (10)

Уравнение (10) тождественно дифференциальному уравнению второго порядка вида:

(11)

Если (12)

Известно, что решением уравнения (11) является функция:

(13)

где - амплитуда, а- начальная фаза колебаний.

Последнее утверждение легко проверить, подставив функцию (13) в уравнение (11).

Таким образом, чтобы экспериментально определить момент инерции тела I , нужно измерить период колебанийи знать модуль крученияf.Как следует из (12):

(14)