1 семестр МП / РПК / Динамика твердого тела. Релятивизм. Колебания / lect_13_m2_of_tks_fizika1_231000.62

Дисциплина. Физика 1. Механика. Термодинамика

Модуль 1.2. Динамика твердого тела. Релятивистская механика. Механические колебания, механические волны

Лекции 13. Энергия упругой волны

Основные понятия: энергия упругой волны, плотность энергии упругой волны, плотность потока энергии, вектор Умова.

План лекций

1.Скорость волны в тонком стержне.

2. Энергия упругой волны.

3. Плотность энергии упругой волны

4. Плотность потока энергии.

5.Вектор Умова.

6. Интенсивность .

1. Скорость волны в тонком стержне.

Под тонким имеется в виду стержень, толщина которого мала по сравнению с длиной волны λ. При малых продольных деформациях стержня справедлив закон Гука:

 = E∙ε, (1)

где  = F/S — напряжение (Н/м²), E = kx/S — модуль Юнга (Па), ε = u/x. Заметим, что , как и ε, величина алгебраическая, и знаки  и ε всегда одинаковы: при растяжении — положительные, при сжатии — отрицательные.

Рассмотрим малый элемент стержня Δx << λ в момент, когда при прохождении волны он оказался, например, в растянутом состоянии (рис.). Применим к этому элементу 2-й закон Ньютона:

где ρ — плотность материала стержня, S — площадь его поперечного сечения. В данный момент, как видно из рисунка, Fx(x + Δx) > 0, a Fx(x) < 0. Соответствующие же значения  в сечениях x и x + Δx положительные (растяжение!). Поэтому правую часть уравнения можно переписать так:

,

где учтено, что слева Fx и  имеют разные знаки (это будет и при сжатии). Окончательно получаем:

(2)

Мы пришли, таким образом, к волновому уравнению. Это позволяет утверждать, что в стержне будет распространяться продольная волна, скорость v которой легко определить:

(3)

Заметим, что для не тонкого стержня выражение для v имеет более сложный вид и значение v оказывается больше, чем в случае тонкого стержня.

2. Энергия упругой волны.

При распространении волны в пространстве от какого-либо источника происходит и распространение энергии; частицы среды, вовлекаемые в колебательное движение, получают энергию от волны. Среду, в которой распространяется волна (воздух) будем считать идеальной, не поглощающей волну (реально это справедливо для небольших участков пространства, в пределах которых диссипацией энергии можно пренебречь).

Начнём рассмотрение вопроса об энергии упругой волны на примере простой модели продольной волны в одномерном кристалле Вычислим энергию, приходящуюся на один «элемент» кристалла – один «атом» массой m и одну связь (пружину) с коэффициентом упругости k .

Для бегущей волны произвольной формы выполняется соотношение .

Кинетическая энергия элемента – это энергия «атома», движущегося со скоростью и она равна:

Потенциальная энергия деформированной пружины пропорциональна квадрату величины её растяжения или сжатия , а учитывая малость сжатия получаем . И окончательно получаем:

Итак, область пространства, участвующая в волновом процессе, обладает дополнительным запасом энергии. Эта энергия доставляется от источника колебаний в различные точки среды самой волны, следовательно, волна переносит энергию.

Для рассматриваемой нами простой модели полная энергия одного элемента одномерного кристалла:

.

Эта формула может быть естественным образом обобщена на любые (не обязательно одномерные) среды с распределёнными параметрами.

Для этого нужно только заменить массу одного элемента на массу, приходящуюся на единицу объёма среды (т.е. плотность ρ), при этом получим полную энергию, приходящуюся на единицу объёма среды, в которой распространяется упругая волна:

Например, при распространении звуковой волны в воздухе, во-первых, это кинетическая энергия частиц воздуха, пришедших в движение; во-вторых, поскольку среда упругая, это потенциальная энергия деформации воздуха. Причём и кинетическая, и потенциальная энергия в любой точке пространства изменяются абсолютно синхронно во времени: когда кинетическая энергия достигает максимума, то и потенциальная энергия максимальна, и наоборот.

3. Плотность энергии упругой волны.

Плотности кинетической и потенциальной энергии в данной точке плоской упругой продольной волны равны:

;.

Найдем выражение для плотности упругой (потенциальной) и энергии растянутого ( или сжатого) стержня.

Приложим к концустержня, другой конец котрого закреплен растягивающую силу и будем ее медленно увеличивать от 0 до . Удлинение стержня будет при этом возратать от 0 до . Если невелико, то по закону Гука , где –коэффициент упругости.

Работу же силы Гука можно определить:

.

Эта работа идет на изменение упругой энергии стержня т.е. .

Учитывая, что для упругой волны , получим что плотности кинетической и потенциальной энергии в каждой точке бегущей волны равны друг другу.

Для плоской монохроматической волны ее объемная плотность:

.

Для среднего значения объемной плотности энергии получаем:

Скорость переноса энергии волной есть скорость перемещения в пространстве фиксированной амплитуды волны; для простой синусоидальной волны эта скорость совпадает с фазовой скоростью.

4-6. Средняя плотность потока энергии. Вектор Умова. Интенсивность.

Потоком энергии через площадку dS. называется энергия, прошедшая через эту площадку в единицу времени. Если скорость переноса энергии , то поток энергии dФ через площадку расположенную перпендикулярно направлению распространения энергии запишется: dФ=ωνdS. Под направлением ориентации площадки понимается направление нормали к её поверхности.

Плотность потока энергии − поток энергии через единичную площадку, то есть :. В отличие от потока плотность потока – величина векторная.

Для определения плотности потока энергии и его направления вводят вектор Умова.. Для гармонической волны .

Среднее значение по времени вектора Умова можно записать в виде: .

Это выражение справедливо для любого вида волн. Среднее по времени значение плотности потока энергии называется интенсивностью волны:. Интенсивность упругой (то есть механической, звуковой) волны зависит как от амплитуды, так и от частоты.

Учебно-методические материалы

Основная литература

1. Савельев И. В. Курс общей физики, кн. 3. – М.: ООО «Издательство Астрель», ООО «Издательство АСТ», 2004, §§1.1-1.10.

2. Иродов И. Е. Волновые процессы. Основные законы: Учебное пособие для вузов. – М.: Бином. Лаборатория базовых знаний, 2007, §§ 1.1-1.6.

Дополнительная литература

3. Сивухин Д.В. Общий курс физики. т. 1. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009, §§…

Информационно-справочные ресурсы

4. Программа обучения. «Открытая Физика 2.6. Часть 2»: Scientific Center «PHYSICON»:

5. Образовательный портал «Открытый колледж»: www.college.ru.