1 семестр МП / РПК / Динамика твердого тела. Релятивизм. Колебания / mppz_m2_of_tks_fizika1_231000.62 (1)

Методическое пособие

для практических (семинарских) занятий

по дисциплине «Физика 1. Механика. Термодинамика»

Модуль 1.2. Законы сохранения. Динамика твердого тела. Релятивистская механика. Механические колебания. Механические волны

Семинар 4. Момент импульса, момент силы. Динамика твердого тела

План занятия

1. Краткое теоретическое введение

2. Разбор типовых задач ( №№ 1.215, 1.217, 1.229, 1.235, 1.272).

3. Самостоятельное решение задач (№№ 1.216, 1.218, 1.219, 1.274).

4. Обсуждение самостоятельно решенных задач, включая домашнее задание

5. Краткое обобщение рассмотренных вопросов и подведение итогов

Основные определения и формулы

1. Момент силы и момент импульса относительно точки.

Пусть на материальную точку , положение которой относительно неподвижной точки определяется радиус-вектором , действует сила Моментом силы относительно точки называют вектор равный векторному произведению векторов и

.

Модуль вектора равен

где – угол между векторами и – плечо силы относительно точки (плечо силы – это кратчайшее расстояние между точкой и линией действия силы).

Аналогично определяется момент импульса относительно точки

,

где – импульс материальной точки. Дифференцируя определение момента импульса по времени, получим уравнение моментов:

2. Закон сохранения момента импульса.

Уравнение моментов для системы материальных точек имеет вид

.

Если момент внешних сил относительно неподвижной точки равен нулю, то момент импульса системы относительно той же точки остается постоянным во времени. Это положение называется законом сохранения момента импульса.

3. Поступательное движение твердого тела.

Поступательное движение системы материальных точек можно представить как движение материальной точки, масса которой равна массе всей системы, движущейся со скоростью, равной скорости центра масс системы, т.е.

где – сумма внешних сил, действующих на систему. Это уравнение применимо и к поступательному движению твердого тела.

3. Момент инерции тела относительно оси.

Момент инерции – это величина, зависящая от распределения масс в теле и являющаяся, наряду с массой, мерой инертности тела при непоступательном движении. Момент инерции тела относительно оси определяется выражением

,

где- элементарные массы тела;- их расстояния от оси вращения.

Момент инерции тела относительно какой-либо оси можно найти вычислением. Если вещество в теле распределено непрерывно, то вычисление момента инерции сводится к вычислению интеграла

,

где – масса элемента тела, находящегося на расстоянии от интересующей нас оси. Интегрирование должно производиться по всему объему тела.

Если известен момент инерции тела относительно какой-либо оси, можно найти момент инерции относительно любой другой оси, параллельной данной. Для этой цели используется теорема Штейнера, согласно которой момент инерции тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс тела и параллельной данной оси, и произведения массы тела т на квадрат расстояния между осями :

4. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси

Уравнение динамики твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси,

или

где – угловое ускорение тела.

Кинетическая энергия вращающегося тела

Зная зависимость момента сил, действующих на тело, от угла поворота, можно найти работу этих сил при повороте тела на конечный угол :

.

5. Плоское движение твердого тела

Поступательное движение системы материальных точек можно представить как движение материальной точки, масса которой равна массе всей системы, движущейся со скоростью, равной скорости центра масс системы, т.е.

где – сумма внешних сил, действующих на систему. Это уравнение применимо и к поступательному движению твердого тела.

Кроме того, в подвижной системе отсчета, связанной с центром масс, уравнение моментов имеет такой же вид, как и в неподвижной системе. Следовательно, для вращательного движения тела относительно оси, проходящей через центр масс, можно записать

где и – момент инерции и момент сил относительно оси, проходящей через центр масс твердого тела.

Таким образом, данные уравнения описывают плоское движение твердого тела.

Литература

Л-1, §§ 3.12, 5.1- 5.9.

Л-3, №№ 1.195, 1.196, 1.197, 1.198, 1.207, 1.252, 1.253, 1.255-1.258, 1.263, 1.266, 1.268, 1.270, 1.286, 1.287, 1.288, 1.290.

Модуль 1.2. Законы сохранения. Динамика твердого тела. Релятивистская механика. Механические колебания. Механические волны

Семинар 5. Контрольная работа № 1.2 (Рубежный контроль)

Модуль 1.2. Законы сохранения. Динамика твердого тела. Релятивистская механика. Механические колебания. Механические волны

Семинар 6. Колебания

План занятия

1. Краткое теоретическое введение

2. Разбор типовых задач ( №№ 3.4-3.8, 3.18, 3.19, 3.45, 3.49, 3.51, 3.54).

3. Самостоятельное решение задач (№№ 3.12, 3.13, 3.25, 3.27, 3.41, 3.55).

4. Обсуждение самостоятельно решенных задач, включая домашнее задание

5. Краткое обобщение рассмотренных вопросов и подведение итогов

Основные определения и формулы

1. Гармонические колебания. Амплитуда, частота и фаза гармонических колебаний

Процесс, при котором отклонение некоторой величины от положения равновесия (смещение ) зависит от времени по закону синуса или косинуса

называется гармоническим колебанием. Величина – максимальное отклонение от положения равновесия – называется амплитудой колебания, аргумент косинуса называется фазой, ­– круговая частота. Число колебаний в единицу времени называется частотой; время , за которое совершается одно полное колебание, называется периодом. Величина , определяющая величину смещения при , называется начальной фазой.

2. Уравнение гармонических колебаний

Необходимым и достаточным условием возникновения гармонических колебаний является появление при отклонении тела (или системы) от равновесного положения квазиупругой возвращающей силы (– коэффициент квазиупругой силы). С учетом выражения для квазиупругой силы дифференциальное уравнение движения тела запишется следующим образом:

.

3. Кинетическая и потенциальная энергия колеблющегося тела

При гармонических колебаниях кинетическая энергия тела может быть представлена в виде

.

Зависимость потенциальной энергии от смещения вблизи равновесного положения запишется следующим образом:

.

При незатухающих колебаниях (отсутствие трения) полная энергия колебания равна

и не меняется со временем, причем и также являются периодическими функциями времени. Однако, поскольку

,

,

и колеблются с частотой , т.е. удвоенной по сравнению с частотой смещения.

4. Затухающие колебания

Если колебание некоторого тела сопровождается трением, то энергия и амплитуда колебаний будут уменьшаться. В том случае, когда сила трения зависит от скорости по закону , то закон такого затухающего колебания будет иметь вид

где Величина носит название коэффициента затухания, а называется временем релаксации: за время амплитуда колебаний уменьшается в раз. Затухающие колебания характеризуют также логарифмическим коэффициентом затухания

и добротностью где полная энергия колебаний в некоторый момент времени , а потеря энергии колебаний за отрезок времени, равный периоду колебаний и следующий за моментом времени

5. Вынужденные колебания

Применим второй закон Ньютона для того, чтобы написать уравнение движения груза массой , подвешенного на пружине с жесткостью в вязкой среде с коэффициентом трения , и колеблющегося под действием гармонической силы :

.

Разделив это уравнение на и перенеся члены с и в левую часть, получим неоднородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка:

,

где , – коэффициент затухания; – собственная частота колебаний системы. Решая это уравнение, находим

,

где , .

Литература

Л-1, §§ 8.1- 8.12.

Л-3, №№ 4.2, 4.3. 4.5, 4.7, 4.9, 4.15, 4.18, 4.21, 4.23, 4.45, 4.46, 4.70, 4.71, 4.77, 4.78, 4.81, 4.94-4.96, 4.98.

Учебно-методические материалы

Основная литература

1. Савельев И. В. Курс общей физики, кн. 1. – М.: ООО «Издательство Астрель», ООО «Издательство АСТ», 2004, §§ 3.12, 5.1-5.9, 8.1- 8.12.

2. Иродов И. Е. Механика. Основные законы: Учебное пособие для вузов. – М.: Бином. Лаборатория знаний, 2007, §§ 5.4, 6.1- 7.5.

3. И. Е. Иродов. Задачи по общей физике. – М.: ЗАО «Издательство БИНОМ», 2007.

Электронные версии учебников, учебных пособий, методических разработок, размещенные в коллекции информационных ресурсов МИЭТ: http://www.mocnit.miet.ru/oroks-miet/

4. Абрамов А.А., Ткачев В.А., Берестов А.Т., Моисеенко О.О., Погибельская Н.Б., Спиридонов А.Б., Фаттахдинов А.У. Механика. Молекулярная физика. [Электронный ресурс].-М.: Коллекция электронных ресурсов МИЭТ, 2007.- Режим доступа: http://srs.miet.ru