Определенный интеграл Римана. Эквивалентные определения. Условие Коши.

Пусть задана функция f(x) на отрезке . Составим разбиениеR: .

Это интегральная сумма, соответствующая разбиению R и выбору точек .

Если существует предел при интегральных сумм, и он не зависит отR и , то он называется определенным интегралом Римана.

Определение по Коши:

По Гейне:

, где - последовательность разбиений.

Критерий Коши:

Ограниченность интегрируемой функции.

Теорема:

Если функция f(x) интегрируема на [a,b] и существует , то функция ограничена на этом отрезке.

Доказательство:

От противного: пусть f(x) неограничена на [a,b]. Введем произвольное разбиение R: . Т.к. функция неограниченна на [a,b], то она неограничена хотя бы на одном из отрезков . Пусть - номер того отрезка, на котором функция неограниченна. Тогда рассмотрим интегральную сумму:

- т.е. выделили суммы одно слагаемое. Обозначим , тогда получим:

(следует из неравенства о модулях). Тогда возьмем произвольное N и сделаем разность . Для этого у нас должно быть. У нас функция неограниченна на отрезке, значит. Тогда интегральная сумма будет, т.е. будет являться величиной неограниченной, т.е. не будет существовать ее предела, а значит и, что противоречит условию.

Теорема доказана.

Суммы Дарбу. Их Свойства.

Определение:

Пусть ограничена на отрезке. Введём разбиениеR этого отрезка.

R: , .

Тогда можем составить выражения:

- нижняя сумма Дарбу, - верхняя сумма Дарбу.

, .

Свойства сумм Дарбу:

1) , для одного и того же разбиения.

2) Рассмотрим два разбиения в случае, когда одно разбиение является продолжением другого. Т.е. - продолжение, если все точкиявляются точками.

,

т.е. добавление точек не увеличиваети не уменьшает.

Доказательство:

Пусть получается издобавлением одной точки.

, ,

,

,

Заметим, что если , тои. Отсюда заключаем:

, ,,. Аналогично для

3) Для любых двух разбиений одного и того же отрезка нижняя сумма Дарбу не превосходит верхней:.Доказательство:

Пусть - объединение двух разбиений, тогда,, тогда по свойству 2

, т.е. .

4) - нижний интеграл (нижняя точная сумма Дарбу)..

- верхний интеграл (верхняя точная сумма Дарбу). .

.

Суммы Дарбу и интегрируемость функции по Риману.

Теорема:

Функция интегрируема на отрезкетогда и только тогда, когда.

Доказательство:

Докажем необходимость условия:

Функция интегрируема на отрезке.

Пусть , тогда, т.е..

т.е. и.

Далее имеем: , т.е..

Необходимость доказана.

Докажем достаточность условия:

.

.

.

Докажем, что .

Нужно: , т.е.

Имеем:

тогда по определению ,

, тогда по определению ,

т.е. .

Достаточность доказана.

Основная теорема о существовании определенного интеграла Римана.

Теорема (Основная)

Ограниченная функция f интегрируема на отрезке [a,b] тогда и только тогда, когда .

Доказательство:

По теореме об интегрируемости (f интегрируема ) функция интегрируема тогда и только тогда, когда (1). Надо доказать, что если. Т.е. если найдется одноR^*, удовлетворяющее неравенству (1), то оно (неравенство) будет выполняться для всех R. Возьмем произвольное . Нужно найтиδ, такое чтобы выполнялось неравенство . По условию теоремы. Рассмотрим наше разбиениеR^* и произвольное R, как показано на рисунке. Составим разность верхней и нижней сумм Дарбý для нового разбиения R: . Нужно сделать его меньше. Из условия имеем. Обозначим через Σ первую сумму и разобьем ее: Σ=Σ₁+Σ₂. Σ₁ – такие слагаемые, что элемент нового разбиения R содержит в себе хотя бы одну точку границы старого разбиения R^*. Все остальное войдет в Σ₂. Рассмотрим отдельно Σ₁ и Σ₂:

Σ₁: т.к. функцияf – ограничена (k - константа). Тогда (M и m – максимум и минимум на [a,b]). Получим Σ₁, гдеλ_R<δ, а количество красных отрезков не превосходит 2n. Для того чтобы это неравенство выполнялось, достаточно взять δ</8kn. Т.е. при δ</8kn Σ₁</2.

Σ₂: разобьем Σ₂ на повторные суммы, т.е. Σ₂=Σ(Σⁱ). Σⁱ≤≤ (M_i^*-m_i^*)ΣΔx_i^*, где M_j и m_j – максимум и минимум на j-том участке. Σⁱ – группировка тех новых j-тых участков, которые попали в один и тот же старый. Получим Σ₂Σ₁+Σ₂<ε, т.е. Σ<. В итоге:

. Теорема доказана.

Следствие 1: Функция f – интегрируема на [a,b], если с:(если существует такая последовательность разбиений с мелкостью, стремящейся к нулю, что модуль разности последовательности интегральных сумм и интеграла стремится к нулю).

Следствие 2: Функция f – интегрируема на [a,b], если (если верхний интеграл равен нижнему).