2 семестр МПиТК / 2-й семестр / Лекции Соколова / 2_7

В этом же пункте были заявлены производная по направлению и градиент.

Можно рассматривать производную по направлению как производную сложной функции.

Пусть задана функция , дифференцируемая в точке .

Рассмотрим направление, единичный вектор которого имеет координаты .

Рассмотрим производную по этому направлению, для этого нам нужно рассмотреть отношение

Тогда можно рассматривать сложную функцию переменной

. Тогда мы получим, что

Мы получаем, что если функция дифференцируема в некоторой точке, то есть имеет непрерывные частные производные, то имеет смысл говорить о производной по произвольному направлению.

Назовем сначала формально, а потом докажем, что градиент не зависит от системы координат.

Если у нас задан произвольный единичный вектор , тогда производная по направлению будет равна , следовательно .

.

Таким образом, градиент в точке – это вектор, для которого:

1.

2. Если ,то его направление совпадает с направлением, вдоль которого значение производной максимально.

Докажем теперь, что градиент не зависит от системы координат.

Зададим точку, и направление

- не зависит от системы координат, следовательно, и градиент не зависит от системы координат.

Свойства дифференциалов и дифференциалы высших порядков.

Мы доказывали, что если функция дифференцируема, то она имеет частные производные. Тогда дифференциал функции представим в виде .

Тогда у нас сохраняются свойства частных производных, так как частную производную можно рассматривать как производную функции одной переменной. Свойства дифференциала также сохраняются.

1.

2.

3. Если , то

Доказательство (3):

, что и требовалось доказать.

Точно также, как в случае одной переменной определяются дифференциалы высших порядков.

Пусть задана функция - дифференцируемая в некоторой точке, имеющая дифференциал , в свою очередь этот дифференциал тоже может быть дифференцируемой функцией.

.

Запишем формулу для дифференциала второго порядка:

. Возьмем от этого дифференциал

Если функция имеет непрерывные частные производные, то

, то есть второй дифференциал представляет из себя квадратичную форму относительно дифференциалов независимых переменных.

Аналогичным образом можно определить дифференциал -го порядка.

Инвариантность формы первого дифференциала. Неинвариантность форм высших дифференциалов.

Покажем, что, как и в случае одной переменной, форма первого дифференциала инвариантна, форма высших дифференциалов неинвариантна.

Пусть задана функция , где , m-мерная переменная, , где , n-мерная переменная, тогда можно рассматривать функцию .

Предположим, что всякое имеет непрерывные частные производные , и имеет непрерывные частные производные , тогда, учитывая, что , получим:

т.е. форма первого дифференциала сохраняется, он выглядит так же, как если бы была независимой переменной.

Т.е. форма первого дифференциала инвариантна.

Рассмотрим второй дифференциал при независимой переменной x:

Пусть теперь – зависимая переменная: , ,.

Первая часть одинакова, независимо от того, зависима переменная или нет, а остаток только в том случае, когда линейно зависит от x, т.е. .

Аналогично форма k-го дифференциала инвариантна, когда - многочлены не выше k-го порядка от переменных .

Формула Тейлора.

Для вывода формулы Тейлора для функций многих переменных сведем все к одномерному случаю и воспользуемся формулой Тейлора для функций одной переменной с различными остаточными членами. Пусть задано связное открытое множество (связное открытое множество называется областью). Возьмем произвольную , такую что в этой точке определены и непрерывны все частные производные до k-го порядка: . Тогда эти частные производные определены в некоторой окрестности (вследствие их непрерывности). Возьмем точку , тогда все точки вида , если. Тогда зададим функцию , t – переменная:

, она определена при .

Заметим, что , .

Наша задача состоит в том, чтобы представить значение функции в точке с помощью значений функции и ее частных производных в точке . Т.е. нам нужно значение функции представить с помощью значений функции и ее частных производных при . Запишем формулу Тейлора для функции с остаточным членом в форме Лагранжа в окрестности точки :

Найдем как производную сложной функции многих переменных:

, тогда

.

Рассчитаем опять же как производную сложной функции многих переменных:

Теперь запишем остаточный член второго порядка в форме Лагранжа.

Обозначим через - длина вектора и подставим все полученные выражения в формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа:

, подставим , получим

Докажем, что , т.е. получим остаточный член в форме Пеано:

Теперь мы можем записать формулу Тейлора и с остаточным членом в форме Пеано:

или для разложения до k-го порядка:

, где - дифференциал функции, вычисленный в точке на приращении .

Пример:

Разложим функцию по формуле Тейлора в окрестности точки до второго порядка.

То же самое мы бы получили, если бы разложили по формуле Тейлора в случае одной переменной каждый из множителей:

Если мы это перемножим, то получится то же самое, если мы загоним все большие степени в о-малое.