2 семестр МПиТК / 2-й семестр / Лекции Соколова / 2_9
.docЭкстремумы функций многих переменных.
Локальный (абсолютный) экстремум.
Пусть функция F определена на некоторой области .
Определение:
называется точкой локального максимума, если .
Определение:
называется точкой локального минимума, если .
Пусть , где - координатный вектор i-го направления,
в случае максимума получаем: .
Теперь рассмотрим - функцию одной переменной:
, максимум этой функции достигается при .
Необходимым условием существования точки максимума для функции одной переменной является равенство нулю первой производной, значит , а - производная по направлению .
Таким образом, необходимое условие существования экстремума – равенство нулю всех частных производных, по всем направлениям, при условии их существования.
Необходимое условие экстремума: если в некоторой точке существуют частные производные, и эта точка – точка экстремума, то все частные производные равны нулю.
Исследование функции на экстремум мы начинаем с нахождения тех точек, в которых частная производная равна нулю, но это будет только необходимое условие экстремума, надо еще вывести достаточное условие экстремума, то есть проверить, действительно ли в этой точке у нас экстремум, подозрительные точки мы найдем.
Пусть функция f имеет непрерывные частные производные второго порядка в точке , тогда для произвольной точки можно записать разложение нашей функции по формуле Тейлора. Первые производные по необходимому признаку равны нулю.
Обозначим и рассмотрим квадратичную форму: - квадратичная форма, где - переменные. Наша форма будет симметричной, а значит и квадратичной, как раз потому, что у нас вторые производные непрерывны.
-
если форма строго положительно определена, т.е. , то - точка минимума.
-
если форма строго отрицательно определена, т.е. , то - точка максимума.
-
если форма не определена, т.е. и , то экстремума нет.
-
если форма положительно или отрицательно полуопределена, т.е. , то ничего сказать нельзя, нужно дополнительное исследование.
Доказательство:
Обозначим в качестве. Рассмотрим вектор с координатами
Возвращаясь к формуле Тейлора, получим:
Обозначим как функцию , тогда эта функция очевидно является непрерывной, т.к. частные производные у нас непрерывны, и нам нужно рассмотреть эту функцию Ф на единичной сфере, т.к. . Единичная сфера является замкнутым ограниченным множеством, а потому функция Ф достигает там своего наибольшего и наименьшего значения.
-
Пусть Ф положительно определена, тогда значит и , тогда мы можем подобрать такое , чтобы оно было больше чем , т.е. мы можем сделать всю скобку , т.е. сделать . , значит - точка минимума.
2. В этом случае форма отрицательна определена:
. Тогда эта квадратичная форма точно также достигает своего максимума и этот максимум меньше нуля:
И точно также мы берем таким маленьким, что , тогда
. Получается, что
. И тогда в точке - максимум.
3. Форма неопределена.
То есть найдется такое , что и найдется такое , что .
Рассуждая аналогично, мы получим, что в любой окрестности найдется такая точка , что
То есть на любом луче у нас найдутся значения больше и меньше, значит - не экстремум.
4. Ничего сказать нельзя.
У нас найдется такая точка, то квадратичная форма равна нулю. .
Если мы теперь возьмем этот луч, приближаясь к точке , то есть все вектора, параллельные вектору, то есть возьмем вектора вида .
По свойству квадратичной формы у нас получится в силу линейности, что
.
То есть в любой окрестности точки найдутся такие точки , что
, мы не знаем, какого знака . Она может быть как положительна, так и отрицательна.
Но каждый раз определять знак квадратичной формы неудобно, поэтому введем
Критерий Сильвестра.
Рассмотрим квадратичную форму- вполне определенные числа. Ее можно записать в виде матрицы:
. Эта матрица будет симметричной, потому что у нас по условию вторые частные производные непрерывны, то есть смешанные производные равны между собой. Тогда рассмотрим главные миноры этой матрицы
,
.
-
Если , то есть все главные миноры положительны, то форма положительно определена.
-
Если - отрицательно определена.
-
, , то форма положительно полуопределена. Единственное, что можно сказать, что нет максимума.
, , форма отрицательно полуопределена, нет минимума.
-
Во всех остальных случаях форма никакая и экстремума нет.
В случае двух переменных определители можно не писать, потому что условие экстремума записывается довольно легко.
Пусть .
Тогда
Пример 1. .
Так как это многочлен, то у него существуют все частные производные какого угодно порядка, то есть единственные точки, которые могут быть подозрительными на экстремум, это те, в которых первые частные производные равны нулю.
;.
Исследуем дальше, найдем вторые частные производные.
;
Берем точку. Тогда для нее . То есть
- экстремума нет.
Берем точку , тогда ,
-экстремум, причем минимум. Значит у этой функции единственная точка экстремума - . Точка - критическая, но не экстремум.
Пример 2.
Рассмотрим не все точки, а только :
- ничего сказать нельзя.
Рассмотрим сечение графика этой функции плоскостью . Мы получим
Рассмотрим функцию
,
Как видим, в точке 0 наблюдается максимум, а в точках - минимумы.
Если мы рассмотрим сечение плоскостью , то в точке у нас будет минимум.
Получается, что в любой окрестности точки есть значения больше 1 и меньше 1, значит это не экстремум.
Если бы нам удалось повыделять какие-то части с полными квадратами, то это был бы экстремум.
Пример 3. .