Модуль4.
ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ.
Лекции 1-2
Предел и непрерывность.
Основные понятия.
Рассмотрим пространство множество точек с координатами . Расстоянием между двумя точками называется - это евклидово расстояние между двумя точками.
Назовем замкнутым шаром с центром в точке и радиусом множество точек .
Открытый шар с центром в точке и радиусом - множество точек
Замкнутым кубом с центром в точке и стороной называют множество точек
Открытым кубом с центром в точке и стороной называют множество точек
Важно, что если мы возьмем шар с центром в точке и радиусом , то он всегда будет содержаться в кубе с центром в точке и стороной .
,
Доказательство:
Возьмем произвольную точку , тогда выполняется неравенство:
- по определению шара. Мы хотим доказать, что , т.е. . Действительно, , т.к. , значит , т.к. выполняется неравенство для куба.
Утверждение доказано.
Теперь возьмем , тогда . Мы хотим поместить этот куб в какой-то шар, тогда получим:
, т.к. - по определению куба; n – размерность пространства. Тогда точка , которую мы взяли, будет принадлежать шару: - радиус шара, в который можно вписать куб.
Получаем цепочку включений: . Аналогичное включение можно записать для открытых шаров и кубов.
Это нужно нам для того, чтобы в дальнейшем говорить, что принадлежность шару эквивалентна принадлежности кубу и наоборот – ввиду этих неравенств.
Определение: Множество называется открытым, если любая точка принадлежит ему вместе с некоторым открытым шаром (можно сказать, что и вместе с некоторым замкнутым шаром, потому что если точка содержится с некоторым открытым шаром, то возьмем замкнутый шар с радиусом, допустим, в два раза меньше радиуса открытого шара, и он тоже будет принадлежать этому множеству).
- определение открытого множества.
Примеры:
;
Доказательство:
Возьмем произвольную точку из открытого шара: тогда . Возьмем , тогда
рассмотрим шар с центром в точке и радиусом : тогда
, т.е. любая точка, принадлежащая маленькому шару, принадлежит и большому шару.
Пояснение: т.к. , . А мы брали , поэтому , а значит и
.
4)
Действительно, если мы возьмем точку такую, что , то
Определение: Множество называется связным, если найдется непрерывная кривая, лежащая в , соединяющая точки .
Т.е. найдется n функций такие, что кривая задается уравнением:
, и эти функции непрерывны на .
Определение: Множество называется односвязным, если мы возьмем любую замкнутую кривую в этом множестве, будем стягивать ее в точку и все равно при этом оставаться в этом множестве (множество, приведенное для примера связного множества, не является односвязным).
Определение: Отрезком, соединяющим точки , называются такое множество точек
Определение: Множество называется выпуклым, если .
Пример: Промежуток на - это отрезок, интервал, полуинтервал, луч, открытый луч, вся числовая прямая. Можно сказать, что промежутком на называют всякое выпуклое множество, или что промежутком на называют всякое связное множество.
Предел последовательности.
Определение1: Последовательность точек , если .
Определение2: Последовательность точек , если .
Утверждение: Определения 1 и 2 эквивалентны.
Доказательство:
Возьмем по определению1 , это означает, что ,
тогда , т.е. выполняется определение2.
Доказано.
Пусть по определению2 , т.е. , тогда
, тогда возьмем , и тогда
, т.е. точка , т.е. для точки выполняется неравенство: , что соответствует определению1.
Утверждение доказано.
Тот факт, что определение 1 эквивалентно определению 2 можно выразить еще так: последовательность точек стремится к точке , когда есть покоординатная сходимость.
Определение3: Последовательность точек называется ограниченной, если она содержится в некотором кубе (шаре), замкнутом или открытом. Причем можно считать, что она содержится в шаре или кубе с центром в начале координат.
Действительно, если то она содержится и в :
Теорема Больцано-Вейерштрасса:
Из всякой ограниченной последовательности можно извлечь сходящуюся подпоследовательность.
Доказательство:
Пусть последовательность ограничена:, тогда тоже ограничена, потому что .
Сначала извлекаем сходящуюся последовательность из последовательности : она ограничена, поэтому из нее можно извлечь сходящуюся подпоследовательность:. Теперь рассмотрим подпоследовательность второй координаты : она тоже является ограниченной, значит из нее можно извлечь сходящуюся подпоследовательность , при этом последовательность осталась сходящейся, потому что - подпоследовательность , и т.д. Т.е. когда мы получили подпоследовательность , то она будет сходящейся, и все остальные последовательности координат тоже при этом остаются сходящимися. Значит, и - тоже сходится, т.к. есть покоординатная сходимость.
Теорема доказана.
Определение4: – предельная точка множества , если существует последовательность точек из множества А, сходящаяся к точке и , т.е. если .
Предельная точка может принадлежать множеству А, а может и не принадлежать.
Пример: У открытого шара множество предельных точек – замкнутый шар, у замкнутого шара – тоже замкнутый шар.
Определение5: Объединение множества и его предельных точек называется замыканием.
Пример: Замыкание открытого шара - замкнутый шар - ставим черточку сверху при замыкании.
Определение6: Множество называется замкнутым, если оно совпадает со своим замыканием, т.е. все его предельные точки ему принадлежат.
Примеры: (из того, что точка принадлежит множеству следует, что должна существовать последовательность точек множества, сходящаяся к ней, а этому множеству ничего не принадлежит);
;
Теорема (связь между открытыми и замкнутыми множествами):
Если А – замкнутое, то - открытое .
Если А – открытое, то - замкнутое.
Доказательство:
Доказывать только один пункт не достаточно, потому что существуют множества, не являющиеся ни открытыми, ни замкнутыми.
1. Пусть А – замкнутое, тогда
предположим, что не является открытым, построим отрицание к определению открытого множества:
Если точка не принадлежит , то она принадлежит А, но это есть определение предельной точки: само не принадлежит множеству А, но в любой его окрестности найдутся точки из А:
предельная точка для множества , а - замкнутое, значит . Пришли к противоречию, которое получилось из предположения, что множество А не является открытым.
Первый пункт доказан.
2. Пусть А – открытое, тогда
рассмотрим множество : возьмем произвольную точку . Мы хотим доказать, что это множество является замкнутым, т.е. содержит все свои предельные точки. Предположим обратное: пусть множество A содержит в себе не все свои предельные точки. Тогда пусть не является замкнутым, это означает, что предельная точка для , но . Так как , то , а A – открытое множество, значит принадлежит А вместе с некоторой окрестностью, т.е. . Но тогда мы не можем приблизиться к точке по точкам множества , потому что, т.к. эта точка предельная, существует последовательность , такая что , т.е. мы получили, что в любой окрестности точки есть элементы множества . А ранее было доказано, что найдется окрестность, в которой нет элементов . Пришли к противоречию.
Теорема доказана.