- •Модуль 5. Кратные интегралы. Теория поля.
- •Критерии измеримости.
- •Свойства измеримых множеств.
- •Важные примеры измеримых множеств.
- •Кратные интегралы. Понятие функции, интегрируемой по Жордану.
- •Интегрируемость непрерывных функций.
- •Свойства кратных интегралов.
- •Вычисление кратных интегралов.
- •Лекция 10 Замена переменных в кратном интеграле. Преобразование элемента площади.
- •Лекция 11 Физические приложения.
- •Лекция 12 Несобственные интегралы кратные интегралы
- •Интеграл Пуассона.
- •Дифференцирование интеграла по параметру.
- •Элементы теории поля.
- •Лекция 13 Криволинейные интегралы. Криволинейные интегралы первого рода.
- •Криволинейные интегралы второго рода.
- •Циркуляция векторного поля. Формула Грина.
- •Лекция 14 Поверхностный интеграл. Поверхностный интеграл первого рода.
- •Лекция 15 Формула Стокса
- •Лекция 16 Потенциал поля. Условие потенциальности.
Модуль 5. Кратные интегралы. Теория поля.
Лекции 8-9
Кратные интегралы.
Мера Жордана.
Пусть задан прямоугольник в:. Тогда
- прямоугольник, .
Назовем фигурой , гдемогут пересекаться только по границам. Назовем меройсумму мер:.
Меру фигуры можно вычислить разными способами:
Свойства меры фигуры:
1.
2. , причем.
3. - фигуры,,,, если они пересекаются, быть может, только
по границе.
4. фигуры,- фигура, если, то
Измеримые множества в .
Пусть задано произвольное множество .
Рассмотрим .
- внутренняя мера Жордана.
- внешняя мера Жордана.
Если они конечны (множество ограничено) и равны между собой, т.е. , то-измеримое.
В случае n= 2 множество называется квадрируемым,n= 3 кубируемым.
Пример 1.Пусть задан отрезок.
- мы можем поместить этот отрезок в прямоугольник как угодно маленькой площади,
Пример 2. .
, так как у нас не найдется прямоугольника, чтобы он целиком содержался бы в этом множестве.
- фактически он сам. Они между собой не равны, множество не измеримо.
Рассмотрим границу множества (границей множества называются такие точки множества, в любой окрестности которых содержатся как точки множества, так и точки, не принадлежащие множеству) Г.
1)
- фигура.
2) Пусть дана
-фигура
-фигура. И тогда.
Критерии измеримости.
Теорема 1.Множествоизмеримо тогда и только тогда, когда, то есть тогда, когда фигуру, покрывающую границу, можно сделать как угодно маленькой площади.
Доказательство.
Нам дано, чтоG– измеримо.
Его мера тогда , значит, по определению супремума и инфемума
Нам дано, что
Переходя к инфимуму в этом неравенстве
G– измеримо.
Теорема доказана.
Теорема 2.МножествоGизмеримо тогда и только тогда, когда.
Доказательство.
МножествоGизмеримо, следовательно, по теореме 1,,
- так как они могут пересекаться разве что по границе.
, следовательно.
Пусть, это означает, что.
Тогда мы берем ,.
То есть мы нашли две таких фигуры, что и, следовательно, по теореме 1,G– измеримо.
Теорема 3.МножествоGизмеримо тогда и только тогда, когда- измеримые, такие, что.
Доказательство.
Вспомним, что если , тои.
G– измеримо, значит- фигуры, а любая фигура является измеримым множеством, так как она состоит из прямоугольником, то есть нашлись нужные нам измеримые множества.
Допустим, что нашлись, тогда
переходя к инфемуму в этом неравенстве
Упражнение: доказать, чтои
Получаем, что они равны.
Свойства измеримых множеств.
Лемма 1. Еслиитаковы, что, тоизмеримо и
Доказательство.
Поскольку мера этих множеств равна 0, то их можно поместить в ,, где
,, тогда.
.
Лемма доказана.
Лемма 2. Пусть,, тогда- измеримо,.
Доказательство:
заключаем в, тогдав ней же и содержится, получаем, что.
Лемма доказана.
Теорема 1.Если- измеримо, то множества- измеримы.
Доказательство.
Поскольку множества измеримы, то .
Кроме того, .
по лемме 1. Мы получили, что граница содержится в множестве, мера которого равна 0, тогда по лемме 2
Значит, по теореме 2- измеримо.
Точно также и далее все то же самое.
Теорема 2.ПустьG– измеримо. Если мы рассечем его с помощью множества меры 0 на 2 непересекающиеся части, то их части тоже будут измеримы.
Доказательство.
Очевидно, что . Тогда по лемме 2 множествоизмеримо, аналогично для.
Теорема доказана.
Теорема 3.Пусть- измеримые, пересекаются разве что по границе.
, тогда мы уже доказали, что- измеримое множество. При этом
.
Доказательство.
Возьмем такие, что
И точно также , такие, что
Тогда .
Раз множества пересекаются разве только по границе, тотоже пересекаются разве что по границе,
Про мы можем лишь сказать, что.
Лекция 12.
Мы хотим доказать, что
. Причем, что это множество измеримо, доказано в предыдущей теореме.
Возьмем таким образом, что
Если множествоизмеримо, то найдется такое, что
.
Соответственно найдется
Тоже самое можно сказать про :
У нас было доказано, что раз у нас ипересекаются разве что только по границе, тоимогут тоже пересекаться только по границе, тогда для них.
А про имы такого сказать не можем (см. рисунок), мы лишь можем написать
. Тогда мы получаем, кроме всего прочего, что
, получаем строчку неравенств:
Таким образом, мы нашли два множества, и:
Если мы возьмем теперь супремум и инфемум, то у нас получится, что внутренняя мера нашего объединения больше, чем . Внешняя мера меньше, чем, отсюда следует, что они равны между собой.
Что и требовалось доказать.
Следствие.
Если - измеримые, а, то
Доказательство:
Что разность измерима, мы уже доказали, докажем теперь равенство:
. Следствие доказано.