2 семестр МПиТК / 2-й семестр / Коллоквиум 1 поток / koll2_2013

Вопросы к коллоквиуму 2 семестр

1. Числовые ряды. Частичная сумма ряда. Сходящиеся ряды. Необходимый признак сходимости ряда.

2. Признаки сходимости рядов: предельный, Даламбера, радикальный Коши, интегральный Коши.

3. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Оценка остатка ряда.

4. Модуль непрерывности функции на множестве. Равномерная непрерывность.

5. Равномерная непрерывность функций, непрерывных на отрезке.

6. Определенный интеграл Римана. Эквивалентные определения. Примеры интегрируемых и неинтегрируемых функций.

7. Суммы Дарбу. Свойства.

8. Суммы Дарбу и интегрируемость функции по Риману.

9. Интеграл как функция верхнего предела. Непрерывность.

10. Дифференцируемость интеграл как функция верхнего предела. Теорема Ньютона-Лейбница.

11. Несобственные интегралы. Определение. Виды. Сходимость. Критерий Коши.

12. Несобственные интегралы от неотрицательных функций. Признак сравнения, предельный признак сравнения, частный признак сравнения с интегралами , .

13. Абсолютно сходящиеся интегралы.

14. Интегрирование по частям, условная сходимость несобственного интеграла.

Признаки Абеля и Дирихле.

15. Открытые и замкнутые множества.

16. Предел последовательности в . Теорема Больцано-Вейерштрасса

17. Предел функции нескольких переменных. Свойства. Предел по направлению.

18. Непрерывность функции нескольких переменных.

19. Частные производные. Дифференцируемость функции нескольких переменных, дифференциал. Необходимые условия дифференцируемости.

20. Достаточное условие дифференцируемости.

21. Производная сложной функции.

22. Касательная плоскость. Уравнение касательной плоскости для поверхностей, заданных явным и неявным образом.

23. Производная по направлению. Градиент.

24. Дифференциалы высших порядков. Инвариантность формы первого дифференциала.

25. Формула Тейлора для функции многих переменных.

26. Локальный экстремум функции многих переменных. Необходимое условие. Достаточное условие.

27. Теоремы о неявной функции и системе неявных функций. Формулировка.

28. Условный экстремум. Необходимое условие. Дифференциальные уравнения связи. Достаточное условие условного экстремума.