СДАЛ / Все тесты и билеты / МАТАН33 / ПЭ_МТАН33

ПРОГРАММА

для подготовки к итоговому экзамену по дисциплине «Математический анализ»

трехсеместровый курс, 2006/2007 уч.г.

Индекс МАТАН33.

I. Теоретическая часть.

1. Функция. Определения и свойства.

2. Основные элементарные функции. Определения, формулы, свойства, графики.

3. Построение графиков элементарных функций.

4. Предел числовой последовательности.

5. Предел функции в точке и в бесконечности.

6. Бесконечно малые функции и их свойства.

7. Основные теоремы о пределах функции.

8. Первый и второй замечательные пределы, их следствия.

9. Сравнение бесконечно малых функций.

10. Неопределенные выражения. Приемы раскрытия неопределенных выражений.

11. Непрерывность функции в точке. Точки разрыва функции и их классификация.

12. Основные свойства функции, непрерывной в точке. Непрерывность функции на отрезке.

13. Комплексные числа. Алгебраическая, тригонометрическая формы комплексного числа.

14. Арифметические операции над комплексными числами.

15. Производная. Определение, геометрический смысл.

16. Дифференциал. Определение, геометрический смысл.

17. Основные правила дифференцирования.

18. Таблица производных основных элементарных функций.

19. Правила дифференцирования сложной и неявной функций.

20. Производные высших порядков. Определение, правила нахождения.

21. Правило Лопиталя.

22. Основные теоремы дифференциального исчисления.

23. Возрастание и убывание функции. Определение, графическое представление.

24. Теоремы об условиях возрастания и убывания функции.

25. Экстремумы функции. Определения, необходимое условие существования экстремума.

26. Достаточные условия существования экстремума.

27. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.

28. Выпуклость функции. Определение, условия выпуклости функции.

29. Точки перегиба. Определение, условия существования.

30. Асимптоты графика функции. Определение, уравнения асимптот.

31. Схема исследования функции и построения ее графика.

32. Первообразная. Неопределенный интеграл. Основные понятия и определения.

33. Основные свойства неопределенного интеграла.

34. Основные методы интегрирования.

35. Таблица неопределенных интегралов от простейших функций.

36. Рациональные дроби. Основные понятия. Разложение рациональной дроби на простейшие.

37. Интегрирование простейших рациональных дробей.

38. Интегрирование тригонометрических выражений.

39. Интегрирование некоторых иррациональных функций.

40. Определенный интеграл. Определение, геометрический смысл.

41. Основные свойства определенного интеграла.

42. Вычисление определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница.

43. Основные методы вычисления определенного интеграла.

44. Вычисление площади плоской криволинейной трапеции.

45. Функция двух переменных. Определение, способы задания, область определения.

46. Предел функции двух переменных.

47. Непрерывность функции двух переменных в точке и в области.

48. Частные производные функции двух переменных. Определение, геометрический смысл, алгоритм вычисления.

49. Частные и полный дифференциалы функции двух переменных. Определения, вычисление.

50. Сложные и неявные производные функции двух переменных.

51. Производные и дифференциалы высших порядков.

52. Экстремумы функции двух переменных. Определения, необходимое условие существования.

53. Достаточное условие существования экстремумов функции двух переменных.

54. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Определения, уравнения.

55. Двойной интеграл. Определение, геометрический смысл.

56. Основные свойства двойного интеграла.

57. Вычисление двойного интеграла в прямоугольной системе координат.

58. Замена переменной в двойном интеграле.

59. Вычисление площадей и объемов с помощью двойного интеграла.

60. Дифференциальные уравнения (ДУ) первого порядка. Основные определения, ДУ с разделенными и разделяющимися переменными.

61. Однородные ДУ первого порядка. Определение, методика решения.

62. Линейные ДУ первого порядка, подстановка Бернулли, метод Лагранжа.

63. ДУ высших порядков. Основные понятия и определения., интегрирование ДУ, допускающих понижение порядка.

64. Числовой ряд. Основные понятия и определения.

65. Основные свойства сходящихся числовых рядов.

66. Признаки сходимости знакопостоянных числовых рядов.

67. Знакочередующиеся числовые ряды. Определение. Признак сходимости Лейбница.

68. Абсолютно и условно сходящиеся числовые ряды. Признак Даламбера.

69. Степенной ряд. Основные понятия и определения.

70. Сходимость степенных рядов в точке, интервале, области. Формулы радиуса, интервала и области сходимости.

II. Типовые задачи.

1. Функции.

   1. Определить на какое множество функция отображает множество (0; 1).

   2. Определить на какое множество функция отображает множество (0; 2).

2. Пределы дробно-рациональных функций и замечательные пределы

Вычислить пределы:

1. .

2. 

3. .

1. Сложные пределы

   1. .

   2. 

2. Дифференцируемость функции

   1. Вычислить значение производной функции в точке х₀=2.

3. Производные элементарных функций

   1. Найти производную функции .

4. Геометрический смысл производной. Уравнение касательной

   1. Составить уравнение касательной к графику функции в точке (1;2).

5. Возрастание, убывание, экстремумы функции одной переменной.

   1. Исследовать на экстремум функцию y=2x²+6x-7.

   2. Определить наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке .

6. Выпуклость, вогнутость, точки перегиба функции одной переменной

   1. График какой функции на всем отрезке одновременно удовлетворяет трем условиям: ; ; ?

1. Исследовать характер вогнутости функции на отрезке .

1. Табличные интегралы

   1. Вычислить интеграл.

2. Интегрирование подстановкой

   1. Вычислить интеграл .

3. Интегрирование по частям

4. Геометрический смысл интеграла

   1. Каким интегралом задается площадь заштрихованной части фигуры, изображенной на чертеже?

13. Частные производные первого порядка функции многих переменных.

    1. Найти значение в точке , е сли .

    2. Найти , если .

14. Частные производные высших порядков функции многих переменных.

    1. Вычислить вторую производную функции .

    2. Вычислить вторую производную функции .

15. Экстремумы функций двух переменных.

    1. Определить координаты стационарной точки функции z=x²-xy+y²+6x.

16. Кратные и повторные интегралы

    1. Вычислить двойной интеграл по прямоугольнику .

    2. Площадь области S ограничена графиками функций: y=-x²+9 и y=x+3. Записать двойной и повторный интегралы , выражающие эту площадь.

17. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.

    1. Определить частное решение дифференциального уравнения при у(0)=1 .

    2. Найти общее решение линейного дифференциального уравнения .

18. Числовые ряды

    1. Найти формулу общего члена числового ряда

….

2. Исследовать на сходимость ряды:

a) ; b) ; c) .

19. Ряд Тейлора

    1. Найти радиус сходимости R степенного ряда .

    2. Выписать первые три отличные от нуля члена ряда Тейлора, при разложении функции в окрестности точки .

ЛИТЕРАТУРА.

1. Демин И.И. Математика. Учебно-методическое пособие для экономистов. – М.: МФА, 2002 – 130 с.

2. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: Полный курс. – 2-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2004. -608 с.: ил. –(Высшее образование).

3. Зимина О.В., Кириллов А.И., Сальников Т.А. Высшая математика / под ред. А.И. Кириллова. – 3-е изд., испр. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. – 368 с. – (Решебник) – ISBN 5-9221-0441-1.

4. Кремер Н.Ш. и др.Высшая математика для экономистов. Учебник, ЮНИТИ, М.,2002г.

5. Щипачев В.С. Задачи по высшей математике. учебное пособие. Высшая школа, М.,1997

Зав. каф. «Общих математических

и естественнонаучных дисциплин» ___________________А.Ю. Байков