СДАЛ / Математика высшая / МАТ12 / ПЗ_МАТ12-02
.doc
ПРОГРАММА
для подготовки к зачёту по дисциплине «Математика»
I семестр двухсеместрового курса 2006/2007 уч.г.
Индекс комплекта билетов МАТ12-02
I. Теоретическая часть.
-
. Векторный анализ и аналитическая геометрия на плоскости
-
Системы координат на плоскости.
-
Векторы и линейные операции над ними.
-
Проекция вектора на ось.
-
Разложение вектора на компоненты.
-
Скалярное произведение векторов, его свойства, физический и геометрический смысл.
-
Преобразование координат вектора при повороте системы координат. Основные задачи аналитической геометрии.
-
Прямая линия на плоскости.
-
Направляющий вектор.
-
Общее уравнение прямой, различные формы уравнения прямой. Параллельность и перпендикулярность прямых.
-
Уравнение окружности.
-
Основные задачи на прямую и окружность.
-
Кривые второго порядка: эллипс, гипербола, парабола. Канонические уравнения кривых второго порядка.
-
-
Векторный анализ и аналитическая геометрия в пространстве
-
Векторы в пространстве.
-
Векторное произведение векторов, его свойства, физический и геометрический смысл.
-
Смешанное произведение трех векторов, его свойства и геометрический смысл.
-
Уравнение плоскости.
-
Уравнение прямой в пространстве.
-
Уравнение сферы.
-
Основные задачи на плоскость, сферу и прямую в пространстве.
-
Поверхности второго порядка. Канонические уравнения поверхностей второго порядка.
-
-
Матрицы и детерминанты
-
Обобщение понятия "вектор".
-
Векторы-столбцы и векторы-строки. Матрицы.
-
Произведение строки на столбец.
-
Произведение матрицы на столбец.
-
Произведение матриц.
-
Свойства линейных операций над матрицами.
-
Определитель (детерминант) матрицы. Свойства детерминанта. Способы вычисления детерминанта.
-
Вычисление детерминанта раскрытием по строке (столбцу).
-
Единичная матрица.
-
Обратная матрица. Вычисление элементов обратной матрицы.
-
Вырожденная матрица. Ранг матрицы.
-
-
Системы линейных алгебраических уравнений.
-
Связь матриц с системами линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).
-
Матрица и расширенная матрица СЛАУ.
-
Вырожденные и невырожденные СЛАУ.
-
Теорема Кронекера-Капелли.
-
Решение невырожденной СЛАУ обращением матрицы.
-
Решение невырожденной СЛАУ методом Крамера.
-
Решение вырожденных СЛАУ..
-
Однородные СЛАУ.
-
-
Числовые множества. Комплексные числа
-
Натуральные, целые и рациональные числа.
-
Действительные числа.
-
Комплексные числа.
-
Алгебраические операции с комплексными числами.
-
Модуль и аргумент комплексного числа.
-
Геометрическое представление комплексных чисел.
-
Формула Эйлера.
-
-
Предел функции.
-
Функция. Определения и свойства.
-
Построение графиков элементарных функций.
-
Предел числовой последовательности.
-
Предел функции в точке и в бесконечности.
-
Бесконечно малые функции и их свойства.
-
Основные теоремы о пределах функции.
-
Первый и второй замечательные пределы, их следствия.
-
Сравнение бесконечно малых функций.
-
Приемы раскрытия неопределенных выражений.
-
Непрерывность функции в точке. Точки разрыва функции и их классификация.
-
Основные свойства функции, непрерывной в точке. Непрерывность функции на отрезке.
-
-
Производная и дифференциал.
-
Определение, геометрический смысл производной.
-
Определение, геометрический смысл дифференциала.
-
Основные правила дифференцирования.
-
Таблица производных основных элементарных функций.
-
Правила дифференцирования сложной и неявной функций.
-
Производные высших порядков. Определение, правила нахождения.
-
Правило Лопиталя.
-
Основные теоремы дифференциального исчисления.
-
Возрастание и убывание функции. Определение, графическое представление.
-
Теоремы об условиях возрастания и убывания функции.
-
Экстремумы функции. Определения, необходимое условие существования экстремума.
-
Достаточные условия существования экстремума.
-
Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.
-
Выпуклость функции. Определение, условия выпуклости функции.
-
Точки перегиба. Определение, условия существования.
-
Асимптоты графика функции. Определение, уравнения асимптот.
-
Схема исследования функции и построения ее графика.
-
2. ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ.
-
Операции с векторами на плоскости.
Даны векторы и . Найти:
-
длины этих векторов;
-
;
-
скалярное произведение данных векторов и угол между ними.
-
Операции с векторами в пространстве
Даны векторы и . Найти:
-
длины этих векторов;
-
;
-
скалярное произведение данных векторов и угол между ними.
-
Векторное и смешанное произведение векторов.
-
Определить объём параллелепипеда, построенного на векторах (1;0;1), (4;-1;-1), (1;0;1).
-
-
Прямые и окружности на плоскости.
-
Составить уравнение прямой, представленной на рисунке.
-
-
Определить угловой коэффициент "k" и величину отрезка "b", отсекаемого прямой на оси OY.
-
Даны уравнения прямых: а) x+y+1=0; б) x+y=0; в) 2·x+y+2=0; г) y=2·x
Какие из заданных прямых параллельны?
-
Составить уравнение прямой, если известно, что прямая проходит через точку М(1;1) и имеет угловой коэффициент к=1.
-
Найти длину отрезка, заключенного между точками пересечения прямой
3у+4х-12=0 с осями координат.
-
Определить угол между прямыми х–2у–2=0 и у=–2 х+3.
-
Составить уравнение прямой, проходящей через точки и .
-
Определить, с какими из прямых а) у=3; б) у=-х; в) х=5; г) у=2х пересекается окружность х2 +у2=25.
-
Определить координаты центра и радиус окружности х2 +у2 –4х+8у–16=0.
-
Составить уравнение окружности, проходящей через точку М(-1;1) и центр которой лежит в точке С(-4;5).
-
Определить координаты центра окружности, заданной уравнением .
-
Составить уравнение касательной к окружности в точке (3;–1).
-
Составить каноническое уравнение окружности, представленной на рисунке.
-
Кривые второго порядка .
-
Определить координаты фокусов эллипса 25x2+9y2=900.
-
Определить координаты фокуса и уравнение директрисы параболы х2 =4у .
-
Определить, какая кривая задается уравнением:
-
-
;
-
;
-
;
-
.
-
Прямые, плоскости и сферы.
-
Определить, какое из уравнений а) 2x-3y+z+1=0; б) x+2y-6=0; в) x+3y=0 определяет плоскость, параллельную оси OZ.
-
Найти координаты нормального вектора к плоскости 2·x-3·y+z-6=0.
-
Определить взаимное расположение прямых и .
-
-
Поверхности второго порядка.
-
Определить, какая поверхность задаётся уравнением
-
-
;
-
;
-
.
-
Определители (детерминанты).
Вычислить определители:
-
;
-
;
-
.
-
Операции с квадратными матрицами.
Даны матрицы: и . Найти:
-
5А – В;
-
3АT 2B;
-
АВ.
-
Операции с прямоугольными матрицами
-
Даны матрицы А= и В=. Найти их произведение.
-
-
Ранг матрицы. Расширенная матрица системы уравнений. Частные определители.
-
Определить ранг матрицы ;
-
Вычислить частные определители системы .
-
-
Обратные матрицы.
-
Найти обратную матрицу для матрицы .
-
-
Системы линейных алгебраических уравнений
-
Решить систему методом Крамера.
-
-
Комплексные числа.
-
найти все значения
-
записать в алгебраической и в тригонометрической формах значения выражения
-
найти все решения уравнения .
-
-
Пределы дробно-рациональных функций и замечательные пределы
Вычислить пределы:
-
.
-
-
.
-
Сложные пределы
-
.
-
-
-
Дифференцируемость функции
-
Вычислить значение производной функции в точке х0=2.
-
-
Производные элементарных функций
-
Найти производную функции .
-
-
Геометрический смысл производной. Уравнение касательной
-
Составить уравнение касательной к графику функции в точке (1;2).
-
-
Возрастание, убывание, экстремумы функции одной переменной.
-
Исследовать на экстремум функцию y=2x2+6x-7.
-
Определить наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке .
-
-
Выпуклость, вогнутость, точки перегиба функции одной переменной
-
График какой функции на всем отрезке одновременно удовлетворяет трем условиям: ; ; ?
-
-
Исследовать характер вогнутости функции на отрезке .
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ.
-
Демин И.И. Математика. Учебно-методическое пособие для экономистов. – М.: МФА, 2002 – 130 с.
-
Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: Полный курс. – 2-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2004. -608 с.: ил. –(Высшее образование).
-
Зимина О.В., Кириллов А.И., Сальников Т.А. Высшая математика / под ред. А.И. Кириллова. – 3-е изд., испр. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. – 368 с. – (Решебник) – ISBN 5-9221-0441-1.
-
Кремер Н.Ш. и др.Высшая математика для экономистов. Учебник, ЮНИТИ, М.,2002г.
-
Щипачев В.С. Задачи по высшей математике. учебное пособие. Высшая школа, М.,1997
Зав. каф. «Общих математических
и естественнонаучных дисциплин» ___________________А.Ю. Байков