Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию

Саратовский государственный технический университет

Балаковский институт техники, технологии и управления

Методические указания к выполнению расчетно-графической работы по дисциплине «информатика»

Методические указания к выполнению расчетно-графической работы

по дисциплине «Информатика»

для студентов специальности 230201

дневной формы обучения

Одобрено

редакционно-издательским советом

Балаковского института техники,

технологии и управления

Балаково 2010

Целью расчетно-графической работы является изучение систем счисления, их назначения и принципов записи чисел в разных кодах; освоение методики перехода из одной системы счисления в другую, методики кодирования чисел и действия с ними.

Основные понятия

Система счисления (СС) – совокупность приемов и правил наименования и изображения чисел с помощью набора символов (цифр).

Системы счисления, в которых числа записываются, как последовательность цифр условно разбивают на два класса: непозиционные и позиционные.

В непозиционных системах счисления значения цифр не изменяются при изменении их положения в последовательности. Так, например, в римской системе за основные приняты несколько чисел, а остальные получаются из остальных путем сложения (II, VII) или вычитания (IV, IX). Например, символ Х на любом месте равен 10: в записи слева от старшего равен -10, а в сочетании перед младшим +10. В непозиционных системах счисления действия над числами связаны с большими трудностями. Они имеют ограниченное применение, так как в них нельзя выразить отрицательные и дробные числа.

В позиционных системах счисления количественное значение каждой цифры зависит от ее позиции. Например, в числе 939,19: первая девятка означает 9 сотен, вторая – 9 единиц, а третья – 9 сотых долей единицы. Для позиционной системы счисления наиболее характерным является наличие основания системы счисления. Оно показывает, во сколько раз изменяется количественное значение цифры при перемещении на соседнюю позицию, и какое число различных цифр входит в алфавит системы счисления.

Основание позиционной системы счисления – количество различных цифр, используемых для изображения чисел в данной системе счисления. Основанием системы счисления может быть любое натуральное число R2

Наиболее распространенная позиционная система счисления – десятичная. В качестве десятичных цифр используются арабские цифры, а основание системы равно десяти. При записи числа - целая часть числа отделяется от дробной части - точкой (запятой). Нумерация разрядов начинается от запятой с нулевого до n-ого влево, и от запятой вправо, начиная с минус 1. В конце числа указывается в какой системе счисления записано число в виде нижнего индекса (например, 125,25₁₀ – данное число записано в десятичной системе счисления).

Запись чисел в каждой из систем счисления с основанием R может быть представлена в виде полинома, следующим образом:

А=a_n-1∙R^n-1+ a_n-2∙R^n-2+…+ a₁∙R¹+ a₀∙R⁰+ a_-1∙R^-1+...+ a_-m∙R^-m (1)

где R – основание системы счисления,

а – цифра, записанная в данной системе счисления

n, m – количество разрядов целой и дробной части числа.

Пример: рассмотрим число 457,45₁₀. Количество разрядов целой части равно 3, тогда согласно формуле (1) данное число можно представить в виде полинома:

2 1 0 -1 -2

457,45₁₀=4∙10²+ 5∙10¹+7∙10⁰+ 4∙10^-1+ 5∙10^-2

Десятичная система счисления (R=10).

Для записи чисел в данной системе счисления используются десять чисел: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Поскольку десятичная система счисления является общепринятой при обозначении чисел, то все остальные системы счисления будем рассматривать относительно нее, с учетом правил преобразования из десятичной системы в любую другую позиционную систему счисления и обратно.

Правило 1: Перевод чисел, состоящих из целой и дробной части осуществляется в два этапа. Сначала переводится целая часть (делением), а затем дробная (умножением).

Правило 2: Перевод целых чисел из десятичной системы в любую другую позиционную систему счисления производится методом последовательного деления на основании новой системы до тех пор, пока частное от деления не будет меньше основания новой системы. Число в новой системе счисления записывается в виде остатков от деления, начиная с последнего частного, справа налево.

Правило 3: Десятичная дробь переводиться из десятичной системы в любую другую позиционную систему счисления выполняется путем последовательного умножения дробной части на основание новой системы до тех пор, пока дробная часть не станет равной нулю. Для некоторых дробных чисел данное правило не выполняется, в этом случае количество цифр после запятой определяется требуемой точностью (как правило, 5-6 цифр). Дробная часть в новой системе счисления записывается в виде целых частей полученных произведений, начиная с первого, то есть сверху вниз.

Правило 4: Обратный перевод, из какой – либо позиционной системы счисления в десятичную систему осуществляется с помощью полинома (1) с основанием данной системы, а затем подсчитывается значение.

Двоичная система счисления (R=2).

Представление любой информации в компьютере является двоичным, т.е. описываемым наборами только из двух знаков (0 и 1). Наличие напряжения электрического сигнала – 1, его отсутствие – 0. Причем, переход от значения «1» к значению «0» происходит без промежуточных состояний. Кроме этого в двоичной системе счисления возможно применение аппарата булевой алгебры для выполнения логических преобразований информации.

Но двоичная система счисления обладает существенным недостатком: быстрый рост числа разрядов вызывает громоздкость записи чисел и трудность их восприятия, поэтому стали использоваться восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления, которые обеспечивают более компактную запись.

В двоичной системе счисления используются две цифры: 0,1.

Тогда полином (1) запишется:

А=a_n-1∙2^n-1+ a_n-2∙2^n-2+…+ a₁∙2¹+ a₀∙2⁰+ a_-1∙2^-1+...+ a_-m∙2^-m (2)

Из данного полинома видно, что каждый разряд числа в двоичной системе счисления представляет собой степень числа два, то есть справа налево от запятой идут разряды единиц (2⁰=1), двоек (2¹=2), четверок (2²=4), восьмерок (2³=8), и так далее.

Пример № 1. Дано число 45₁₀. Перевести в двоичную систему.

45₁₀=101101₂

Пример № 2. Дано 0,25₁₀. Перевести в двоичную систему.

25

 2

0,

50

 2

0,

1,

00

0,25₁₀=0,01₂

Пример № 3. Дано число 45,25₁₀. Перевести в двоичную систему и обратно в десятичную.

Из примеров 1 и 2 , получим результат:

45,25₁₀=101101,01₂

Для перевода в десятичную систему воспользуемся формулой (2).

101101,01₂=1∙2⁵+ 0∙2⁴+1∙2³+ 1∙2²+0∙2¹+1∙2⁰+0∙2^-1+1∙2^-2

101101,01₂=32+8+4+1+0,25=45,25₁₀

Восьмеричная система счисления (R=8=2³).

Для записи чисел в восьмеричной системе используются восемь цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Тогда полином (1) запишется для данного случая:

А=a_n-1∙8^n-1+ a_n-2∙8^n-2+…+ a₁∙8¹+ a₀∙8⁰+ a_-1∙8^-1+...+ a_-m∙8^-m (3)

Пример № 4. Дано число 45,25₁₀. Перевести его в восьмеричную систему счисления.

45

8

5

5

45,25₁₀=55,2₈

Пример № 5. Дано число 55,2₈, перевести в десятичную систему счисления. Данный перевод осуществляется с помощью полинома (3).

А=5∙8¹+5∙8⁰+2∙8^-1=40+5+0,25=45,25₁₀

Шестнадцатеричная система счисления (R=16=2⁴).

Для записи чисел в этой системе используются цифры от 0 до 15, но поскольку каждая базовая цифра должна изображаться только одним символом, поэтому в данной системе приняты следующие обозначения:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A. B, C, D, E, F

где: А соответствует цифре 10, B – цифре 11, С – цифре 12, D – цифре 13, Е – цифре 14, а F – цифре 15.

Тогда полином (1) примет вид:

А=a_n-1∙16^n-1+ a_n-2∙16^n-2+…+ a₁∙16¹+ a₀∙16⁰+ a_-1∙16^-1+...+ a_-m∙16^-m (4)

Пример № 6. Дано число 45,25₁₀. Перевести в шестнадцатеричную систему счисления.

13

16

45

2

45,25₁₀=2D,8₁₆

Пример № 7. Дано число 1D,8₁₆. Перевести его в десятичную систему исчисления.

Для перевода применим формулу (4) и получим:

А=2∙16¹+13∙16⁰+8∙16^-1=32+13+0,25=45,25₁₀