лабораторные работы / LAB_2

Исследование процессов с помощью моделей массового обслуживания.

Цель:

Анализ процессов в системах массового обслуживания на примере многоканальной системы массового обслуживания (СМО) с отказами.

Результат обучения:

После успешного завершения занятия пользователь должен:

• Уметь с помощью пакета MATLAB рассчитывать основные характеристики работы многоканальной СМО с отказами.

1. Расчет основных характеристик работы многоканальной СМО с отказами.

1. Предмет, цель и задачи теории массового обслуживания.

Теория массового обслуживания исследует процессы в системах специального вида, реализующих многократное выполнение однотипных задач. Примером может служить работа телефонной станции, автозаправочной станции, мастерской по обслуживанию населения. Системы массового обслуживания предназначены для выполнения некоторого потока заявок, поступающих на вход обычно не регулярно, а в случайные моменты времени. Время обслуживания каждой заявки (например, время разговора по телефону, время обслуживания клиента в мастерской) также носит случайных характер. Цель теории массового обслуживания – выработка рекомендаций по рациональному построению СМО. Для достижения этой цели ставятся задачи теории массового обслуживания, состоящие в установлении зависимостей эффективности функционирования СМО от ее организации (параметров): характера потока заявок, числа каналов и их производительности и др.

1. Параметры, характеризующие работу многоканальной СМО с отказами.

В качестве примера СМО рассмотрим работу многоканальной СМО с отказами. Работа такой СМО происходит следующим образом. Если при поступлении вызова, (заказа на обслуживание) 1-й канал занят, то вызов передается на 2-й канал и т.д. Если в момент вызова все каналы заняты, то вызов исключается из обслуживания, т.е. очередь не образуется. Работа такой СМО характеризуется тремя параметрами: числом каналов обслуживания – n, частотой поступления заявок на обслуживание и временем обслуживания одного клиента. Предполагается, что каждая из этих характеристик является случайной величиной, и имеет экспоненциальное распределение, то есть плотность вероятности того, что промежуток времени между двумя соседними заявками равен Т выражается следующей формулой:

Параметр λ называется интенсивностью входного потока и равен среднему числу поступивших заявок в единицу времени. Если λ не зависит от времени, то поток называется стационарным.

Величина времени обслуживания одной заявки – Т^* также распределена по экспоненциальному закону.

1. Вероятность того, что пришедшая заявка получит отказ (т.е. все каналы заняты) рассчитывается по формуле

p_отк=p_n

1. Вероятность того, что пришедшая заявка будет обслужена равна

Р_об=1-р_отк=1-p_n

1. Среднее число занятых каналов – K равно

K=(1-p_n)

1. Среднее время пребывания заявки в СМО равно

Т_ср=K/

1. Абсолютная пропускная способность СМО рассчитывается по формуле

А=λ(1-p_n)

1. Расчет характеристик работы многоканальной СМО с отказами с помощью пакета MATLAB.

Задание 1

Рассмотрим работу СМО на примере работы мастерской бытового обслуживания. В мастерской работают три мастера. Если клиент заходит в мастерскую, когда все мастера заняты, то он уходит, не дожидаясь, когда мастер освободится. Среднее число клиентов, обращающихся в мастерскую в течение часа равно 20. Среднее время, которое мастер затрачивает на обслуживание одного клиента равно 6 мин. Нужно рассчитать все указанные выше характеристики работы данной СМО.

Последовательность действий.

1. Запустите программу MATLAB

2. Задаем три основных параметра работы СМО:

n=3;

L=20; интенсивность входного потока - λ=20(чел./час)

M=10; скорость обслуживания - µ=1/6(чел./мин.)=10(чел./час)

1. Рассчитываем показатель нагрузки СМО:

Ro=L/M;

1. Рассчитаем вероятность того, что все маcтера свободны (р0), занят один матер (р1), заняты два мастера (р2), все три мастера заняты (р3). Сначала рассчитаем вспомогательные величины _k по формуле 1:

Al0=1;

Al1=Ro;

Al2=(Ro)^2/2;

Al3=(Ro)^3/6;

Затем рассчитаем величины р0, р1, р2, р3:

p0=1/(Al0+Al1+Al2+Al3)

p1=Al1*p0

p2=Al2*p0

p3=Al3*p0

1. Рассчитаем вероятность того, что пришедший посетитель получит отказ:

Potk=p3

1. Рассчитаем вероятность того, что пришедший посетитель будет обслужен:

Pobs=1-Potk

1. Рассчитаем среднее число занятых каналов

Km=Ro*(1-p3)

1. Рассчитаем среднее время обслуживание одного клиента.

Tm=Km/L

1. Рассчитаем абсолютную пропускную способность СМО (число клиентов обслуживаемых за час).

A=L*(1-p3)

Покажите результаты расчетов преподавателю.

Задание 2.

В условиях предыдущего задания предположим, что затраты на содержание каждого мастера (зарплата, покупка оборудования, аренда помещения и т.д.) составляют 150 р./день при 8-часовом рабочем дне. Рассчитать сколько денег надо брать с каждого клиента за обслуживание, чтобы мастерская приносила доход, т.е. чтобы доход был больше или, по крайней мере, равен затратам.

Последовательность действий.

1. Рассчитаем затраты (в день) на содержание мастерской.

Z=3*150

1. Прибыль мастерской (руб./день.), если с каждого клиента брать Хk руб. за обслуживание равна Pr=A*8*Xk, А – число клиентов обслуженных за час. Величину Хk можно рассчитать, если приравнять величину прибыли за день величине затрат за этот же период.

Xk=Z/(A*8)

Результат показать преподавателю.

Задание 3.

Построить график изменения величины прибыли (при найденном значении Хk) за 7 дней работы мастерской.

Последовательность действий.

1. Зададим вектор значений аргумента (номера дня).

X=[1:1:7]

1. Зададим значения функции (величины прибыли за 1 день, 2 дня и т.д.).

Y=Xk*A*8*X

1. Построим график функции (линия красного цвета, точки отмечены символом *)

plot(X,Y,’-*r’)

1. Введем заголовок графика, подпись оси Х и подпись оси Y.

title(‘Изменение прибыли (руб.) в течение недели’)

xlabel(‘дни’)

ylabel(‘прибыль’)

Результат показать преподавателю.

Задание 4.

Рассчитать как изменятся все характеристики работы мастерской, если за счет уменьшения интенсивности работы время обслуживания одного клиента увеличится с 6 до 10 мин.

Последовательность действий.

1. Зададим новое значение скорости обслуживания

M=6 скорость обслуживания - µ=1/10(чел./мин.)=6(чел./час)

1. Рассчитаем новое значение показателя нагрузки СМО

Ro=L/M; io

1. Далее повторяем все действия задания 1. В результате находим новые значения всех характеристик.

Результаты записать и показать преподавателю.

1. Самостоятельная работа.

Задание:

1. В условиях предыдущей задачи, требуется сделать выбор из двух вариантов изменения работы мастерской. Цель изменений – добиться, чтобы вероятность того , что клиент будет обслужен составляла не менее 87%.

1) – это за счет покупки нового оборудования сократить время на обслуживание одного клиента с 6 до 5 минут.

2) – это наем еще одного мастера (т.е. вместо 3 мастеров будут работать при той же производительности труда. Рассчитать соответствующую вероятность в обоих случаях и сделать нужный выбор.

2. Рассчитать пропускную способность мастерской в обоих случаях.

3. В условиях предыдущей задачи при прежней производительности труда решить, какое минимальное количество работников (к имеющимся 3) необходимо нанять, чтобы вероятность того, что клиент не уйдет не обслуженным была не менее 95%.