РАЗДЕЛ 3
.pdf
3.Устойчивость сжатых стержней
Задание 12
Выполнил: студент гр. 12-КС-3 Иванов И.И.
Принял: к.т.н., доцент Сидоров А.А.
Номер схемы |
50 |
51 |
Средний балл |
Оценка |
|
|
|
Подпись |
|
|
|
Нижний Новгород 2015
Лист
КР-СМ-НГТУ-12КС3-012-14
Изм. Лист |
№ докум. |
Подпись Дата |
3.1 Краткие теоретические сведения Устойчивость – это способность сжатого стержня сохранять первоначально
заданную (прямолинейную) форму равновесия.
Потеря устойчивости означает резкое изменение вида деформации стержня (сжатие стержня сменяется его изгибом) при достижении сжимающей силой некоторого критического значения.
Критической называется минимальная сжимающая сила Fкр, при которой стержень теряет устойчивость.
Изгиб сжатого стержня, происходящий при превышении сжимающей силой критического значения, называется продольным изгибом.
В упругой стадии деформирования материала сила Fкр вычисляется по формуле Эйлера
F |
2 EJ |
min , |
кр |
l 2 |
|
|
||
Где Е – модуль продольной упругости материала стержня; Jmin – минимальный момент инерции поперечного сечения стержня; μ – коэффициент приведения длины, зависящий от способов закрепления концов стержня; l– длина стержня.
Напряжение в стержне, вызванное Fкр , называется критическим и рассчитывается по формуле
|
|
|
|
|
кр |
Fкр |
|
2E |
, |
|
|
|
|
|
|
|
A |
2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
гдеА − |
площадь поперечного сечения; |
|
|
l |
− гибкость стержня; |
||||||
|
|
||||||||||
|
imin |
||||||||||
imin |
|
|
Jmin |
|
− минимальный радиус инерции поперечного сечения стержня. |
||||||
|
A |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пределы применимости формулы Эйлера ограничиваются условием:
кр 2E пц ,2
где пц − предел пропорциональности материала стержня.
Расчѐт напряжения σкр в неупругой стадии деформирования материала (пц кр т ) выполняется по эмпирической формуле Ясинского. В применении
к стальным стержням она имеет вид
кр a b ,
где а, b– эмпирические коэффициенты.
Лист
КР-СМ-НГТУ-12КС3-012-14
Изм. Лист |
№ докум. |
Подпись Дата |
Наряду с формулами Эйлера и Ясинского, каждая из которых применима для ограниченного диапазона напряжений, в практических расчѐтах широко используется следующая формула:
[F] [ c ] A,
где [F ] – допускаемая сжимающая сила; [ c ] – допускаемое напряжение на
сжатие; φ – коэффициент снижения допускаемого напряжения (коэффициент продольного изгиба), зависящий от материала и гибкости стержня.
Коэффициент запаса устойчивости пу определяется по формуле
nу Fкр кр ,
[F ] [ c ]
где [F] – допускаемая сила сжатия стержня. 3.2 Условие задачи
F
Для сжатого стержня (рис. 3.1), выполненного из стали 3, определить величины критической, допускаемой сил и коэффициента запаса устойчивости.
5а
Рисунок 3.1 К расчету стержня на |
|
||||
|
устойчивость (схема 51) |
|
|||
3.3 Решение задачи |
По |
условию задачи |
поперечное сечение стержня |
||
Y0 |
Y |
||||
(рис. 3.2) образовано двумя равнополочными |
|||||
|
Х0 , V |
||||
|
|
уголками (ГОСТ 8509-86) с размерами 160×160×16 |
|||
U |
|
мм |
и характеристиками:Jx0=1866 см4,Jy0=485 см4, |
||
|
|
Ауг=49,1 см2 , z0=4,55 см |
|||
|
X |
.1) |
Вычисляем |
площадьАпоперечногосечения |
|
|
|
стержня. |
|
||
|
|
|
А=2Ауг=2·49,1=98,2 см . |
||
|
|
2) Определяем минимальный момент инерции |
|||
|
z0 |
сечения. |
|
||
Рисунок 3.2 Поперечное сечение |
|
||||
Лист
КР-СМ-НГТУ-12КС3-012-14
Изм. Лист |
№ докум. |
Подпись Дата |
Заданное сечение имеет две оси симметрии Uи V. Значит, оси Uи V одновременно являются и главными центральными осями сечения, относительно которых моменты инерции Ju и Jv принимают экстремальные значения, равные
Jv 2J x0 |
2 1866 3732 см4, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
z |
0 |
|
2 |
|
|
|
|
|
4,55 |
2 |
|
|
3 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
485 |
|
49,1 |
|
|
|
|||||||||
J |
|
2 J |
|
|
|
|
|
A |
|
2 |
|
|
|
|
5,04∙10 |
|
см |
|
. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
u |
|
y0 |
Cos45o |
|
уг |
|
|
|
|
0,707 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из расчѐтов следует, что Jv Ju . Тогда |
Jmin Jv 3732 см4 . |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
3) Вычисляем минимальный радиус инерции сечения. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
i |
|
Jmin |
|
|
|
3732 |
|
6,16 см . |
|
|
|||||||
min |
A |
98,2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|||||
4) Находим гибкость стержня.
Длина стержня равна (а = 1 м) l 5a 5 1 5 м.
Заданному способу закрепления концов стержня соответствует 2 . С учѐтом
полученного, гибкость равна |
|
|||||
|
l |
|
2 5 |
162 . |
|
|
|
6,16 10 2 |
|
||||
|
imin |
|
|
|
||
5) Определяем величину критической силы. |
|
|||||
Расчѐтное значение гибкости 162 больше предельного |
пред 100 для Ст. 3. |
|||||
Поэтому вычисление F |
проводим по формуле Эйлера, принимаяЕ=2,1∙105 МПа: |
|||||
|
|
|
|
кр |
|
|
F 2EJmin |
3,142 2,1 105 3732 10 8 |
0,77 МН . |
|
|
|||
кр |
l 2 |
2 5 2 |
|
|
|
||
6)Находим величину допускаемой силы. |
|
||
Воспользуемся формулой |
|
||
|
|
[F] [ c ]A . |
|
Принимая для Ст. 3 предел текучести σт =240 МПа и коэффициент запаса прочности пу = 1,5, вычисляем допускаемое напряжение на сжатие
[ c ] т 240 160 МПа . nт 1,5
Значение коэффициента φ определяем из таблицы φ= φ(λ) для Ст. 3. Выписываем табличные значения ( 1) и ( 2 ) коэффициента φ на границах диапазона
[ 1, 2 ] изменения гибкости, в пределах которого находится расчѐтная гибкость
162 :
φ(λ1) = φ(160) = 0,29 , φ(λ2) = φ(170) = 0,26 .
Для λ=162 методом линейной интерполяции находим величину ( )
Лист
КР-СМ-НГТУ-12КС3-012-14
Изм. Лист |
№ докум. |
Подпись Дата |
( ) ( ) ( 2 ) ( 1) |
( ) 0,29 |
0,26 |
0,29 |
(162 160) 0,28. |
||
|
|
|||||
1 |
2 |
1 |
1 |
170 |
160 |
|
|
|
|||||
Возвращаясь к [F] получаем
[F] 0,28 160 98,2 10 4 0,44 МН.
7)Вычисляем коэффициент запаса устойчивости nу [FFкр] 0,770,44 1,8.
Лист
КР-СМ-НГТУ-12КС3-012-14
Изм. Лист |
№ докум. |
Подпись Дата |