Вопросы для студентов вечернего отделения от кафедры 311

МОСКОВСКИЙ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ

Кафедра 311

Осенне-зимний семестр 2011 2012 уч. года

Доц. И. А. Шилин

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ

ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ

АНАЛИЗУ

1

1. Что такое верхняя или нижняя грань числового множества? Что такое точная грань? Что означает ограниченность множества сверху или снизк? Что значит ограниченность множества? Доказать, что снизу ограниченное множество имеет точную нижнюю грань.

2. Что такое -окрестность точки? проколотая окрестность? Что понимается под -окрестностью точек +∞ и −∞?

3. Какой смысл скрывает запись lim an = α ïðè α R, α = +∞ è α = −∞?

n→∞

4.Доказать, что из существования конечного предела последовательности следует его единственность

5.Пусть последовательности {an} è {bn} имеют конечные пределы. Доказать теоремы о пределах

последовательностей an + bn, anbn, αan, an

bn .

6. Доказать теорему о существовании предела возрастающей ограниченной сверху (или убывающей ограниченной снизу) последовательности. Дать определение числа e, показав корректность

этого определения.

7. Разъяснить смысл по Коши записи lim f(x) = α. Уметь подробно объяснить все возможные

n→a

спецификации: например, запись lim f(x) = 8.

n→−∞

8. Доказать первый и второй замечательный пределы и вывести следствия о пределах lim ln(x+1)

n→0 x

è lim ax−1

n→0 x .

9.Что значит непрерывность функции в точке? разрывность? Какая существует классификация точек разрыва? Рассказывая о классификации, привести примеры.

10.Дать определение производной, дифференцируемости и дифференциала функции в точке. Показать, какая существует связь между существованием производной и дифференцируемостью. Объяснить геометрический смысл производной и дифференциала функции в точке.

11.Показать связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции в точке. Объяснить, почему функция y = |x| в точке 0 непрерывна, но недифференцируема.

12.Сформулировать формулу Лейбница для производной порядка n произведения двух функ-

öèé. [WOW!!! Как выглядит обобщение формулы Лейбница для произведения трех или m функций?] Вывести формулу Тейлора для функции, имеющей первые s производных?

13.Вывести формулу производной сложной функции и формулу производной параметрически заданной функции.

14.Доказать теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа и Коши. Вывести правила Лопиталя.

15.Доказать достаточное условие монотонности функции на отрезке.

16.Что понимается под выпуклостью функции вниз или вверх на отрезке? Доказать достаточное условие ↑- или ↓-выпуклости функции на отрезке.

17.Как с помощью значений второй и третьей производной функции в точке сделать вывод о том, что эта точка является точкой экстремума и точкой перегиба соответственно? Доказать одно из этих утверждений.

18.Что означает запись A B для числовых множеств A и B? Что есть разделяющее число для этих множеств? Доказать критерий единственности такого числа.

19.Дать определение нижней и верхней сумм Дарбу ограниченной функции на отрезке при некотором разбиении этого отрезка. Доказать свойства этих сумм. Дать определение интегрируемости (по Риману) ограниченной функции на отрезке. Почему функция Дирихле неинтегрируема на произвольном отрезке?

20.Вывести формулу Ньютона Лейбница для непрерывной подинтегральной функции.

2