Лекции по Матанализу ч2

Дифференциал функции.

Пусть функция y f x имеет производную в точке x :							lim	y		f (x)
							x 0	x
Тогда можно записать:		y f (x) , где			0 , при		x 0 .
		x
Следовательно:	y f (x) x x .
Величина x - бесконечно малая при						x 0 ,	т.е.	f x x - главная часть
приращения y .
Определение. Дифференциалом функции						y f x в точке			x	называется главная
линейная часть приращения функции.
Обозначается dy	или df x или просто df .
Из определения следует, что dy df f x x f x dx .
Можно также записать:		f (x)	dy
			dx

Геометрический смысл дифференциала

Из треугольника MKL : KL dy tg x y x

Таким образом, дифференциал функции f x в точке x равен приращению ординаты

касательной к графику этой функции в рассматриваемой точке.

Как следует из определения дифференцируемой функции её приращение может быть

представлено в виде	f x0 f x0 x x x
Дифференциал функции, таким образом, является главной частью приращения
функции. Следовательно,	приращение функции в некоторой произвольной точке x0			можно
приближённо записать в виде
	f x0 f x0	x
Т.к f x0 f x f x0 , а x x x0 получаем			f x f x0 f x0 x x0
Полученная формула носит название формулы линеаризации.
	Свойства дифференциала.
Если u f x и	v g x - функции,	дифференцируемые в точке		x , то
непосредственно из определения дифференциала следуют следующие свойства:

1)d u v u v dx u dx v dx du dv

2)d uv uv dx u v uv dx udv vdu

3)d Cu Cdu

u				vdu udv
4) d
				v2
v

Дифференциал сложной функции. Инвариантная форма записи дифференциала.

Пусть y f x и x g t , т.е y - сложная функция. Тогда dy f x g t dt f x dx . Видно, что форма записи дифференциала dy не зависит от того, будет ли x

независимой переменной или функцией какой-то другой переменной, в связи с чем, эта форма записи называется инвариантной формой записи дифференциала.

	Однако, если x - независимая переменная, то dx x , но если x зависит от t ,			то
dx x .
	Таким образом, форма записи dy f x x уже не является инвариантной.
		Теоремы о среднем.
		Теорема Ролля.
		(Ролль (1652-1719)- французский математик)
	Если функция	f x непрерывна на отрезке a,b , дифференцируема на интервале
a, b	и значения функции на концах отрезка равны f a f b ,		то на интервале a, b
существует точка , a b , в которой производная функция			f x равная нулю, т.е.
f 0 .
	Геометрический смысл теоремы Ролля состоит в том, что при выполнении условий
теоремы на интервале		a, b существует точка такая, что в соответствующей точке кривой
y f x касательная		параллельна оси Ox . Таких точек на интервале может быть		и
несколько, но теорема утверждает существование по крайней мере одной такой точки.
	Доказательство. По свойству функций, непрерывных на отрезке функция f x			на

отрезке a,b принимает наибольшее и наименьшее значения. Обозначим эти значения M и m соответственно. Возможны два различных случая M m и M m .

Пусть M m . Тогда функция f x на отрезке a,b сохраняет постоянное значение и

в любой точке интервала ее производная равна нулю. В этом случае за можно принять любую точку интервала.

Пусть M m . Так значения на концах отрезка равны, то хотя бы одно из значений М или m функция принимает внутри отрезка a,b . Обозначим , a b точку, в которой

f M . Так как M - наибольшее значение функции, то для любого					x ( будем считать,
что точка x находится внутри рассматриваемого интервала) верно неравенство:
	f ( )		f f x f 0
				x 0
		0,	если
При этом
	x	0,	если	x 0

Но так как по условию производная в точке существует, то существует и предел

lim f ( ) .

x 0 x

	Т.к. lim	f ( )	0	и lim	f ( ) 0 , то можно сделать вывод:
	x 0	x		x 0	x
	x 0			x 0
			lim	f ( ) 0,		т.е.	f ( ) 0. Теорема доказана.
			x 0	x
	Теорема Ролля имеет несколько следствий:
1)	Если функция		f x	на	отрезке		a,b	удовлетворяет	теореме Ролля,		причем
	f a f b 0 , то существует					по крайней		мере одна точка	, a b ,	такая, что
	f 0 . Т.е. между двумя нулями функции найдется хотя бы одна точка,									в которой
	производная функции равна нулю.
2)	Если на рассматриваемом интервале a, b функция f x имеет производную										n 1 - го
	порядка и n раз обращается в нуль, то существует по крайней мере одна точка интервала,
	в котором производная n 1 – го порядка равна нулю.
						Теорема Лагранжа.
		(Жозеф Луи Лагранж (1736-1813) французский математик)
	Если функция		f x непрерывна на отрезке a,b и дифференцируема на интервале

a, b , то на этом интервале найдется по крайней мере одна точка , a b , такая, что

f (b) f (a) f ( ) . b a

Это означает, что если на некотором промежутке выполняются условия теоремы, то отношение приращения функции к приращению аргумента на этом отрезке равно значению производной в некоторой промежуточной точке.

Рассмотренная выше теорема Ролля является частным случаем теоремы Лагранжа.

	Отношение	f (b) f (a)	равно угловому коэффициенту секущей AB .
		b a

Если	функция f x	удовлетворяет условиям теоремы, то	на интервале a, b
существует	точка такая,	что в соответствующей точке кривой	y f x касательная

параллельна секущей, соединяющей точки A и B . Таких точек может быть и несколько, но одна существует точно.

Доказательство. Рассмотрим некоторую вспомогательную функцию

F x f x yсекAB

Уравнение секущей AB можно записать в виде:

y f (a)	f (b) f (a)		(x a)
	b a
F (x) f (x) f (a)		f (b) f (a)		(x a)
			b a

Функция F x удовлетворяет теореме Ролля. Действительно, она непрерывна на отрезке a,b и дифференцируема на интервале a, b . По теореме Ролля существует хотя бы одна точка , a b , такая что F 0 .

Т.к. F (x) f (x)	f (b)	f (a)		, то F ( ) f ( )		f (b) f (a)	0 , следовательно
						b a
	b	a
f ( )			f (b) f (a)		Теорема доказана.
			b a
Определение. Выражение			f (a) f (b) f ( )(b a) называется формулой Лагранжа

или формулой конечных приращений.

В дальнейшем эта формула будет очень часто применяться для доказательства самых разных теорем.

Иногда формулу Лагранжа записывают в несколько другом виде:
y f (x x) x , где 0 1, x b a ,	y f b f a .

Теорема Коши.

( Коши (1789-1857)- французский математик)

	Если функции f x	и g x непрерывны на отрезке					a,b и дифференцируемы на
интервале a, b и g x 0		на интервале a, b , то существует по крайней мере одна точка
,	a b , такая, что
			f (b) f (a)		f ( )	.
			g(b) g(a)		g ( )

Т.е. отношение приращений функций на данном отрезке равно отношению производных в точке .

Для доказательства этой теоремы на первый взгляд очень удобно воспользоваться теоремой Лагранжа. Записать формулу конечных разностей для каждой функции, а затем разделить их друг на друга. Однако, это представление ошибочно, т.к. точка для каждой из функции в общем случае различна. Конечно, в некоторых частных случаях эта точка интервала может оказаться одинаковой для обеих функций, но это очень редкое совпадение, а не правило, поэтому не может быть использовано для доказательства теоремы.

Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию

	F (x) f (x) f (a)	f (b) f (a)	(g(x) g(a)) ,
		g(b) g(a)

которая на интервале a,b удовлетворяет условиям теоремы Ролля. Легко видеть, что при

x a и x b	F b F a 0 . Тогда по теореме Ролля существует такая точка ,									a b ,
такая, что F 0 . Т.к.
		F (x) f (x)			f (b) f (a)			g (x) , то
					g(b) g(a)
		F ( ) 0 f ( )					f (b) f (a)		g ( )
							g(b) g(a)
А т.к.	g ( ) 0 , то	f (b) f (a)		f (x)		.	Теорема доказана.
		g(b) g(a)		g (x)

Следует отметить, что рассмотренная выше теорема Лагранжа является частным случаем (при g x x ) теоремы Коши. Доказанная нами теорема Коши очень широко

используется для раскрытия так называемых неопределенностей. Применение полученных результатов позволяет существенно упростить процесс вычисления пределов функций, что будет подробно рассмотрено ниже.

Производные и дифференциалы высших порядков.

Пусть	функция			f x			- дифференцируема на некотором интервале. Тогда,
дифференцируя ее, получаем первую производную
							y f (x)		df (x)
									dx
Если найти производную функции f (x), получим вторую производную функции f(x).
							y f (x)	d 2 f (x)
									dx2
		d 2 y		d dy
т.е. y y	или						.
		dx2
				dx dx

Этот процесс можно продолжить и далее, находя производные степени n.

d n y			d	d n 1 y
							.
	n					n 1
dx
			dx dx

Общие правила нахождения высших производных.

Если функции u f x и v g x дифференцируемы, то

1)

n

Cu

n

;

Cu

2)

n

u

n

v

n

;

u v

3)

(u v)(n)

vu(n)

nu (n 1) v

n(n 1)

u

(n 2) v ...

n(n 1)...[n (k 1)]

u (n k ) v(k )

...

2!

k!

... uv(n) .

Это выражение называется формулой Лейбница.

Обозначение.

Множество

n раз непрерывно дифференцируемых функций

обозначается C n a,b

( f x Cn a,b

), множество бесконечно дифференцируемых функций –

соответственно

)

C a,b

( f x C a,b

По формуле

d n y f n x dxn

может быть найден дифференциал n

- го порядка.

Отметим при этом, что дифференциалы высших порядков не обладают свойством инвариантности.

Покажем	это на	примере второго дифференциала. Если					y f x f t , где
x t , то
				d 2 y d f x dx
В случае если x независимая переменная имеем
	d 2 y d f x dx f x dxdx f x dx 2 f x dx2
Но, если x t ,		то dx t dt		зависит от t , поэтому
d 2 y d f x dx d f x dx f x d dx					f x dx 2 f x d 2 x , где d 2 x t dt 2
Таким образом, форма второго дифференциала изменилась при переходе от
независимой переменной к сложной функции
			Формула Тейлора.
	Тейлор (1685-1731) – английский математик
Теорема	Тейлора. 1)		Пусть	функция	f x	бесконечно дифференцируема в
окрестности	точки	x a .	Тогда,	в некоторой окрестности			точки a справедливо
следующее разложение:

f

f

(n)

(a)

(x a)n o (x a)n

f (x) f (a)

(a)

(x a)

f

(a)

(x a)2

...

1!

2!

n!

o (x a)n

это выражение называется формулой Тейлора, а выражение

называется

остаточным членом в форме Пеано.

x в виде некоторого многочлена Pn x ,

Доказательство.

Представим функцию f

значение которого в точке x a равно значению функции

f x , а значения его производных

равно значениям соответствующих производных функции в точке x a .

Pn (a) f (a);

(n)

(a) f

(n)

(a)

(1)

Pn

(a) f (a);

Pn (a) f

(a); ...

Pn

Многочлен Pn x

будет близок к функции

f x . Чем больше значение n ,

тем ближе

значения многочлена к значениям функции, тем точнее он повторяет функцию.

Представим этот многочлен с неопределенными пока коэффициентами:

P (x) C

0

C (x a) C

2

(x a)2 ... C

n

(x a)n

(2)

n

1

Для нахождения неопределенных коэффициентов вычисляем производные

многочлена в точке x a и составляем систему уравнений:

n 1

Pn (x) C1 2C2 (x a) 3C3 (x a)

2

... nCn (x a)

2C2 3

2C3 (x a) ... n(n

1)Cn (x a)

n 2

Pn

(x)

..........................................................................................

(3)

P(n) (x) n(n 1)(n 2)...2 1C

n

n

Решение этой системы при x a не вызывает затруднений, получаем:

f (a) C0

f (a) C1

f (a) 2 1C2

1C3

f (a) 3 2

…………………….

f (n) (a) n(n 1)(n 2)...2 1C

n

Подставляя полученные значения Ci в формулу (2), получаем:

f

(n)

(a)

P (x) f (a)

f (a)

(x

a)

f

(a)

(x a)2

...

(x a)n

n

1

2

n!

f x , т.е.

Как было замечено выше, многочлен не

точно

совпадает

с

функцией

отличается от нее на некоторую величину. Обозначим эту величину Rn x . Тогда:

f x Pn

x Rn x

Рассмотрим подробнее величину Rn x .

Rn x		f	(k )	(a)	(x
			k!
	k n 1
o (x a)n ,		x a

Как видно на рисунке, в значением функции. Однако, увеличивается.

	max f (k ) (a)				max f (k ) (a)				(x a)n 1
a)k	k		(x a)k			k
		n 1 !					n 1 !		1 x a
			k n 1
Теорема доказана.
точке	x a значение многочлена в точности совпадает со
при	удалении от точки			x a			расхождение значений

Замечание. Иногда используется другая запись для Rn x . Например,

R (x)	f (n 1) ( )	(x a)n 1
n	(n 1)!

которая называется остаточным членом в форме Лагранжа. Здесь достаточно считать, что
функция f x в окрестности точки a имела n 1 производную
Т.к. точка a, x , то найдется такое число из интервала	0 1, что
a x a .

Тогда можно записать:

R (x)

f (n 1)[a (x a)]

(x a)n 1

n

(n 1)!

Если принять

a x0 ,

x a x,

x x0 x , формулу Тейлора можно записать в

виде:

f (x

x) f (x

)

f (x)

x

f (x)

( x)2 ...

f (n) (x

0

)

( x)n

f (n 1) (x

0

x)

( x)n 1

0

0

1!

2!

n!

(n 1)!

где 0 1

Теперь, если принять n 0 , получим:

fx0 x f x0 f x0 x x

–это выражение называется формулой Лагранжа. (Жозеф Луи Лагранж (1736-1813) французский математик и механик).

Формула Тейлора имеет огромное значение для различных математических преобразований. С ее помощью можно находить приближённые значения различных функций, интегрировать, решать дифференциальные уравнения и т.д. В частности, можно отметить, что полученная ранее формула линеаризации представляет собой первые два члена формулы Тейлора

f (x) f (a) f (a)(x a)

Погрешность этой формулы

R1(x) f ( ) (x a)2 2

Формула Маклорена.

(Колин Маклорен (1698-1746) шотландский математик.) Формулой Маклорена называется формула Тейлора при а = 0:

f (x)

f (0)

f (0)

x

f (0)

x2

...

f (n) (0)

xn R (x)

1!

2!

n!

n

R

(x)

f (n 1)

( x)

xn 1 ;

0

1

n

(n 1)!

Мы получили так называемую формулу Маклорена с остаточным членом в форме Лагранжа.

Следует отметить, что при разложении функции в ряд применение формулы Маклорена предпочтительнее, чем применение непосредственно формулы Тейлора, т.к. вычисление значений производных в нуле проще, чем в какойлибо другой точке, естественно, при условии, что эти производные существуют.

Однако, выбор числа а очень важен для практического использования. Дело в том, что при вычислении значения функции в точке, расположенной относительно близко к точке а, значение, полученное по формуле Тейлора, даже при ограничении тремя – четырьмя первыми слагаемыми, совпадает с точным значением функции практически абсолютно. При удалении же рассматриваемой точки от точки а для получения точного значения надо брать все большее количество слагаемых формулы Тейлора, что неудобно.

Представление некоторых элементарных функций по формуле Тейлора.

Применение формулы Тейлора для разложения функций в степенной ряд широко используется и имеет огромное значение при проведении различных математических расчетов. Непосредственное вычисление интегралов некоторых функций может быть сопряжено со значительными трудностями, а замена функции степенным рядом позволяет значительно упростить задачу. Нахождение значений тригонометрических, обратных тригонометрических, логарифмических функций также может быть сведено к нахождению значений соответствующих многочленов.

Если при разложении в ряд взять достаточное количество слагаемых, то значение функции может быть найдено с любой наперед заданной точностью. Практически можно сказать, что для нахождения значения любой функции с разумной степенью точности (предполагается, что точность, превышающая 10 – 20 знаков после десятичной точки, необходима очень редко) достаточно 4-10 членов разложения в ряд.

Применение принципа разложения в ряд позволяет производить вычисления на ЭВМ в режиме реального времени, что немаловажно при решении конкретных технических задач.

Функция f x ex .

Находим:

f x ex ,

f 0 1

f x ex ,

f 0 1

……………………

f n x ex ,

f n 0 1

Тогда:

e x 1

x

x2

x3

...

xn

xn 1

e x ,

0 1

1

2!

3!

n!

(n 1)!

Пример: Найдем значение числа е. В полученной выше формуле положим х = 1.

	e 1 1	1		1			1		...	1		e
		2		3!			4!			(n 1)!

Для 8 членов разложения: e 2,71827876984127003

Для 10 членов разложения: e 2,7182818011463451

Для 100 членов разложения: e 2,71828182845904553

2. 75

2. 5

2. 25

2

1.75

1.5

1.25

2

4

6

8

10

На графике показаны значения числа е с точностью в зависимости от числа членов разложения в ряд Тейлора.

Как видно, для достижения точности, достаточной для решения большинства практических задач, можно ограничиться 6-7 – ю членами ряда.

				Функция f x sin x .
Получаем	f x sin x,	f 0 0
f x cos x sin x				, f	0 1;
			2

f
	x sin x sin x 2		,	f 0 0 ;
			2

f
	x cos x sin x 3		,	f 0 1 ;
			2

…………………………………………

f n x

n

n

sin x

,

f n 0 sin

2

2

sin x x

x3

x5

... ( 1)n 1

x 2n 1

R

(x)

(2n 1)!

2n

3!

5!

Итого:

f (2n 1) ( )

cos

R

(x)

x 2n 1

x 2n

1

2n

(2n 1)!

(2n 1)!

Функция f x cos x .

Для функции cosx, применив аналогичные преобразования, получим:

cos x 1

x2

x4

... ( 1)n

x2n

R

( x)

2!

4!

(2n)!

2n 1

R

( x)

f (2n 2) ( )

x2n 2

cos

x

2n 2

1

2n

(2n 2)!

(2n 2)!

f

Тогда:

	Функция f x 1 x ,
		f (x) (1 x) 1		;	f (0) ;
f (x) ( 1)(1 x) 2				;	f (0) ( 1);
…………………………………………………..
(n) (x) ( 1)( 2)...( (n 1))(1 x) n ;					f (n) (0) ( 1)( 2)...( n 1)
(1 x) 1 x		( 1)	x2 ... ( 1)...( n 1) xn R				(x)
1		2 1			n!	n 1

R	(x) ( 1)...( n)			(1 x) (n 1) ;			0 1
n 1	(n 1)!
Если в полученной формуле принять n, n N и						f	n 1 x 0	, то R	0 , тогда
								n 1
	(1 x)n 1	n	x	n(n 1)	x2 ... xn
	1!			2!

Получилась формула, известная как бином Ньютона.

Пример: Применить полученную формулу для нахождения синуса любого угла с любой степенью точности.

На приведенных ниже графиках представлено сравнение точного значения функции и значения разложения в ряд Тейлора при различном количестве членов разложения.

		4
		2
- 10	- 5	5	10
		- 2
		- 4
		Рис. 1. Два члена разложения

		4
		2
- 10	- 5	5	10
		- 2
		- 4
	Рис. 2. Четыре члена разложения

		4
		2
- 10	- 5	5	10
		- 2
		- 4

	Рис. 3. Шесть членов разложения
		4
		2
- 10	- 5	5	10
		- 2
		- 4

Рис. 4. Десять членов разложения Чтобы получить наиболее точное значение функции при наименьшем количестве

членов разложения надо в формуле Тейлора в качестве параметра а выбрать такое число,