Добавил:

neus500 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)

Предмет:

Высшая математика

Файл:

Некоторые задачи для вечернего отделения третьего факультета от каф 311

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.07.2017

Размер:

129.01 Кб

Скачать

☆

c И. А. Шилин, 2011. Некоторые задачи для студентов-вечерников третьего фа-

культета от кафедры 311

Напишите одну из возможных формул для n-ного члена ряда:

1. 1 + 51								2+ 91 +3												1				+ . .										4. .					2. 1 − 41 + 91 −																						1								+		1				+ . . . .														3. 21 − 61 +															1	−		1			+			1	−		1			+ . . . .
1. 1 + 51								2+ 91 +3												13				+ . .										4. .					2. 1 − 41 + 91 −																						16								+		25				+ . . . .														3. 21 − 61 +															12	−		20			+			30	−		42			+ . . . .
4. 2 +							2		+				2										+									2						+ . . . .										5. 1										2·4						+					2·4·6									−				2·4·6·8											+ . . . .
4. 2 +									+			1·2·3											+					1·2·3·4										+ . . . .										5. 1										2·4						+					2·4·6													2·4·6·8											+ . . . .
				1·2								1·2·3																1·2·3·4																										− 1·3															1·3·5												1·3·5·7
	Напишите 5 первых членов ряда:
6.	u			:=				3n+2																				u						:= (									1)		n n						1
6.	u			:=					2																			u						:= (									1)				n+3 .
		n																														n									−							−
		n						n +4 .														7.										n									−					2
	Вычислите сумму ряда:
	∞											1																									∞															2																																	1															1							1										1
8.	n=2 ln								1 −												.								9.							n=2 ln									1 −													.								10.										arctg												+ arctg												8 + arctg											+ arctg									+ . . . .
8.	n=2 ln								1 −								n2				.								9.							n=2 ln									1 −						n(n+1)							.								10.										arctg									2			+ arctg												8 + arctg									18		+ arctg							32		+ . . . .
	Подсказка: Воспользуйтесь																																											формулой																																																						x			y
	P																																				P																			arctg x													±						arctg y = arctg																									±	.
																																																																					±																													1 xy
	Найдите выражение для частичной суммы sn, вычислите сумму S и получите формулу для
n-ного остатка rn:
11.		1				+				1																						+ . . . +							1							+ . . . .									12.														3									+			5								+ . . . +														2n+1				+ . . . .
11.			1·4			+			4·7																							+ . . . +	(3n−2)(3n+1)													+ . . . .									12.													12·22										+				22·32							+ . . . +													n2(n+1)2					+ . . . .
13.				2				+				2								+ . . . +																							2								+ . . . .													14.							arctg										1				+ arctg													1		+ . . . + arctg												1					+ . . . .
13.		1·2·3						+			2·3·4									+ . . . +																	n(n+1)(n+2)														+ . . . .													14.							arctg										1				+ arctg													1		+ . . . + arctg												2					+ . . . .
		1·2·3									2·3·4																										n(n+1)(n+2)																																												3																	7														n +n+1
	Применяя утверждение, обратное необходимому условию сходимости ряда, установите, какие
из рядов заведîìî ðàñõîдятся:
																																																																																																										9
																																					3																			n																																																		9
15.		0, 001 + √0, 001 + √0, 001 + . . . +																																																					√0, 001 + . . . .																														16.											43 + 65 + 87 +										10		+ . . . .
					3										4														5										6																1														1										1										1
17.				2				+				3 +																	4			+							5			+ . . . .									18.						√							+					√					+					√						+						√						+ . . . .
17.				2				+				3 +																	4			+							5			+ . . . .									18.						√					2		+					√			4		+					√					6	+						√				8		+ . . . .
		2						4				6													8																									1							2																3												4
19.		q+							+q										+q											+ .q. . .												20.								1		+					2									+							3					+							4					+ . . . .
19.		q+						9	+q										+q											+ .q. . .												20.					1001					+														+			3001									+			4001									+ . . . .
		3						9				27													81																						1001								2001														3001												4001
	Выведите формулу для частичной суммы sn; если ряд сходится, вычислите его сумму:
			∞						1																								∞							2n+1																	∞																					1
21.																																														.																		ln					1 + n .
21.		=1						4n2				1 .								22.												=1						n2(n+1)2								.					23.					n=1								ln					1 + n .
		=1									−																					=1																								n=1
		nP									−																				nP																										P
	Установите сходимость или расходимость ряда с помощью признака сравнения:
24.				1				+				1								+ . . . +																			1						+ . . . .										25.									1			+						2			+				3					+						4					+ . . . .
24.		1001						+			2001									+ . . . +																	1000n+1								+ . . . .										25.									1			+						2			+			10						+				17							+ . . . .
		1001									2001																										1000n+1																											2									5						10										17
		3								5													7														9																		1												1											1											1
26.						+						+																+												+ . . . .											27.					√							+ √										+					√					+ √													+ . . . .
			1·4						4·9											9·16														16·25
			1·4						4·9											9·16														16·25																										2										3										4												5
28.		sin2 α + sin2 2α + sin2 3α + sin2 4α + . . . .																																																									29.						1 +								1						+								1			+				1		+ . . . .
28.		sin2 α + sin2 2α + sin2 3α + sin2 4α + . . . .																																																									29.						1 +								2·5						+								2			+				3		+ . . . .
		5						25										8																5n27												64																	π										2·5							π								π					3·5							π4·5
30.				+							+ . . . +																														+ . . . .										31.					tg										+ tg												+ tg																+ tg							+ . . . .
30.		2		+				12			+ . . . +																2n(2n−1)														+ . . . .										31.					tg							4			+ tg										8		+ tg								12								+ tg					16		+ . . . .
32.		1		+				1	+					1				+								1			+ . . . .													33.					ln 2 +									ln 3								+					ln				4				+							ln	5				+ . . . .
		1						1																																																4													4															4
		2						6				10													14																															4													4															4
		2						6				10													14																															√25													√35														√45

				1								2																				3																			n
34.		q2						+ q												+ q															+ . . . + q																		+ . . . .
34.		q2						+ q								17				+ q											82				+ . . . + q														n4+1				+ . . . .
	Установите сходимость или расходимость ряда с помощью радикального признака Коши:
35.			∞					1 n+1															n2									36.									∞					n+1						n			37.											arcsin 1 + arcsin2																																1		+ arcsin3							1										1
35.		n=1						3n							n										.							36.							n=1					2n−1										.	37.											arcsin 1 + arcsin2																																2		+ arcsin3									3 + arcsin4 4 + . . . .
			P																																					P
	Установите сходимость или расходимость ряда с помощью признака Даламбера:
38.		2 +						2·5			+						2·5·8								+						· · ·						+			2·5·8...(3n−1)														+ . . . .													39.									1 + 1·4													+							1·4·7				+ . . . +						1·4·7...(3n−2)									+ . . . .
								1·5				1·5·9																			· · ·									1·5·9...(4n−3)																																									3!!															5!!													(2n−1)!!
40.			∞ 2n									41.														∞ n!													42.							∞ (n!)2
40.			=1 n2 .									41.													n=1 nn .														42.						n=1 3n2 .
		nP																								P																				P

Установите сходимость или расходимость ряда с помощью интегрального признака Коши:

43.

+ . . . . 44.

+ . . . .

2 ln 2

3 ln 3

4 ln 4

5 ln 5

2 ln 2 ln ln 2

3 ln 3 ln ln 3

4 ln 4 ln ln 4

5 ln 5 ln ln 5

ln 2

ln 3

ln 4

ln 5

∞

n+1

∞

45.

∞

ln(n+1)

+ 9 + 16

+ . . . . 46.

n=1 √n ln n−1 .

47.

=1 n√n+1 .

48.

(n+1) ln3

(n+1) . 49.

(n+1)2 .

n=1

Применяя либо утверждение, обратное необходимому условию сходимости, либо признак срав-

нения, установите сходимость или расходимость ряда:

50.

∞

n .

51.

∞

2n2

∞

54.

∞

1 +

−

. 53.

n .

n=1

n+2

n=1

n +3 .

52.

√

2n2

√

+10n

n=1

Применяя либо признак Даламбера, либо радикальный признак Коши, исследуйте сходимость

ðÿäà:∞

∞

n2+1

∞ 1

...

(4n

∞

n+1

∞

n+1

55.

57.

−

10 n

59.

56.

n=1 5n

n=1

58.

3n−1

n=1 ln (n+4)

√n

2·4·6·...·2n

n=1

Установите сходимость или расходимость ряда:

60.

1 +

+ . . . . 61.

+ . . . .

1·4

7·10

10·13

4·7

62.

+ . . . +

+ . . . .

63.

+ . . . .

·3

·4

·5

·6

64.

5 2

+ . . . .

65.

∞

2n+1

66.

∞ 2n−1

3n+1

n=1

nn .

∞ n 1

∞

67.

−

n +1

n√

n3 .

n=1

=1 (n−1)! .

68.

69.

n=1

70.

n·2n

1 .

−

Выясните, сходится ли ряд абсолютно, условно или расходится:

∞

n+1

71.

−

+ . . . .

72.

1 − 2

3 − 4

+ . . . . 73.

(

−

(2n 1)

2 √2

3 √3 −

4 √4

∞

2n+1

∞

ln n

−

74.

(

1)n

(

−

1)n−1

(

−

1)n

n=1

−

√n .

75. n=1

n(n+1) . 76.

n=2

n .

∞ (

1)n

∞

(2n+1)!!

∞

1 4 7 ... (3n

77.

(

1)n−1

(

−

1)n−1

· · ·

−

sin

2·5·8·...·(3n−1) .

n=1

−

1)n

78.

n=1

7·9·11·...·(2n+5) .

79.

n=1

n .

∞

(

−

80.

cos n .

√

−

√

−

√

+ . . . +

√

−

√

+ . . .

81.

−

2+1

−

3+1

−

Подсказка: Сгруппируйте первый член со вторым, третий с четвертым и т. д. Потом найдите выражение для частичной суммы s˜n получившегося ряда оно же будет частичной суммой s2n исходного ряда. Это выражение и подскажет решение.

Укажите область абсолютной и условной сходимости ряда:

82.

x +

+ . . . .

83.

+ . . . .

16x2

64x3

256x4

∞

1 .

85.

∞

87.

∞ 1

3 ... (2n−1)

84.

n=1

86.

n=1

· 2··4··...·2n

nn=1 n+1

2x+1

1−xn

n=1

1+x2

88.

n=1

90.

n=1 h

. 89.

1+x2n+1 .

n=1 (1+x)(1+x2)(1+x4)...(1+x2n−1 ) .

∞

x(x+n)

∞

sin

∞

tgn x

∞

sin(2n+1)x

∞

91.

+ 4 sin

2 .

n .

2 .

n=1

(1+x)(1+x

)...(1+x

)

n=1

(2n−1)

95.

sin x + 2 sin x

x + 8 sin x27 + . . . .

Укажите области сходимости ряда и найдите его сумму:

96.

x +

(x2

−

x2) + (x4

−

x3) + (x5

) + . . .

− x) + (x1

1− x

97.

+ . . . .

(x+1)(x+2)

(x+2)(x+3)

(x+3)(x+4)

(x+4)(x+5)

Подсказка: В задании рассмотрите остаток r1 ряда, а в задании 3 каждую дробь представьте в виде

суммы простейших дробей.

ОТВЕТЫ

Ðÿäû. Для краткости использованы следующие обозначения: "ряд сходится", "ряд расходит-

ñÿ",

"ряд сходится абсолютно"и

"ряд сходится условно". Например, запись

(0; +

∞

) означает

абсолютную сходимость ряда на луче x > 0. 8.

ln 2 . 9.

ln 3 . 10. 4 . 11.

sn =

, S =

3 , rn =

3n+1

3(3n+1) .

12.

= n2+2n2 , S = 1, rn

. 13.

sn =

n2+3n

, S =

, rn =

sn = arctg

, S =

2(n+1)(n+2)

(n+1)(n+2) . 14.

(n+1)

n+2

. 16. . 17. . 18. Ответа нет. 19.

. 21. sn =

4 , rn = arctg

. 15.

Ответа нет. 20.

, S = 2 .

n+1

2n+1

. 26. . 27. . 28. . 29. . 30. . 31. .

22.

sn = (nn+1)+2n2 , S = 1. 23. sn = ln(n + 1), . 24. . 25.

32.

. 33. . 34. . 35. . 36. . 37. . 38. . 39. . 40. . 41. . 42. . 43. . 44. . 45. .

46.

. 47. . 48. . 49. . 50. . 51. . 52. . 53. . 54. . 55. . 56. . 57. . 58. . 59. .

60.

. 61. . 62. . 63. . 64. . 65. . 66. . 67. . 68. . 69. . 70. . 71. . 72. . 73. .

74.

. 75. . 76. .1

77. . 78. . 79. . 80. . 81.

. 82.

|x| > 1.

83. |x| > 41

. 84.

x > 1. 85.

x (−∞; −1) −3

; +∞ .

86. |x| < 1.π87.

|x| =6 1 è x = −1.π88. |x| < 1. 89.

π |x| < 1. 90.

x 6= −1. 91. x 6= −1.

92.

|x − πk| 6 6 , k Z

. 93.

|x − πk| < 4 , k Z

x = − 4

+ πn, n Z

94.

1(−∞; +∞). 95.

(−∞; +∞). 96.

Ïðè x (−1; 1) S = 0; ïðè x = 1 S = 1. 97.

Ïðè x 6= −n, n N,

S =

x+1

Соседние файлы в предмете Высшая математика

#
24.07.201785.64 Кб18Вопросы для студентов вечернего отделения от кафедры 311.pdf
#
24.07.20171.19 Mб143Лекции по Матанализу ч.3.pdf
#
24.07.20171.89 Mб395Лекции по Матанализу ч1.pdf
#
24.07.20171.2 Mб147Лекции по Матанализу ч2.pdf
#
24.07.2017166.23 Кб106Матанализ Вопросы 1 курс 1 семестр.pdf
#
24.07.2017129.01 Кб41Некоторые задачи для вечернего отделения третьего факультета от каф 311.pdf