часть задач по линейной алгебре и аналитической геометрии

2

2

Каноническое уравнение эллипса имеет вид x2

+ y2 = 1. Положительные числа a è b называются

соответственно большой и малой полуосями. Пусть

a > b è c :=

√a2 − b2. Точки F1(−c, 0) è F1(−c, 0)

a

b

Найти фокусы,.

центр, полуоси, эксцентриситет и директрисы эллипса. 1. 5x2 + 9y2 − 30x +

18y + 9 = 0. 2• 16x2 + 25y2 + 32x 100y

−

284 = 0.

Каноническое уравнение гиперболы−имеет

xa2

− yb2 = 1. Положительные числа a и b называются

âèä

2

2

a > b è c := √

. Точки F1(−c, 0) è F1(−c, 0)

соответственно большой и малой полуосями. Пусть

a2 + b2

его или общих точек они не имеют)? 5. 2x

−

y

−

3 = 0,

x2

+ y2

9 = 1 . 6•. 2x + y

−

10 = 0,

10

2

2

x

+ y24 = 1 . 7•. 3x + 2y − 20 = 0,

x

+ y210 = 1 .

9

40

Каноническое уравнение параболы имеет вид y2 = 2px. Число p называют параметром, точку F

p , 0

фокусом, точку O(0, 0) центром, а прямую x = −p2

директрисой.

2

параметр, фокус и директрису параболы. 8.

y

2

= 4x−8

. 9.

2

−8x+7

.

Найти вершину,

2

2

y = 4x

10•. x2 = 2 − y. 11.

y = −

x

+ 2x − 7. 12.

x = −

y

+ y.

13•. x = 2y2 − 12y + 14.

6

4

2.pdf на studsetka.ru) к базису

ˆ

E. Используя эту матрицу и координаты вектора, заданных в усло-

виях этих задач, найдите координаты этого вектора в базисе

ˆ

E. Для задачи 41 используйте базис

ˆ

, для задачи 42 базис

ˆ

E = {(2, −1, −2), (0, 1, 4), (1, −1, 2)}

E = {(3, −1, −4), (1, 1, 1), (−2, 2, 4)},

для задачи 45 базис ˆ

2

− 4x, x, x + 2}.

E = {x

14. Найдите матрицу оператора (a1, a2, a3) 7−→(a1+a2+a3, a1+a2, a3),

. 15 . Найдите мат-

пространстве

, в базисе E :=

e1

:= ( 1, 1, 1), e2

:= (2, 1,

действующего в векторном

R

{

−

1), e3 := (1, 2, 1)

}

•

−

R, в базисе E := {e1 := (1, 0, 0), e2 := (1, 1, 0), e3

:= (1, 1, 1)}.

16. Найдите матрицу оператора.

a

a + aT), действующего в векторном пространстве Mat(2,

R

), в каноническом базисе.

17•

7−→

a 7−→2a

T

− a), действующего в

df

Mat(2, R),

Найдите матрицу оператора

векторном пространстве

в каноническом базисе.

18.

Найдите матрицу оператора f 7−→f −

, действующего в вектор-

dx

ном пространстве многочленов степени не выше 2, в базисе E :=

{

2x

−

x2, 3x + 1, x2

+ x

−

2. .

19.

Найдите матрицу оператора f

f000

f00

+ f

0,

7−→

−

действующего в векторном пространстве

многочленов степени не выше 2, в базисе E := {2x − x2, 3x + 1, x2 + x − 2. .

Найдите собственные значения линейного оператора (заданного матрицей) и укажите соб-

ственные векторы, отвечающие этому собственному значению

−1

.

20.

4

−7 8

. 21•

0

2

−1

. 22•

1 0

1

−3 4

.

1

−1

−1

.

5 6

3

6 −7 7

0

0

3

−1 2 −1