П1
.3.docПрактическое занятие 1.3
плоское напряженное состояние
При практических расчетах наиболее часто удается определить нормальные и касательные напряжения на некоторых двух взаимно перпендикулярных площадках. Пусть, например, по граням элемента действуют показанные напряжения (рис. 1). Необходимо найти главные напряжения и соответствующие им главные напряжения (Обратная задача в теории плоского напряженного состояния).
Рис. 1
Если обозначить площадки так, как показано на рис. 1, а, то
МПа; МПа;
МПа; МПа.
Определим главные напряжения
МПа
МПа.
Так как значение одного из напряжений получилось отрицательным, его обозначим как .
Тангенс угла наклона главного напряжения к оси
Выполним графическое решение данной задачи.
В геометрической плоскости в системе координат нанесем точку с координатами , (рис. 3.1, б) и точку с координатами , . Соединим точки и . Полученный отрезок пересекает ось в точке . Радиусом проводим окружность с центром в точке . Абсциссы точек пересечения полученной окружности с осью дадут соответственно величины главных напряжений и .
Для определения положения главных площадок найдем полюс и воспользуемся его свойством. Для этого из точки проведем линию действия напряжения , т. е. горизонталь. Точка пересечения этой линии с окружностью и является полюсом. Соединяя полюс с точками и , получим направления главных напряжений и соответственно. Главные площадки перпендикулярны к найденным направлениям главных напряжений.
После определения положения главных площадок и значений главных напряжений и можно определить нормальные и касательные напряжения для любой произвольной площадке, расположенной под углом к главным. Например, на главных площадках, расположенных как указано на рис. 3.2, а, действуют главные напряжения и . Требуется найти нормальные и касательные напряжения по граням элемента, одна из которых наклонена к горизонтали под углом .
Произвольным образом обозначаем площадки () и () и проводим нормаль . Из предыдущего расчета МПа; МПа. С учетом расположения главных площадок к горизонтали (), Угол между направлением главного напряжения и нормалью к площадке () будет равен . Угол отрицателен, так как здесь он отсчитывается по часовой стрелке.
Решим сначала эту задачу аналитически.
МПа
МПа
МПа
Рис. 2
Учитывая знаки вычисленных напряжений, покажем напряжения на гранях элемента (рис. 2, б).
Для графического решения в геометрической плоскости в системе координат нанесем точки и с координатами и соответственно (рис.2, в)
На отрезке как на диаметре строим круг Мора с центром в точке . Для определения напряжения на площадке () из центра проводим луч под углом до пересечения с окружностью в точке (так как угол имеет отрицательное значение, откладываем его против часовой стрелки).
Координаты полученной точки дадут нам напряжения на площадке ()
МПа; МПа.
Координаты точки дадут нам напряжения на площадке ()
МПа; МПа.
Получаем те же значения напряжений, которые были вычислены ранее.