П1

Практическое занятие 1.7

Полный расчет балок на прочность при изгибе.

При расчете балок на прочность необходимо отыскать опасное сечение балки, через которое передаются наибольшие напряжения, которые в свою очередь не должны превышать допускаемые напряжения. Для расчета балок из пластичных материалов рекомендуется пользоваться условиями прочности, полученными по III и IV теориям прочности:

(1)

(2)

где σ – нормальное напряжение, зависящее от изгибающего момента М в сечении, координаты точки y и осевого момента инерции J;

τ – касательное напряжение, зависящее от поперечной силы Q, осевого момента инерции J, ширины сечения b и статического момента S_z(y) площади поперечного сечения, заключенной между уровнем у и краем сечения.

(3)

(4)

Рассмотрим порядок расчета на примере двухопорной балки, показанной на рисунке 1. Для заданной балки необходимо:

• построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов;

• подобрать из условия прочности ([σ] = 160 МПа) двутавровое сечение;

• выполнить проверку по главным напряжениям.

а = 1м; Р = 15 кН; М = 26 кН·м; q = 20 кН/м

Поскольку балка не консольная, то, прежде всего, определяем реакции опор R_А и R_В. Составляем уравнения моментов относительно точек А и В:

(5)

кН

(6)

кН

Проверим, правильно ли найдены реакции.

(7)

Делим балку на участки по местам приложения сосредоточенных нагрузок и местам начала и конца действия распределенной нагрузки. Для каждого участка записываем уравнения для определения поперечной силы и изгибающего момента при помощи метода сечений.

рис. 1

I участок. Рассекаем в произвольном месте на первом участке балку на расстоянии х₁ от начала участка. Причем 0 ≤ х₁ ≤2а

Рис. 2

Поперечную силу определяем, находя сумму проекций всех сил на ось, перпендикулярную оси участка. Силы, пытающиеся повернуть рассматриваемое сечение по ходу часовой стрелки, входят в уравнение со знаком «+»

(8)

Получили линейную зависимость поперечной силы от координаты х₁. Определяем значения поперечной силы по краям участка

кН

кН

Поскольку поперечная сила меняет знак, то внутри участка на эпюре моментов в каком-то сечении будет экстремальное значение момента. Определим координату этого сечения х₁₀, приравняв выражение поперечной силы к нулю.

(9)

м

Изгибающий момент в сечении определяем как сумму моментов всех сил относительно точки, в которой взято сечение.

(10)

Вид эпюры моментов на данном участке – парабола с вершиной с координатой х₁₀.

Для построения эпюры моментов достаточно определить значения изгибающего момента для трех точек участка:

II участок. Рассекаем в произвольном месте на втором участке балку на расстоянии х₂ от начала участка. Причем 0 ≤ х₂ ≤ а

рис. 3

кН (11)

Поперечная сила имеет постоянное значение по всей длине участка.

(12)

Получили линейную зависимость изгибающего момента от координаты х₂. Для построения эпюры изгибающего момента на данном участке достаточно определить значения изгибающих моментов по краям второго участка.

кН·м

III участок. Рассекаем в произвольном месте на третьем участке балку на расстоянии х₃ от правого начала участка. Причем 0 ≤ х₂ ≤ а

рис. 4

кН (13)

кН·м (14)

Для построения эпюры поперечных сил берем нулевую линию, параллельную оси балки и откладываем в масштабе значения поперечных сил перпендикулярно нулевой линии. На всех участках линейная зависимость поперечной силы, поэтому откладываемые значения на краях участков соединяем прямыми линиями. Поле эпюры штрихуем перпендикулярно нулевой линии и указываем знаки поперечных сил. Слева от эпюры указываем название эпюры «Q» и указываем размерность «кН».

Для построения эпюры изгибающих моментов берем нулевую линию, откладываем значения изгибающих моментов для характерных точек балки и соединяем эти значения в зависимости от выражений изгибающего момента на соответствующих участках.

На первом участке выражение изгибающего момента представляет собой уравнение параболы, причем вершина параболы будет находиться под нулевым значением поперечной силы на эпюре поперечных сил. Выпуклость параболы направлена на встречу равномерно распределенной нагрузке.

На втором участке линейная зависимость изгибающего момента, поэтому значения на краях участка соединяем прямой линией.

На третьем участке изгибающий момент имеет постоянное значение.

Выполняем штриховку перпендикулярно нулевой линии, предварительно указав знаки в поле эпюры.

Слева от эпюры указываем название эпюры «М» и размерность откладываемых величин «кН·м».

После построения эпюры определяем опасное сечение.

В точке В максимальный изгибающий момент и максимальная поперечная сила:

М = 26 кН·м

Q = 32 кН

По максимальному моменту подбираем сечение из условия прочности при изгибе:

(15)

где – момент сопротивления поперечного сечения. Для двутавровых сечений приводится в сортаменте прокатной стали в зависимости от номера проката.

Из (15)

м³

Или

см³

По таблице сортамента подбираем двутавровое сечение № 20 и выписываем для этого сечения следующие данные:

Осевой момент инерции относительно оси z J_z = 1840 см⁴;

Статический момент полусечения S_z = 104 см³;

Момент сопротивления W_z = 184 см³;

Высота сечения h = 200 мм;

Ширина полки b = 100 мм;

Толщина стенки d = 5,2 мм;

Средняя толщина полки t = 8,4 мм.

Проведем проверку выбранного поперечного сечения по главным напряжениям

Выберем для проверки пять точек в поперечном сечении (рис.5):

рис. 5

1 точка на поверхности двутаврового сечения с координатой у₁ = h/2. Статический момент S_z(y = h/2) = 0;

2 точка на переходе от полки швеллера к стенке с шириной сечения b₂ = b и с координатой у₂ = h/2 – t;

Статический момент S_z(y = h/2-t) равен статическому моменту полки. С достаточной точностью полку можно считать прямоугольником с размерами b×t. Тогда

3 точка на переходе от полки швеллера к стенке с шириной сечения b₃=d и с координатой у₃=h/2–t; Статический момент такой же как и для второй точки.

4 точка в центре сечения с шириной сечения b₄ = d и с координатой у₄=0.

Статический момент S_z(y=0) равен статическому моменту полусечения S_z

Определяем по (3) и (4) для первой точки:

Па (16)

(17)

Для второй точки

Па (18)

Па (19)

Для третьей точки

Па (20)

Па (21)

Для четвертой точки

Па (22)

Па (23)

Строим эпюры нормальных и касательных напряжений.(рис.5)

По эпюре изгибающих моментов видно , что сжаты нижние волокна, поэтому на эпюре нормальных напряжений в верхней части сечения будут положительные (растягивающие) напряжения, а в нижней – отрицательные (сжимающие)

По третьей теории прочности (1):

(24)

(25)

(26)

(27)

Условие (1) выполняется. Сечение подобрано правильно.