П2
.1.docПЗ 2.1 Определение перемещений с помощью метода начальных параметров.
Определение перемещений методом начальных параметров сводится в первую очередь к составлению универсальных уравнений упругой линии балки и углов поворотов сечений. Предварительно данные уравнения составляются для сечений, в которых установлены опоры, что бы определить начальные параметры (прогиб и угол поворота крайнего левого сечения).
Универсальные уравнения имеют вид:
,
где a, b, c, d – координаты соответствующих нагрузок (рис.1)
рис. 1
Рассмотрим прядок определения перемещений с помощью метода начальных параметров. Для балки, показанной на рисунке 2 необходимо:
-
построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов;
-
Из условия прочности по нормальным напряжениям подобрать двутавровое сечение балки [σ] = 160 МПа;
-
составить универсальные уравнения прогибов и углов поворота методом начальных параметров;
-
построить эпюры прогибов.
а = 1м; Р = 15 кН; М = 10 кН·м; q = 20 кН/м
Определяем реакции опор:
рис. 2
Проверим, правильно ли найдены реакции.
Строим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов.
Определяем
По сортаменту выбираем балку двутавровую №18: см3,
J = 1290 см4.
Перед определением перемещений необходимо определить начальные параметры, рассмотрев условия закрепления балки. Так как начало координат совпадает с опорой А, то прогиб в начале координат равен нулю .
Для определения θ0 воспользуемся начальным условием, что для точки В (х=3а) прогиб равен нулю (v(3а)=0). Составим уравнение для точки В.
Для крайней правой точки балки
Для прогиба сечения в месте приложения силы Р подставим х=2а. В уравнение упругой линии войдут только те нагрузки, которые располагаются слева от координаты х=2а
Угол поворота сечения для координаты х=4а
Угол поворота сечения для координаты х=3а
Угол поворота сечения для координаты х=2а
Для построения эпюры прогибов откладываем величины прогибов в различных сечениях от базовой линии вверх или вниз в зависимости от знака.
Соединив концевые точки отложенных отрезков кривой, получаем эпюру прогибов «v». Эта эпюра в принятом масштабе изображает изогнутую ось рассматриваемой балки.
Тоже делаем для построения эпюры «θ».
При построении эпюр «v» и «θ» необходимо придерживаться следующих правил:
Так как М(х) представляет собой диаграмму производной эпюры углов поворота θ, то ординаты эпюры М пропорциональны тангенсу угла наклона касательной к эпюре θ. В сечениях, где М(х)=0, касательная к кривой θ=f(х) должна быть параллельна оси абсцисс.
Если изгибающий момент равен нулю на протяжении какого либо участка балки, то на этом участке эпюра θ прямоугольна, а эпюра v прямолинейна.
На участках, где действует постоянный момент, эпюра θ прямолинейна и наклонна, а эпюра v – параболическая.
Если момент положителен (сжаты верхние волокна), то вогнутость на эпюре v будет обращена вверх, при отрицательном моменте вогнутость параболы обращена вниз. В сечениях, где на эпюре моментов меняется знак, на эпюре v имеем точку перегиба.
Если поперечная сила положительна, то выпуклость на эпюре θ будет обращена вниз. В сечениях, где поперечная сила меняет знак, на эпюре θ имеем точку перегиба.
На тех участках, где эпюра М изменяется по линейному закону, эпюра θ будет квадратичной параболой, а эпюра v – параболой третьего порядка.
На участках, где θ<0, эпюра v убывает. Если θ>0, эпюра v возрастает. В сечениях, где θ=0, касательная к эпюре v горизонтальна, т.е. на эпюре прогибов получается максимум или минимум.
Перечисленные особенности эпюр позволяют по самому виду установить, не допущены ли принципиальные ошибки при построении.
Для того, что бы построить более точно эпюры v и θ, лучше кроме границ участков взять еще несколько сечений и определить для них значения v и θ.
Наиболее точную упругую линию балки можно построить с использованием программного обеспечения (например в табличном редакторе Exel), задавая для каждого участка функцию v=f(х).