ТФКП лекции Гурина Т.А
..pdfТеория функции комплексного
переменного. Курс лекций.
Гурина Т.А.
Глава 1
Введение в комплексный анализ
1.1Множество комплексных чисел
N Z Q R C.
N – множество натуральных чисел;
Z – множество целых чисел;
Q – множество рациональных чисел;
R – множество действительных чисел;
C – множество комплексных чисел.
Пример. Решим уравнение x2 |
− 2x + 5 = 0 |
|||
|
√ |
|
|
|
√x12 = 1 ± −4; |
|
|||
−1 = i / R; |
|
|||
x1 |
= 1 − 2i, |
|
||
x2 |
= 1 + 2i; |
|
Определение 1 (Комплексное число). Говорят, что пара (комплекс) z = (x, y), x, y R является комплексным числом и пишут: x = Re z; y = Im z, если выполняются следующие условия:
1.z1 = z2, (x1, y1) = (x2, y2) x1 = x2, y1 = y2;
2.z1 + z2 = (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2);
3.z1·z2 = (x1, y1)·(x2, y2) = (x1x2 − y1y2, x1y2 + x2y1);
Замечание. z = (x, 0) = x – чисто действительное число; (0, y) – чисто мнимое число;
(0, 1) = i – мнимая единица. i2 = (0, 1)·(0, 1) = (0·0 − 1·1, 0·1 + 1·0) = (−1, 0) = −1.
2
1.1. Множество комплексных чисел |
3 |
Теорема 1 (Свойства операций над комплексными числами).
Пусть z = (x, y), z1 = (x1, y1), z2 = (x2, y2), z3 = (x3, y3) C. Тогда справедливы следующие свойства:
IСвойства сложения:
1.z1 + z2 = z2 + z1 – свойство коммутативности;
2.z1 + (z2 + z3) = (z1 + z2) + z3 – свойство ассоциативности;
3.! e: z + e = z. e = (0, 0) - существование и единственность нейтрального элемента по сложению
4.! z−1 : z+z−1 = e - существование и единственность обратного элемента по сложению
IIСвойства умножения:
1.z1·z2 = z2·z1 – свойство коммутативности;
2.z1·(z2·z3) = (z1·z2)·z3 – свойство ассоциативности;
3.! e: z·e = z. e = (1, 0) - существование и единственность нейтрального элемента по умноженио;
4.! z−1 : z·z−1 = e.
x2 |
+ y2 |
x2 + y2 |
|||
z−1 = |
|
x |
, |
−y |
|
|
|
|
- существование и единственность обратного элемента по умноженио;
IIIСвойство дистрибутивности:
(z1 + z2)·z3 = z1z3 + z2z3
Доказательство. I.1 (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2) = (x2 + x1, y2 + y1) = z2 + z1. Коммутативность сложения комплексных чисел следует из коммутативности сложения действительных чисел.
I.3 (x, y) + (0, 0) = (x, y), т.е. e = (0, 0) = 0 - нейтральный элемент по сложению.
Докажем единственность нейтрального элемента. Пусть e˜ 6= e: z + e˜ = z e + z + e˜ = z + e˜ = z + e = z e = e˜.
Замечание. Множество, обладающее свойствами I и II, называется алгебраическим полем. Множества R и Q являются алгебраическими полями; множества
N и Z алгебраическими полями не являются.
4 |
Глава 1. Введение в комплексный анализ |
Замечание. 1. Наличие обратных элементов по сложению и умноженио означает наличие операций вычитания и деления.
2. На множестве C отсутствует отношение порядка, т.е. запись вида z1 > z2 не имеет смыла.
Определение 2 (Алгебраическая форма записи комплексного числа). z = (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)·(y, 0). Равенство вида
z = x + iy
называется алгебраической формой записи комплексного числа z.
Замечание. В алгебраической форме свойства Определения 1 весьма очевидны :
z1 + z2 = x1 + iy1 + x2 + iy2 = (x1 + x2) + i(y1 + y2);
z1z2 = (x1 + iy1)·(x2 + iy2) = x1x2 + iy1x2 + ix1y2 + i2y1y2 = (x1x2 − y1y2) + + i(x1y2 + y1x2);
Определение 3 (Модуль и аргумент комплексного числа). Комплексное число можно графически представить в виде вектора, у которого первая координата равна действительной части комплексного числа, а вторая - мнимой (см. рисунок).
p
Модуль комплексного числа, |z| = r = x2 + y2, - длина вектора.
Аргумент: ϕ = arg z, ϕ (−π, π] Im z 6
yz = (x, y)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
||
|
|
|
||
0 |
x |
Re z |
||
sin ϕ = y/r; |
cos ϕ = x/r; |
Arg z = arg z + 2πn, n Z.
Определение 4 (Тригонометрическая форма записи комплексного числа). z = x + iy = r cos ϕ + i r sin ϕ = r(cos ϕ + i sin ϕ)
z = |z|(cos Arg z + i sin Arg z)
1.1. Множество комплексных чисел |
5 |
Определение 5 (Показательная форма записи комплексного числа).
Согласно формуле Эйлера: eiϕ = cos ϕ + i sin ϕ, ϕ R; z = |z|(cos Arg z + i sin Arg z) = r eiϕ
z = r eiϕ, z = |z|ei Arg ϕ
Алгебраической формой записи комплексных чисел удобно пользоваться при их сложении и вычитании, а тригонометрической и показательной - при умножении, делении, возведении в степень и извлечении корня.
Теорема 2 (Свойства операций над комплексными числами в тригонометрической форме). Пусть z1 = r1(cos ϕ1 + i sin ϕ1), z2 = r2(cos ϕ2 + i sin ϕ2), z = r(cos ϕ + i sin ϕ). Тогда справедливы следующие соотношения:
1.z1 z2 = (r1 r2)(cos(ϕ1 + ϕ2) + i sin(ϕ1 + ϕ2))
2.z1 = r1 (cos(ϕ1 − ϕ2) + i sin(ϕ1 − ϕ2)) z2 r2
3. |
zn = (rn)(cos(nϕ) + i sin(nϕ)) |
||||||||
|
n |
|
|
n |
|
|
ϕ + 2πk |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
4. |
√ |
z = |
√ |
r(cos |
|
+ i sin(ϕ1 − ϕ2)) |
|||
n |
|||||||||
|
|
|
Доказательство. Доказательство провести самостоятельно с использованием элементарных формул тригонометрии.
Теорема 3 (Свойства операций над комплексными числами в показательной форме). Пусть z = r eiϕ, z1 = r1 eiϕ1 , z2 = r2 eiϕ2 - комплексные числа. Тогда справедливы следующие соотношения:
1.z1 z2 = (r1 r2)ei(ϕ1+ϕ2)
2.z1 = r1 ei(ϕ1−ϕ2)
z2 r2
3. |
zn = rn ei n ϕ |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
iϕ+2πk |
|
|
4. |
√z = |
√ze |
, k = 0, 1, ..., (n − 1) |
||||||
n |
|||||||||
|
n |
n |
|
|
Доказательство. Утверждения теоремы 3 являются перефомулировкой соответствующих утверждений теоремы 2 в показательной форме.
6 |
Глава 1. Введение в комплексный анализ |
Определение 6 (Комплексное сопряжение). Говорят, что число z¯
является комплексно-сопрояженным числу z C, если Re z¯ = Re z, а
Im z¯ = − Im z.
z= x + iy, z¯ = x − iy;
z= r(z = cos ϕ + i sin ϕ, z¯ = cos ϕ − i sin ϕ);
z= r ei ϕ, z¯ = r ei ϕ.
Теорема 4 (Свойства комплексного сопряжения). Пусть z1, z2, z
–комплексные числа.
1.(z1 + z2) = z¯1 + z¯2
2.(z1 · z2) = z¯1 · z¯2
3.(zn) = (¯z)n
4.z1 = z¯1 z2 z¯2
5.z · z¯ = |z|2
6.(¯z) = z
Доказательство. Доказывается непосредственно на основании свойств алгебраической, тригонометрической и показательной форм записи комплексного числа.
Теорема 5 (Свойства модулю комплексного числа). Пусть z1, z2, z
–комплексные числа.
1.|z1 + z2| ≤ |z1| + |z2|;
2.|z1 − z2| ≥ |z1| − |z2|;
3.|z1 · z2| = |z1| · |z2|;
4. |
z1 |
|
= |
z1 |
||
z2 |
||z2||; |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.|z¯| = |z|;
6.|zn| = |z|n.
Теорема 6 (Свойства аргумента комплексного числа). Пусть z1, z2, z
– комплексные числа.
1.1. Множество комплексных чисел |
7 |
1. arg(z1 · z2) = arg z1 + arg z2;
2. |
arg |
|
z1 |
|
= arg z1 − arg z2; |
|
|||||
|
z2 |
|
|||||||||
3. |
arg(zn) = n · arg(z); |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
arg z + 2πk |
|
|
|
|
4. |
arg |
√ |
, |
k = 0, . . . , (n |
1) |
||||||
|
|||||||||||
n |
|||||||||||
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
Глава 1. Введение в комплексный анализ |
1.2Топология множества C
Определение 1 (Комплексная плоскость). Геометрически удобно представлять комплексные числа в виде векторов.
{(x, 0)} – вещественная ось; {(0, y)} – мнимая ось;
{(x, 0)} ∩ {(0, y)} = (0, 0) = 0.
Im z 6
yz = (x, y)
-
0 x Re z
C ↔ R2, C ↔ V – пространство геометрических векторов.
Сумме (разности) комплексных чисел z1 и z2 соответствует сумма (разность) соответствующих векторов. Произведению комплексных чисел соответствует вектор, лежащий под углом ϕ1 +ϕ2 к вещественной оси, с длиной, равной произведению модулей перемножаемых комплексных чисел. Частному соответствует вектор, лежащий под углом ϕ1 − ϕ2 к вещественной оси, с длиной, равной частному модулей. Комплексному сопряжению соответствует вектор, симметричный z относительно вещественной оси.
1.2. Топология множества C |
9 |
Определение 2 (Метрика на множестве C). Пусть z1, z2 C.
p
Функция d(z1, z2) := |z1−z2| = (x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 называется метрикой.
Замечание. Метрика обладает следующими свойствами:
1.d(z1, z2) = 0 z1 = z2;
2.d(z1, z2) = d(z2, z1);
3.d(z1, z2) ≤ d(z1, z3) + d(z2, z3) – неравенство треугольника.
Определение 3 (Окрестность в C). Пусть c C, ε R, ε > 0. ε- окрестностью точки c называется множество
Uε(c) := {z C | d(z, c) < ε}. UM (∞) := {z C | d(z, 0) > M}.
10 |
Глава 1. Введение в комплексный анализ |
Замечание. Uε(c) и UM (∞) - открытые множества.
Определение 4 (Предел комплексной последовательности). Пусть
задана последовательность {zn} C. c = lim zn : Uε(c) N :
n→∞
n > N zn Uε(c)
Замечание (Свойства пределов комплексных последовательностей).
1. {zn0 } → c0, {zn00} → c00
{zn0 + zn00} → c0 + c00, {zn0 · zn00} → c0 · c00,
zn0 → c0 , c00 6= 0.
zn00 c00
2.zn = xn + iyn, c = a + ib.
{zn} → c {xn} → a, {yn} → b.
3.zn = rneiϕn, c = |c|ei arg c,
{zn} → c {rn} → |c|.
4.{rn} → c, {ϕn} → arg c {zn} → c
Определение 5 (Бесконечно удаленная точка).
lim zn = ∞ : UM (∞) N : n > N zn UM (∞).
n→∞
Замечание. Бесконечно удаленная точка - это внешность сколь угодно большого круга на комплексной плоскости. Или бесконечно удаленная точка - это объединение всех точек окружности бесконечно большого радиуса.
Определение 6 (Бесконечно удаленная точка).
lim zn = ∞ : UM (∞) N : n > N zn UM (∞).
n→∞
Определение 7 (Расширенная комплексная плоскость). Множество
C = C {∞} называется расширенной комплексной плоскостью.
Замечание. Склеивая точки окружности сколь угодно большого радиуса или добавляя точку бесконечность к множеству конечных комплексных чисел, мы приходим к пониманию множества комплексных чисел как сферы.