Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

ТФКП лекции Гурина Т.А

..pdf
Скачиваний:
78
Добавлен:
24.07.2017
Размер:
883.39 Кб
Скачать

Теория функции комплексного

переменного. Курс лекций.

Гурина Т.А.

Глава 1

Введение в комплексный анализ

1.1Множество комплексных чисел

N Z Q R C.

N – множество натуральных чисел;

Z – множество целых чисел;

Q – множество рациональных чисел;

R – множество действительных чисел;

C – множество комплексных чисел.

Пример. Решим уравнение x2

− 2x + 5 = 0

 

 

 

 

x12 = 1 ± −4;

 

−1 = i / R;

 

x1

= 1 − 2i,

 

x2

= 1 + 2i;

 

Определение 1 (Комплексное число). Говорят, что пара (комплекс) z = (x, y), x, y R является комплексным числом и пишут: x = Re z; y = Im z, если выполняются следующие условия:

1.z1 = z2, (x1, y1) = (x2, y2) x1 = x2, y1 = y2;

2.z1 + z2 = (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2);

3.z1·z2 = (x1, y1)·(x2, y2) = (x1x2 − y1y2, x1y2 + x2y1);

Замечание. z = (x, 0) = x – чисто действительное число; (0, y) – чисто мнимое число;

(0, 1) = i – мнимая единица. i2 = (0, 1)·(0, 1) = (0·0 − 1·1, 0·1 + 1·0) = (−1, 0) = −1.

2

1.1. Множество комплексных чисел

3

Теорема 1 (Свойства операций над комплексными числами).

Пусть z = (x, y), z1 = (x1, y1), z2 = (x2, y2), z3 = (x3, y3) C. Тогда справедливы следующие свойства:

IСвойства сложения:

1.z1 + z2 = z2 + z1 – свойство коммутативности;

2.z1 + (z2 + z3) = (z1 + z2) + z3 – свойство ассоциативности;

3.! e: z + e = z. e = (0, 0) - существование и единственность нейтрального элемента по сложению

4.! z−1 : z+z−1 = e - существование и единственность обратного элемента по сложению

IIСвойства умножения:

1.z1·z2 = z2·z1 – свойство коммутативности;

2.z1·(z2·z3) = (z1·z2)·z3 – свойство ассоциативности;

3.! e: z·e = z. e = (1, 0) - существование и единственность нейтрального элемента по умноженио;

4.! z−1 : z·z−1 = e.

x2

+ y2

x2 + y2

z−1 =

 

x

,

−y

 

 

 

 

- существование и единственность обратного элемента по умноженио;

IIIСвойство дистрибутивности:

(z1 + z2)·z3 = z1z3 + z2z3

Доказательство. I.1 (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2) = (x2 + x1, y2 + y1) = z2 + z1. Коммутативность сложения комплексных чисел следует из коммутативности сложения действительных чисел.

I.3 (x, y) + (0, 0) = (x, y), т.е. e = (0, 0) = 0 - нейтральный элемент по сложению.

Докажем единственность нейтрального элемента. Пусть e˜ 6= e: z + e˜ = z e + z + e˜ = z + e˜ = z + e = z e = e˜.

Замечание. Множество, обладающее свойствами I и II, называется алгебраическим полем. Множества R и Q являются алгебраическими полями; множества

N и Z алгебраическими полями не являются.

4

Глава 1. Введение в комплексный анализ

Замечание. 1. Наличие обратных элементов по сложению и умноженио означает наличие операций вычитания и деления.

2. На множестве C отсутствует отношение порядка, т.е. запись вида z1 > z2 не имеет смыла.

Определение 2 (Алгебраическая форма записи комплексного числа). z = (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)·(y, 0). Равенство вида

z = x + iy

называется алгебраической формой записи комплексного числа z.

Замечание. В алгебраической форме свойства Определения 1 весьма очевидны :

z1 + z2 = x1 + iy1 + x2 + iy2 = (x1 + x2) + i(y1 + y2);

z1z2 = (x1 + iy1)·(x2 + iy2) = x1x2 + iy1x2 + ix1y2 + i2y1y2 = (x1x2 − y1y2) + + i(x1y2 + y1x2);

Определение 3 (Модуль и аргумент комплексного числа). Комплексное число можно графически представить в виде вектора, у которого первая координата равна действительной части комплексного числа, а вторая - мнимой (см. рисунок).

p

Модуль комплексного числа, |z| = r = x2 + y2, - длина вектора.

Аргумент: ϕ = arg z, ϕ (−π, π] Im z 6

yz = (x, y)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-

 

 

 

 

 

 

 

0

x

Re z

sin ϕ = y/r;

cos ϕ = x/r;

Arg z = arg z + 2πn, n Z.

Определение 4 (Тригонометрическая форма записи комплексного числа). z = x + iy = r cos ϕ + i r sin ϕ = r(cos ϕ + i sin ϕ)

z = |z|(cos Arg z + i sin Arg z)

1.1. Множество комплексных чисел

5

Определение 5 (Показательная форма записи комплексного числа).

Согласно формуле Эйлера: e= cos ϕ + i sin ϕ, ϕ R; z = |z|(cos Arg z + i sin Arg z) = r e

z = r e, z = |z|ei Arg ϕ

Алгебраической формой записи комплексных чисел удобно пользоваться при их сложении и вычитании, а тригонометрической и показательной - при умножении, делении, возведении в степень и извлечении корня.

Теорема 2 (Свойства операций над комплексными числами в тригонометрической форме). Пусть z1 = r1(cos ϕ1 + i sin ϕ1), z2 = r2(cos ϕ2 + i sin ϕ2), z = r(cos ϕ + i sin ϕ). Тогда справедливы следующие соотношения:

1.z1 z2 = (r1 r2)(cos(ϕ1 + ϕ2) + i sin(ϕ1 + ϕ2))

2.z1 = r1 (cos(ϕ1 − ϕ2) + i sin(ϕ1 − ϕ2)) z2 r2

3.

zn = (rn)(cos(nϕ) + i sin(nϕ))

 

n

 

 

n

 

 

ϕ + 2πk

 

 

 

 

 

 

 

4.

z =

r(cos

 

+ i sin(ϕ1 − ϕ2))

n

 

 

 

Доказательство. Доказательство провести самостоятельно с использованием элементарных формул тригонометрии.

Теорема 3 (Свойства операций над комплексными числами в показательной форме). Пусть z = r e, z1 = r1 e1 , z2 = r2 e2 - комплексные числа. Тогда справедливы следующие соотношения:

1.z1 z2 = (r1 r2)ei(ϕ12)

2.z1 = r1 ei(ϕ1ϕ2)

z2 r2

3.

zn = rn ei n ϕ

 

 

 

 

 

 

 

 

iϕ+2πk

 

4.

z =

ze

, k = 0, 1, ..., (n − 1)

n

 

n

n

 

 

Доказательство. Утверждения теоремы 3 являются перефомулировкой соответствующих утверждений теоремы 2 в показательной форме.

6

Глава 1. Введение в комплексный анализ

Определение 6 (Комплексное сопряжение). Говорят, что число z¯

является комплексно-сопрояженным числу z C, если Re z¯ = Re z, а

Im z¯ = − Im z.

z= x + iy, z¯ = x − iy;

z= r(z = cos ϕ + i sin ϕ, z¯ = cos ϕ − i sin ϕ);

z= r ei ϕ, z¯ = r ei ϕ.

Теорема 4 (Свойства комплексного сопряжения). Пусть z1, z2, z

комплексные числа.

1.(z1 + z2) = z¯1 + z¯2

2.(z1 · z2) = z¯1 · z¯2

3.(zn) = (¯z)n

4.z1 = 1 z2 2

5.z · z¯ = |z|2

6.(¯z) = z

Доказательство. Доказывается непосредственно на основании свойств алгебраической, тригонометрической и показательной форм записи комплексного числа.

Теорема 5 (Свойства модулю комплексного числа). Пусть z1, z2, z

комплексные числа.

1.|z1 + z2| ≤ |z1| + |z2|;

2.|z1 − z2| ≥ |z1| − |z2|;

3.|z1 · z2| = |z1| · |z2|;

4.

z1

 

=

z1

z2

||z2||;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.|z¯| = |z|;

6.|zn| = |z|n.

Теорема 6 (Свойства аргумента комплексного числа). Пусть z1, z2, z

– комплексные числа.

1.1. Множество комплексных чисел

7

1. arg(z1 · z2) = arg z1 + arg z2;

2.

arg

 

z1

 

= arg z1 − arg z2;

 

 

z2

 

3.

arg(zn) = n · arg(z);

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

arg z + 2πk

 

 

 

4.

arg

,

k = 0, . . . , (n

1)

 

n

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

8

Глава 1. Введение в комплексный анализ

1.2Топология множества C

Определение 1 (Комплексная плоскость). Геометрически удобно представлять комплексные числа в виде векторов.

{(x, 0)} – вещественная ось; {(0, y)} – мнимая ось;

{(x, 0)} ∩ {(0, y)} = (0, 0) = 0.

Im z 6

yz = (x, y)

-

0 x Re z

C ↔ R2, C ↔ V – пространство геометрических векторов.

Сумме (разности) комплексных чисел z1 и z2 соответствует сумма (разность) соответствующих векторов. Произведению комплексных чисел соответствует вектор, лежащий под углом ϕ1 2 к вещественной оси, с длиной, равной произведению модулей перемножаемых комплексных чисел. Частному соответствует вектор, лежащий под углом ϕ1 − ϕ2 к вещественной оси, с длиной, равной частному модулей. Комплексному сопряжению соответствует вектор, симметричный z относительно вещественной оси.

1.2. Топология множества C

9

Определение 2 (Метрика на множестве C). Пусть z1, z2 C.

p

Функция d(z1, z2) := |z1−z2| = (x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 называется метрикой.

Замечание. Метрика обладает следующими свойствами:

1.d(z1, z2) = 0 z1 = z2;

2.d(z1, z2) = d(z2, z1);

3.d(z1, z2) ≤ d(z1, z3) + d(z2, z3) – неравенство треугольника.

Определение 3 (Окрестность в C). Пусть c C, ε R, ε > 0. ε- окрестностью точки c называется множество

Uε(c) := {z C | d(z, c) < ε}. UM (∞) := {z C | d(z, 0) > M}.

10

Глава 1. Введение в комплексный анализ

Замечание. Uε(c) и UM (∞) - открытые множества.

Определение 4 (Предел комплексной последовательности). Пусть

задана последовательность {zn} C. c = lim zn : Uε(c) N :

n→∞

n > N zn Uε(c)

Замечание (Свойства пределов комплексных последовательностей).

1. {zn0 } → c0, {zn00} → c00

{zn0 + zn00} → c0 + c00, {zn0 · zn00} → c0 · c00,

zn0 c0 , c00 6= 0.

zn00 c00

2.zn = xn + iyn, c = a + ib.

{zn} → c {xn} → a, {yn} → b.

3.zn = rnen, c = |c|ei arg c,

{zn} → c {rn} → |c|.

4.{rn} → c, {ϕn} → arg c {zn} → c

Определение 5 (Бесконечно удаленная точка).

lim zn = ∞ : UM (∞) N : n > N zn UM (∞).

n→∞

Замечание. Бесконечно удаленная точка - это внешность сколь угодно большого круга на комплексной плоскости. Или бесконечно удаленная точка - это объединение всех точек окружности бесконечно большого радиуса.

Определение 6 (Бесконечно удаленная точка).

lim zn = ∞ : UM (∞) N : n > N zn UM (∞).

n→∞

Определение 7 (Расширенная комплексная плоскость). Множество

C = C {∞} называется расширенной комплексной плоскостью.

Замечание. Склеивая точки окружности сколь угодно большого радиуса или добавляя точку бесконечность к множеству конечных комплексных чисел, мы приходим к пониманию множества комплексных чисел как сферы.