Герасимова И.А. (ред.) - Мысль и искусство аргументации - 2003

Бахтияров К.И. Логика двух- и трехмерная

219

Действительно, попробуйте со стола, где лежат 5 яблок,

взять 7 яблок. Этот пример приводил французский мате­

матик Л. Карно (1753-1823), живший при Наполеоне (и

бывший даже при нем министром внутренних дел). Впро­

чем, это отрицательное число может быть алгебраически представлено упорядоченной парой (5, 7), которая выра­ жает 5 - 7 = -2. Детальный анализ такого подхода и его

важность в преподавании математики дается в книге, по­

священной трудностям школьной реформы в США [4). 3начные числа, то есть числа, взятые со знаком, являют­

ся краткой записью упорядоченных пар. Например, отри­ цательное число -1 =(О; 1), а положительное число+1 = (1; О). Они отличаются как проигрыш со счетом О:1 от выигры­ ша со счетом 1:0 (заметим, что в англоязычных странах за­ писывают счет О - 1 и 1 - О соответственно). Поэтому следу­ ет различать+1 и его модуль - просто 1, на что указывал наш академик А.В. Шубников (1887-1970) [5].

Из геометрии известно также, что уравнение горизон­

тальной оси ОХ:

~ == Z (или у==.О.х ) задается вектором i = (1; О),

1 о 1

а уравнение вертикальной оси ОУ:

~== Z (или у==_!_х ) - вектором j =(О; 1).

о1 о

Ситуация с парадоксами оказывается аналогичной деле­ нию на нуль. Действительно, ведь использование направ­

ляющего вектора вместо углового коэффициента позво­

ляет избежать бесконечных значений ~ для вертикаль­

ных прямых.

Проблема парадоксов свидетельствует о том, как трудно

осознать логическую многомерность. Уже введение отри­ цательных чисел носило парадоксальный характер. Инте­ ресный довод против отрицательных чисел выдвинул

близкий друг Паскаля, французский теолог и математик Антуан Арно (1612-1697), который усомнился в том, что

-1 : 1 = 1 : -1. Как может выполняться такое равенство,

спрашивал он, если -1 меньше, чем 1? Ведь меньшее чис­

ло не может относиться к большему так же, как большее к меньшему. Решению парадокса Арно можно дать на-

220	Раздел 2. Аргументы от непротиворечивости

глядную геометрическую интерпретацию. Первое отно­

шение выражает наклон одного вектора, а второе отноше­

ние - наклон противоположного вектора. Но отождеств­

ление этих векторов неправомерно.

Если вектор имеет координаты Х, У, Z, то он записыва­ ется в виде тройки (Х, У, Z). Трудности введения векторов в XIX веке в электромагнитную теорию Максвелла объяс­ няются необходимостью преодоления психологического

барьера. Немецкий физик Г. Герц (1857-1894) при описа­

нии электрической силы вместо вектора рассматривал лишь разрозненные координаты. Широкому внедрению векторов в научную практику мы во многом обязаны анг­ лийскому физику О. Хевисайду (1850-1925), который любовно называл своего гениального предшественника - «heaven-sent Maxwell» (посланный небом Максвелл) и от­ крыл также ионизационный слой, позволивший итальян­

скому радиотехнику и предпринимателю Дж. Маркони (18 74-193 7) осуществить коротковолновую радиосвязь через Атлантический океан.

Практически волей-неволей (volens-nolens) математики

уже давно оперируют логическими векторами. Именно

они являются основными, фундаментальными в матема­

тике. Алгебраическое неизвестное «Х>~ не могло появиться

в склонной к рационализму солнечной Греции. Это могло

быть сделано только в окутанной туманом мистики древ­ ней Индии. Интересно отметить, что неизвестное «Х» бы­ ло введено в Индии под названием «Йават-тават», что бук­ вально означает «столько-сколько». Введение противоре­ чивого понятия «известное неизвестное» позволило дей­

ствовать с неизвестными как с известными величинами.

Это дало поразительный эффект. При решении задач алге­

браическим методом легко устраняются значительные

трудности, которые приходится преодолевать с помощью

искусственных приемов при решении обычным арифме­ тическим методом. Поэтому в наше время мало кто хочет пользоваться «непротиворечивым неизвестным». Это

«оче-видно» даже первокласснику. Впрочем, привычка

еще не означает понимания сущности.

Простейшая модель - это «дву-единство», двухмерный логический вектор. Пара - это не просто «двое= один+ один». Так, например, вместо формулы заборной арифме-

Бахтияров К.И. Логика двух- и трехмерная

221

тики: «Ваня + Таня =любовь» в векторной алгебре логики получим вектор ПАРОЧКА = (Ваня, Таня), подобно тому

как в математике имеем вектор R = (х, у). Вектор ЧЕТА= (муж, жена) имеет компоненты: женатый мужчина (муж) и замужняя женщина (жена). Вместо независимых элемен­

тов - мужчины и женщины - имеем взаимозависимые ас­

пекты единого вектора («муж и жена - одна сатана»). Понятие логического вектора позволяет преодолеть

плюрализм отдельных, прежде самостоятельных объек­ тов путем перевода их в разряд аспектов (логических ком­

понентов). Это можно уподобить строительству одного не­

боскреба вместо множества отдельных лачуг. Вообще, это характерная черта современной физики. В классической физике волны и частицы были отдельными объектами, а в квантовой физике фотон рассматривается как волна­ частица, имеющая дополнительные - волновой и корпус­ кулярный - аспекты.

Дальнейшее обобщение понятия числа фак•rически озна- чало увеличение логической размерности. Таковы были

комплексные числа, имеющие действительную и мнимую части. Введение мнимых чисел означало обобщение опера­

ции извлечения квадратного корня на случай, когда она

невозможна. Оно связано с именем Дж. :Кардано, который

изобрел карданов вал, хорошо известный автомобилистам.

:Квадратное уравнение х2 = -1 имеет мнимые решения:

х1 = +i, х2= -i. Вполне понятно, что введение мнимых чи­ сел первоначально представляло несравнимо большие трудности, чем введение отрицательных чисел. Немецкий

математик и философ Г.В. Лейбниц (1646-1716) называл их «Чудом анализа, уродом из мира идей, двойственной сущностью, находящейся между бытием и небытием».

Именно логическая многомерность является причиной

поразительной эффективности математики. Введе­

ние отрицательных и мнимых чисел является ярким при­

мером того, что парадокс не разрешается при помощи за­

претов и ограничений. При решении практических вопро­ сов математики были вынуждены прибегать к помощи ло­

гических векторов.

Парадоксы. Попытки свести логический вектор к одно­ му из его компонентов приводят к конфузу («:Кто был ни-

222	Раздел 2. Аргументы от непротиворечивости

чем, так ничем и остался»). Например, попытайтесь отве­

тить на вопрос: «Каково истинное поясное время на полю­

се?» Там поясное время описывается набором векторов, учитывающим все направления. В двух диаметрально

противоположных направлениях возможны две прямо

противоположные ситуации:

~ы	В европейском	В американском
	направлении
я		направлении
1-е	День	Ночь
2-е	Ночь	День

Выделение аспектов единого объекта является обыч­

ным практическим решением в сложных логических си­

туациях. Например на Курском вокзале различают кур­

ское и горьковское направления.

Переход от отдельных элементов к векторам можно об­

разно сравнить с переходом от звания майора к генерал­ майору. Это качественный скачок в другую «октаву». Лучшим символом подобной ситуации является двуликий Янус. И это относится не только к богам. О Френсисе Дрей­ ке, который был известным пиратом и адмиралом англий­

ского флота, говорят, что просто это был сложный человек в сложное время. О нем можно было бы сказать - «свой среди чужих, чужой среди своих».

Сложная ситуация, описываемая парадоксом, может быть представлена парой противоположных векторов. В известном парадоксе Рассела полковой брадобрей дол­ жен брить только тех, кто не бреется сам. Тогда, как же ему брить самого себя? Возможны две версии:

либо брадобрей бреет себя (частным образом) и не бреет себя (официально);

либо напротив: не бреет себя (частным образом) и

бреет себя (официально).

Двуликий любитель-профессионал подобен древнерим­

скому богу Янусу, который смотрит в разные стороны, но

сердце у него одно.

Бахтияров К.И. Логика двух- и трехмерная		223

о

D

6

Итак, брадобрей существует. Более того, существует «квадратный круг», используемый философами как сино­

ним невозможного. Его даже проще представить себе, чем универсальную пробку («КО всем бочкам затычка»). На­ помним, что три ее проекции стали эмблемой популярных

(во всех смыслах) книг М. Гарднера по математике (см., например [4]).

Решение загадки дает эпюр французского математика и инженера Г. Монжа, (1746-1818), который окончил Высшую политехническую школу и был в России в соста­

ве наполеоновских войск. «Квадратный круг» - это вер­ тикальный цилиндр. Действительно, его горизонтальной проекцией является круг, а вертикальной проекцией -

квадрат.

Слово «цилиндр» звучит непротиворечиво. Но парадок­ сально название эллиптического параболоида, форму ко­

торого имеет зеркало прожектора, создающего параллель­

ный световой пучок. Именно его А. Толстой ошибочно на­ звал гиперболоидом (инженера Гарина). Кстати, мы ука­

зали фамилию	писателя с именем, чтобы не путали
с Л. Толстым.	Впрочем, необходимо и отчество -

А.И. Толстой (есть опасность спутать с графом А.К. Тол­ стым). Ф.И.О. - это трехмерный вектор (Ф, И, О).

Идея логической многомерности, выдвинутая автором

под названием многоаспектность, является ключом

к моделированию творческого мышления. Блеск возника­

ет при рассмотрении в стереоскоп пары из черного и бело-

224	Раздел 2. Аргументы от непротиворечивости

го. Каждый может сам проделать маленький опыт. Слегка скосив глаза, совместите внутренний черный квадрат с бе­

лым и тогда... он заблестит и поднимется, восстав «кры­ шей» усеченной пирамиды.

Чудо - это просто! Читателям я посоветую попробовать

получить удовольствие от рассматривания стерео­

грамм [7]. Проще, конечно, испытать эффект стереозву­

ка, создаваемого двумя акустическими колонками, -

ведь недаром уши смотрят в противоположные стороны.

Парадоксы возникают, когда пытаются отделаться од­ носложным ответом на сложный вопрос. Все новое воспри­

нимается как «бред» (парадокс), а потом как «очевид­ ность» (разрешение парадокса). Так, первоначальное не­ приятие неевклидовой геометрии объяснялось тем, что

парадоксальные результаты не укладывались в одномер­

ную логику, - блеск ума непостижим для автора плоских шуток (подобно тому как одноглазому не объяснить, что

пара из черного и белого дает стереоэффект блеска). Рус­ ский писатель Н.Г. Чернышевский (1828-1889) из сибир­ ской ссылки писал сыну: «Перестань заниматься неевкли­ довой геометрией! Математики я не знаю, но знаю доста­ точно, чтобы утверждать, что это - ерунда». Признанный король математиков немец К. Гаусс (1777-1855) не опуб­ ликовал свои труды по неевклидовой геометрии, ибо, по собственному признанию, «боялся криков беотийцев>} (си­

ноним самых тупых в Древней Греции). Эта участь постиг­

ла русского математика Н.И. Лобачевского (1792-1856).

Анонимный рецензент издевался даже над названием

книги: «Его Геометрия отлична от употребительной,

которой мы все учились... и есть только воображаемая. Да, теперь все очень понятно. Чего не может представить

воображение особливо живое и вместе уродливое? Почему не вообразить, например, черное белым, круглое четыре­

хугольным, сумму всех углов в прямолинейном треуголь-

Бахтияров К.И. Логика двух- и трехмерная

225

нике меньше двух прямых? Очень, очень можно, хотя для

разума все это и непонятно>) (курсив мой.-К.Б.) [8]. Блеск ума оказался непостижим для рецензента, и ответа Лобачевского редакция не напечатала. Впрочем, до нас до­

шел его сдержанный, полный достоинства ответ, опубли­

кованный его родным университетом вместе с текстом ме­ муара «Воображаемая геометрия>): «Рецензент основал

свой отзыв на том только, что моей Теории не понял и по­

читает ее ошибочной... >) Через 7 лет (в 1842 г.) Лобачев­ ский был избран чл.-корр. Геттингенского ученого обще­

ства по представлению Гаусса.

Фигуральное выражение «блеск остроумия•), означа­

ющее совмещение несовместимого, намекает на эффект

стереоблеска. В языке много блестящих, противоречи­ вых выражений. Таковы многие идеоматические выраже­

ния: как-никак, была не была, видимо-невидимо, волей-не­ волей, сам не свой. А «круглый квадрат•) стал даже сино­ нимом невозможного события: «Круглый квадрат нельзя даже помыслить (если не верите - попробуйте!)>) [7]. По­ добно этому выражение «без вины виноватые>) парадок­

сально, но парадокс разрешается, когда «невиновный•)

(де-факто) и «виноватый>) (де-юре) разводятся в разные

логические проекции (аспекты). Заметим, что несоответ­

ствие аспектов для миллионов советских граждан было ус­ транено только после реабилитации.

Наглядным примером парадоксального объекта может

служить двойной словарь, включающий русско-англий­ ский и англо-русский словари, помещенные под одной об­ ложкой. Если двойной словарь - русский, то он англий­ ский; а если он английский, то он русский. Сжатым обра­

зом парадоксальной ситуацией может служить ситуация

на перекрестке:

если движение есть (вдоль), то его нет (поперек); а если движения нет (вдоль), то оно есть (поперек).

Опустив указания на направления (в скобках), получа­

ем парадокс.

Вот уж действительно: иная простота хуже воровства!

Более того, с точки зрения классической логики угловой

дом вообще не должен существовать. Ведь дом 1/2 (по Про-

226	Раздел 2. Аргументы от непротиворечивости

дольной улице) будет одновременно домом 2/1 (по Попе­ речной улице).

Привычное обозначение - дом 1/2 - приобрело у нас

силу предрассудка, но ведь оно обозначает не полдома,

а логический вектор (1; 2).

Поперечная ул.

l/2

Продольная ул.

Парадоксы являются лучшей мотивацией к изуче­ нию логики как науки правильно мыслить. Интерес к ее

практическому применению возрастает, но авторы распи­

сываются в бессилии, когда дело доходит до парадоксов. «Тупиковая ситуация создается самим этим умом: он, так

сказать, оступается на ровном месте и попадает в свои же

собственные сети• [10].

Многомерность истины. Поэт И. Бродский (1940-1996)

пришел к выводу о том, что наука о правде и лжи жизни

полезнее школьной алгебры [2]. По нашему мнению, следует подчеркивать не их внешнее различие, а глубокое

внутреннее сходство.

То, что простое высказывание не может адекватно опи­

сывать сложные логические ситуации, было давно показа­ но самим фактом существования парадоксов. Когда целью спора является не поиск истины, а победа, то зачастую ис­ пользуются приемы, известные еще софистам Древней Греции. В качестве примера приведем известный софизм. По рассказу древнегреческого философа Аристотеля (1 в.

до н.э.), одна афинянка внушала сыну: «Не вмешивайся в общественные дела, потому что, если ты будешь говорить

правду - тебя возненавидят люди; если же будешь гово­ рить неправдутебя возненавидят боги•. Это - софизм,

ибо он основан на произвольной подборке выгодных для данного совета суждений. С таким же успехом можно «обосновать• и противоположный совет о пользе занятия общественными делами.

Бахтияров К.И. Логика двух- и трехмерная

227

Все возможные ситуации описываются таблицей:

	~1я	Боги	Люди
	1) «За правду»	Любят	Не любят
	2) «За неправду»	Не любят	Любят

Софизм возникает, если опустить невыгодную для дан­ ного тезиса информацию. Оружием софистов всегда было

утаивание, полуправда.

В нашей жизни нам постоянно приходилось сталки­ ваться не только с одномерной (явной) ложью, рассматри­ ваемой в классической логике, но и с двухмерной ло­ жью - ложью, подло замаскированной под истину. Ее

обычно называют нейтральным термином дезинфор­

мация. Это - логический вектор: КЛЕВЕТА= (ложь,

злой умысел). В этом «дву-единстве» истинностная ква­ лификация совмещена с отчетливо выраженной интенци­ ей. На уровне человеческого общества ложь обретает новое

измерение.

Наиболее коварным врагом истины является полуправ­ да. Это против нее направлена известная юридическая формула: «Говорить всю правду и только правду». Дез­

информация всегда творилась под покровом секретности.

Казалось бы, с появлением детектора лжи отпадает необ­ ходимость в логике, ибо решаются все проблемы с распоз­ наванием лжи. Однако все далеко не так просто. В учебни­ ках по аномальной психологии приводится следующее

происшествие. Врачи в американской психиатрической клинике собирались выписать шизофреника, предвари­

тельно проверив его на детекторе лжи. Пациенту был за­ дан вопрос: «Вы Наполеон?» Пациент ответил отрица­

тельно. Детектор показал, что он лжет.

Следует подчеркнуть недопустимость полуправды, ибо

она порождает полусовесть. В империи лжи у миллионов

жертв политических репрессий были засекречены время, место и сам факт расстрела. Рептильный комплекс в чело-

228	Раздел 2. Аргументы от непротиворечивости

веческом мозге, доставшийся нам от ящеров, все еще вы­

полняет функции динозавра. Ведь даже процесс препода­ вания носит директивный характер, «Предельно ритуали­

зирован, то есть основан на почти рептильном следовании

раз и навсегда установленным порядкам». Особенно опас­ на зашоренность казарменного ума. Суть дела здесь в же­ сткой специализации, которая в конце концов неизбежно

приводит к надлому из-за своей фатальной закостенелос­ ти. Ярким примером подобной «задержанной цивилиза­

ции», согласно английскому историку и социологу

А. Тойнби (1889-1975), явилась Спарта, которая «дорого

заплатила за то, что она избрала особый путь развития,

а два века спустя застыла с оружием на изготовку, словно

на параде, тогда как другие эллинские города продолжали

динамично развиваться... » [10].

Многомерность познания является типично человечес­ кой чертой. По-видимому, в ней секрет любого творческо­

го начала. Парадоксы - это не тупик, а свет в конце тун­ неля! Новое мышление в условиях взаимосвязанного мира (а не отдельных, изолированных стран) становится наск­ возь неклассическим. Проигрыш одной стороны в ядерной войне не означает выигрыша другой стороны.

ЛИТЕРАТУРА

1.Бахтияров К.И. В сетях парадоксов: поиски выхода (методологиче­ ский аспект)// Общественные науки и современность. 1997. No 3.

2.Бродский И. Меньше чем единица// Форма времени. Т. 2. Минск,

1992.

3.Брюшинкин В.Н. Практический курс логики для гуманитариев.

м., 1994.

4.ГарднерМ. Математические досуги. М., 1972.

5.ДелёзЖ. Логикасмысла. М., 1995.

6.ДикманД. Скрытое измерение. М., 1995.

7.Ивин АА. Практическая логика: Задачи и упражнения. М., 1996.

8.Ливанова А. Три судьбы. М., 1969.

9.Тимофеев-Ресовский Н. Воспоминания. М., 1995.

10.ТойнбиАДж. Постижение истории. М., 1996.

11.Шубников А.В. О равноправии положительных и отрицательных чисел// Вопросы философии. 1966. No 6.

12.Кline М. WhyJohnny Can'tAdd: The Failure of the New Math. N.Y.,

1973.