Министерство образования и науки Российской Федерации

ФГБОУ ВПО «МАТИ – Российский государственный технологический университет имени К.Э. Циолковского" (МАТИ)

Кафедра “Прикладная матемаика, информационные

технологии и электротехника”

Курсовая работа по модулю 1 "Электротехника"

базовой дисциплины для вузов "Электротехника и электроника"

на тему:

Анализ и расчёт электрических цепей

1МТМ-2ДБ-035

Прокопенко Д.А. КР6-25

Выполнил: "___" _______2017г.

Сдано преподавателю на проверку "___" июня 2017г.

Проверила: Орешина М.Н. (____________) "___" _______ 2017г.

Москва 2017

1.1. Составить систему расчетных уравнений для определения токов в ветвях схемы, используя оба закона Кирхгофа непосредственно (метод законов Кирхгофа);

1.1.1 На рис. 1 приведена исходная Рис. 1

схем замещения цепи постоянного

тока, параметры которой заданы

E₅=50 В

E₆=100 В

R₁=16 Ω

R₂=12 Ω

R₃=20 Ω

R₄=8 Ω

R₅=10 Ω

R₆=15 Ω

1.1.2. Преобразуем схему к удобному виду и произвольно зададим положительные направления токов в ветвях схемы (рис.2).

1.1.3.Составляем часть уравнений расчетной системы, используя только первый закон Кирхгофа. Выбираем q-1 узлов на схеме (данная схема содержит q=4 узла, которые отмечены арабскими цифрами) и для каждого из них составляем уравнение по первому закону Кирхгофа

(узел 1) I₃-I₅-I₆=0

(узел 2) I₅-I₂-I₄=0

(узел 3)I₆+I₄+I₁=0

1.1.4.1. Всего необходимо составить p уравнений в расчетной системе (p - число неизвестных токов, равное числу ветвей на схеме). Поэтому число уравнений, которое необходимо составить, используя второй закон Кирхгофа, равно p-(q-1) (для данной схемы p=6 и p-(q-1)=3).

1.1.4.2. Выбираем p-(q-1) независимых контуров на схеме, в каждом из них произвольно задаем направление обхода контура (отмечено круглыми стрелками на рис.2).

1.1.4.3. Для каждого из выбранных контуров составляем уравнение, используя второй закон Кирхгофа, а также закон Ома (U=IR)

(контур I). I₃R₃+I₅R₅+I₂R₂=-E₅

(контур II). -I₄R₄-I₅R₅+I₆R₆=E₅-E₆

(контур III). I₂R₂+I₁R₁-I₄R₄=0

1.1.5. Полученные уравнения объединяем в систему, которую упорядочиваем и подставляем известные параметры

0+0+I₃+0-I₅-I₆=0

0-I₂+0-I₄+I₅+0=0

I₁+0+0+I₄+0+I₆=0

0+12I₂+20I₃+0+10I₅+0=-50

0+0+0-8I₄-10I₅+15I₆=-50

16I₁+12I₂+0-8I₄+0+0=0

Найдём с помощью калькулятора матриц значения токов

I₁= I₂=I₃= I₄=I₅=

I₆=

Первый пункт задания 1.1. выполнен.

1.2.Рассчитать токи в ветвях схемы, используя метод контурных токов

1.2.1. Используя эквивалентно преобразованную схему (рис.2), произвольно задаем положительное направление реальных токов в каждой ветви схемы (рис.3) (в данном примере они оставлены без изменения).

1.2.2. Выбираем p-(q-1)=3 независимых контуров на схеме, в каждом из них произвольно задаем направление контурного тока I_K1,I_K2,I_K3(отмечено круглыми стрелками на рис.3).

1.2.3. Составим систему уравнений для контуров, в каждом из которых алгебраическая сумма ЭДС (контурная ЭДС) равна произведению контуроного тока данной ячейки на сумму всех

Рис. 3

сопротивлений ячейки, минус произведения контурных токов соседних ячееек на оответствующие сопротивления общих ветвей.

(К1):-E₅=(R₂+R₃+R₅)I_К1-R₅I_К2-R₂I_K3

(К2):E₅-E₆=(R₄+R₅+R₆)I_K2-R₄I_K3-R₅I_K1

(К3):0=(R₁+R₂+R₄)I_K3-R₂I_K1-R₄I_K2

1.2.4. После подстановки числовых значений имеем

-50=42I_K1-10I_K2-12I_K3

-50=-10I_K1+33I_K2-8I_K3

0=-12I_K1-8I_K2+36I_K3

1.2.5. Решив эту систему, найдём контурные токи:

I_K1=-2,14 A, I_K2=-2,47 A, I_K3=-1,26 A.

1.2.6. Токи ветвей определим, руководствуясь выбранными направлениями токов ветвей и правилами:

а)токи наружных (не имеющих соседних контуров) ветвей равны соответствующим контурным токам;

б)токи ветвей равны разности контурных токов соседних контуров ячеек:

I₁=I_K3=-1,26 A,

I₃=I_K1=-2,14 A,

I₆=I_K2=-2,47 A,

I₂=I_K1-I_K3=-2,14-(-1,26)=-0,88

I₄=I_K3I_K2=-1,26-(-2,47)=1,21

I₅=I_K1- I_K2=-2,14-(-2,47)=0,33

Второй пункт задания выполнен.

1.3.Проверить правильность расчета, определив токи методом двух узлов (методом узлового напряжения)

Рассматриваемая схема замещения содержит четыре узла, поэтому к заданной схеме метод двух узлов непосредственно не применим.

1.3.1. Используя эквивалентное преобразование участка схемы R₂, R₄, R₁соединенного по схеме «треугольник», в участок R₇, R₈, R₉, соединенный по схеме «звезда» (отмечен на рис. 4 пунктиром), приводим начальную схему к схеме, содержащей два узла (рис.5).

Рис. 4 Рис. 5

Эквивалентно объединяя последовательно соединенные R-элементы в каждой ветви, получаем исходную схему для расчета методом двух узлов (рис. 6).

Рис. 6

При этом R₃₇=R₃+R₇=20+5.3=25.3333Ω, R₆₉=R₆+R₉=15+3.5555=18.5555Ω

1.3.2. Произвольно задаем положительное направление токов в ветвях схемы и положительное направление узлового напряжения U₅₁(рис. 6)

1.3.3. Рассчитываем проводимости ветвей схемы

.

1.3.4. Используя основную формулу метода, определяем узловое напряжение

.

Знак слагаемых числителя определяется несовпадением(+) или совпадением

(–) положительного направления и положительного направления ЭДС рассматриваемой ветви.

1.3.5. Рассчитываем неизвестные токи в ветвях, используя обобщенный закон Ома

I₃₇=-U₅₁G₃₇=-(-54.1676)*0.03947=2.1379 A,

I₅₈=(U₅₁+E₅)G₈₅=(-54.1676+50)*0.07964=0.33 A,

I₆₉=(U₅₁+E₆)G₆₉=(-54.1676+100)*0.5389=2.4699 A.

Проанализируем результаты расчета. На рис. 5 в каждой ветви источник ЭДС и -элементы соединены последовательно. Поэтому токи в этих ветвях равны рассчитанным. Однако участки схемы в окрестности источников не были охвачены преобразованием. Следовательно, в соответствии с условием эквивалентности преобразования участков схем величина этих токов должна остаться такой же, как и до преобразования. Сравниваем по модулю значения токов, рассчитанных настоящим методом и методом контурных токов

Видно, что значения токов практически совпадают. Следовательно, оба расчета проведены корректно. Третий пункт задания выполнен.

1.4.Определить ток, протекающий через R₂, методом эквивалентного генератора;

1. Разрываем шестую ветвь (рис. 7)

Рис.7. Рис. 8.

и произвольно задаем положительное направление токов в остальных ветвях, положительное направление напряжения холостого хода и напряжениямежду узлами 1 и 3 (рис. 8)

2. Определяем величину . Для этого предварительно рассчитываемметодом двух узлов.

.

Используя основную формулу метода, определяем узловое напряжение

.

Рассчитываем токи и, используя обобщенный закон Ома

Для контура, включающего , составляем уравнение по второму закону Кирхгофа (направление обхода контура указано круглой стрелкой) и рассчитываем

,

.

3. Определяем входное сопротивление схемы со стороны зажимов разомкнутой ветви . Для этого эквивалентно преобразуем участок схемы, соединенный звездой, в участок, соединенный треугольником.

Преобразованная схема будет иметь вид (рис. 10)

Рис. 9. Рис. 10.

.

Используя свойства параллельного последовательного соединения - элементов, определяем

;

.

4. Определяем искомый ток, используя закон Ома для замкнутой цепи

.

Аналогичный ток, рассчитанный методом контурных токов, составляет

.

Они практически совпадают. Расчет проведен верно. Четвертый пункт задания выполнен.