4 Колебания и волны
Тест 4 – 1
Материальная точка совершает гармонические колебания с амплитудой А =4 см и периодом Т=2 с. Если смещение точки в момент времени, принятый за начальный, равно нулю, то точка колеблется (в соответствии с уравнением СИ)...
Варианты ответов:
-
х = 0,04∙sin (2t) ; 2) х = 0,04∙cos (2t);
-
x = 0,04∙sin(π t); 4) x = 0,04∙cos (π t).
Решение.
Уравнение гармонических колебаний имеет вид: x = A∙sin (ω 0 t + α) или x = A∙ cos (ω 0 t + α), где A – амплитуда, α – начальная фаза, ω 0 – частота собственных колебаний, которая связана с периодом: ω 0 = 2π/Т. По условию задачи: А = 0.04 м, α = 0, ω 0 = 2π/2 = π , x(0)=0. Начальному условию удовлетворяет формула 3.
Ответ: вариант 3.
Тест 4 – 2
Складываются два гармонических колебания одного направления с одинаковыми периодами и равными амплитудами А0. При разности
фаз ∆φ = 3π/2 амплитуда результирующего колебания равна...
Варианты ответов:
1) 5 А0 /2; 2) А0; 3) 2 А0; 4) 0.
Решение.
Для того чтобы сложить два колебания одинаковой частоты (или периода) и одинакового направления, нужно воспользоваться методом векторных диаграмм. Нужно представить каждое колебание в виде вектора, длина которого равна амплитуде, а угол наклона к оси абсцисс равен начальной фазе. Тогда для нахождения результирующей амплитуды нужно применить теорему косинусов:
А2 = А12 + А22 + 2∙А1∙А2∙cos ∆φ, где ∆φ - разность фаз . На рисунке показана векторная диаграмма, соответствующая условию теста 4 – 2. В нашем примере векторы А 1и А 2 имеют одинаковую длину, т.к. их амплитуды одинаковы: А 1= А 2=А0 , а угол между векторами А 1 и А 2 равен разности фаз: ∆φ = 3π/2 = - π/2. Применим теорему косинусов для нахождения результирующей амплитуды: А2 = А02 + А02 + 2∙А0∙А0∙cos(-π/2). Так как cos(-π/2)=0, то А2 = А02 + А02 и результирующая амплитуда, найденная по теореме Пифагора, будет равна: А = А 0 . Ответ: вариант 2.
Тест 4 – 3
Складываются два гармонических колебания одного направления с одинаковыми периодами. Результирующее колебание имеет максимальную амплитуду при разности фаз, равной … Варианты ответов: 1) 0; 2) π; 3) π /4 ; 4) π /2 .
Решение.
При сложении гармонических колебаний одинакового направления нужно воспользоваться методом векторных диаграмм, а именно, каждое колебание представить в виде вектора. Если эти вектора имеют одинаковое направление, т.е. разность фаз равна нулю, то их амплитуды складываются и результирующая амплитуда будет максимальной.
Ответ: вариант 1.
.
Тест 4 – 4
Уравнение движения пружинного маятника
d2x/dt2 + (b/m)∙dx/dt + (k/m)·x = 0
является дифференциальным уравнением ...
Варианты ответов: 1) вынужденных колебаний;
2) свободных затухающих колебаний;
3) свободных незатухающих колебаний.
Решение.
Проанализируем варианты ответов.
Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний имеет вид:
d2x/dt2 + 2β·(dx/dt) +ω02x = F/m,
где β – коэффициент затухания, ω0 – частота собственных колебаний. Это уравнение является неоднородным, т.е. правая часть уравнения не равна нулю и содержит слагаемое, связанное с вынуждающей силой.
Так как в заданном уравнении правая часть равна нулю, то рассматриваемое уравнение является однородным. Следовательно, оно представляет собой уравнение свободных колебаний. В дифференциальном уравнении свободных затухающих колебаний должно присутствовать слагаемое, содержащее первую производную от смещения по времени, связанное с наличием силы трения. Такое слагаемое есть в этом уравнении. Поэтому, рассматриваемое уравнение является дифференциальным уравнением свободных затухающих колебаний. Ответ: вариант 2.
Тест 4 – 5
На рисунках изображены зависимости от времени координаты и ускорения материальной точки, колеблющейся по гармоническому закону.
Циклическая частота ω0 колебаний точки равна:
Варианты ответов: 1) 1с-1; 2) 2с-1; 3) 4с-1; 4) 3с-1.
Решение.
Пусть уравнение гармонических колебаний имеет вид: x = A cos (ω 0t + α 0). Тогда найдем ускорение как вторую производную от смещения по времени:
а = - A ω 0 2 cos (ω 0t + α 0). Из сопоставления этих формул, получим: а = - ω 0 2 ·х. Из графиков для одного и того же момента времени t найдём х и а. Например, для t = 0.8 с х = 1 м, а = - 4 .0 м/с 2. Подставим эти числа в последнюю формулу и найдём ω 0 2 = 4. Отсюда ω 0=2 с -1. Ответ: вариант 2.
Тест 4 – 6
На рисунке изображен график затухающих колебаний, где S -колеблющаяся величина, описываемая уравнением:
S(t) = Ao e-t/τ sin(ω1t+ φ). Определите время релаксации τ (в с).
Варианты ответов:
1) 3; 2) 1; 3) 2; 4) 0,5.
Решение.
Временем релаксации называется время, в течение которого амплитуда уменьшается в е раз. Число е равно: е = 2.7…. Из рисунка видно, что в момент времени t 1 = 0 амплитуда равна А1 = 2.7,а в момент времени t2 = 2 с амплитуда А2 = 1. Следовательно, время релаксации τ = t2 - t 1 = 2-0 =2 с, т.к. за это время амплитуда уменьшилась А1/ А2 = 2.7 = е раз.
Ответ: вариант 3.
Тест 4 – 7
Уменьшение амплитуды колебаний в системе с затуханием характеризуется временем релаксации. Если при неизменном коэффициенте трения среды увеличить в 2 раза массу грузика на пружине, то время релаксации…
Варианты ответов: 1) увеличится в 2 раза; 2) уменьшится в 4 раза;