Лекция 3. Гидрологические основы гидроэнергетики.

3.1 Теория вероятностей и математическая статистика в гидрологии.

Предположим, что изучается некоторая дискретная или непрерывная случайная величина, закон распределения которой неизвестен. Для оценки закона распределения этой случайной величины или его числовых характеристик производится ряд независимых измерений x1,x2,..., х_п..Статистический материал, полученный в результате измерений, представляют в виде таблицы, состоящей из двух строк, в первой из которых даны номера измерений, а во второй — результаты измерений.

Таблицу указанного вида называют простым статистическим рядом. Он представляет собой первичную форму представления статистического материала.

i – номер измерения	1	2	3	…	n
Xi – результат измерения	X1	X2	X3	…	Xn

Статистический материал в виде простого статистического ряда при большом числе измерений трудно обозрим, по нему практически невозможно оценить закон распределения исследуемой случайной величины X. Поэтому для визуальной оценки закона распределения исследуемой СВ X производят группировку данных. Если изучается дискретная случайная величина, то наблюденные значения располагаются в порядке возрастания и подсчитываются частоты m_i или частости mi/n— появления одинаковых значении случайной величины X /

Если изучается непрерывная случайная величина, то группировка заключается в разбиении интервала наблюденных значений случайной величины на k частичных интервалов равной длины [х₀; x₁), [х₁; x₂), [х₂; x₃), ... [х_k-1; x_k] и подсчете частоты m_i,_: или частости mi/n попадания наблюденных значений в частичные интервалы. Количество интервалов выбирается произвольно, обычно не меньше 5 и не больше 15.

Примечание. Для выбора оптимальной длины интервалов, т. е. такой длины частичных интервалов, при которой статистический ряд не будет очень громоздким и в нем не исчезнут особенности исследуемой случайной величины, можно рекомендовать формулу

.

Закон распределения случайной величины Х

Определение: Перечень наблюденных значений случайной величины X (или интервалов наблюденных значений) и соответствующих им частостей m_i/n называется статистическим законом распределения случайной величины X.

Интервалы наблюденных значений Х				…
Частости				…

Заметим, что в теории вероятностей под законом распределения случайной величины понимают соответствие между возможными значениями (или интервалами возможных значений случайной величины) и их вероятностями, а в математической статистике статистический закон распределения устанавливает соответствие между наблюденными значениями (или интервалами наблюденных значений) случайной величины и соответствующими им частостями.

Статистические законы распределения случайных величин и их графическое изображение позволяют визуально произвести оценку закона распределения исследуемой случайной величины.

Опыт с монетой

Частота и вероятность. Рассмотрим такой простой опыт, как бросание монеты. Он имеет два взаимно исключающих друг друга исхода: выпадение “герба” и выпадение “решетки”. Обозначим эти исходы русскими буквами Г и Р соответственно. Наблюдатель не может проанализировать и учесть те многочисленные факторы, которые влияют на результат рассматриваемого опыта: исход бросания монеты случаен, и заранее нельзя с уверенностью сказать, выпадет ли Г или Р. Но, несмотря на случайность исхода в каждом отдельном испытании, при многократном повторении опыта можно наблюдать замечательную закономерность. Именно, при n-кратном бросании монеты число выпадений “герба” n(Г) таково, что отношение n(Г)/n приблизительно равно 1/2. Ниже в табл. 1 приведены результаты такой серии испытаний, когда монета подбрасывалась в общей сложности 10 000 раз. При этом отдельно рассматривались серии по п •= 100 испытаний и в каждой серии регистрировалось соответствующее количество п (Г) выпадений “герба”.

Указанное число Р(Г)=1/2 является вероятностью выпадения “герба” в каждом отдельном испытании. Определить эту вероятность можно было бы и без длинной серии испытаний, основываясь на том, что по отношению к условиям опыта исходы Г и Р равнозначны, другими словами, они являются равновероятными: Р(Г)= Р(Р)= 1/2.

Что такое вероятность? Какой смысл вкладывается в это понятие?

Накопленные практикой многочисленные наблюдения позволяют следующим образом охарактеризовать вероятность. Предположим, что рассматривается некоторый опыт или явление, в котором в зависимости от случая происходит или не происходит интересующее наблюдателя событие А. Предположим, что условия опыта (условия, при которых происходит рассматриваемое явление) могут быть воспроизведены многократно, так что в принципе осуществима целая серия одинаковых и независимых друг от друга испытаний, в каждом из которых в зависимости от случая происходит или не происходит событие А. Обозначим буквой п число всех опытов в такой серии испытаний, и пусть п (А) — число тех испытаний, которые привели к наступлению события А. Отношение п(А)/п называется частотой события А в данной серии опытов. Как показывает практика, при больших п частоты п(А)/п в различных сериях испытаний оказываются приблизительно одинаковыми. Существует некоторое значение Р(А), называемое вероятностью события А, около которого группируются указанные частоты п(А)/п:

. В случае, когда рассматриваемый опыт имеет равновероятные исходы, вероятность Р(А) события А, связанного с этим опытом, может быть вычислена по следующей простой формуле:

Число выпадения гербов n(Г) в сериях по n=100 испытаний

Общее число гербов в серии из 10000 испытаний 4979.

Таким образом, вероятность – это теоретическое значение, которое иногда может быть известно точно, если характер процесса известен, как в случае равновероятных событий – выпадения гербов или решки у монеты. При попытке получить это значение эмпирически, мы сталкиваемся с ошибкой его определения и видим, что ошибка его определения тем больше, чем короче ряд наблюдений. Таким образом, аппарат математической статистики прилично работает, если выборка – статистический ряд достаточно представителен, или репрезентативен. В общем случае репрезентативная выборка – это такой ряд, добавление членов к которому не сказывается на статистических характеристиках ряда.