Лаба№3 ЛЛт разложение

ФГБОУ ВПО Национальный исследовательский университет

«Московский Энергетический институт»

Институт автоматики и вычислительной техники

Кафедра математического моделирования

Лабораторная работа №3

РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ПРЯМЫМИ МЕТОДАМИ. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ

Вариант 22

Задача 3.2

Выполнил: студент группы ТФ-12-16

Лукоянов Е.Э.

Проверил: Амосова О.А.

Москва 2017

Постановка задачи

Решить систему Ax=b с матрицей A и вектором b методом -разложения.

Элементы матрицывычисляются по формулам:

, где - порядок матрицы, — параметр, указанный в индивидуальном варианте.

Вектор правой части взять с компонентами , , где N – номер варианта, c-параметр. N=22, m=24, c=6.1

Необходимый теоретический материал

Если матрица системы является симметричной и положительно определенной, то для решения системы применяют метод -разложения . В основе метода лежит алгоритм специального LU-разложения матрицы A, в результате чего она приводится к виду A=. Если разложение получено, то как и в методе LU-разложения, решение системы сводится к последовательному решению двух систем с треугольными матрицами: и   Для нахождения коэффициентов матрицы L неизвестные коэффициенты матрицы приравнивают соответствующим элементам матрицы A. Затем последовательно находят требуемые коэффициенты по формулам:

, i = 2, 3, ..., m,

, i = 3, 4, ..., m,

     i = k+1, .., m.

Результаты вычислительного процесса

Полученная матрица А и вектор b имеют вид:

Результаты вычислительного процесса

Анализ полученных результатов

С помощью встроенной функции lsolve, найдем решение системы и сравним с результатами вычислительной работы.

Тексты программ

Программа для вычисления матрицы в зависимости от размера m и заданного параметра c.

Программа для вычисления решения системы с помощью -разложения

Вывод:

В процессе работы была разработана программа для вычисления системы уравнений с помощью метода -разложения. При анализе результатов вычислительного процесса была обнаружена погрешность, но она является достаточно малой, чтобы утверждать, что программа работает неверно. Также в ходе работы было выяснено, что хоть метод -разложения и имеет ряд сходств с методом LU-разложения, можно видеть и отличия между двумя этими методами. Так, например, не осуществляется выбор ведущего элемента. Также вместо двух матриц L и U мы получаем в результате только одну матрицу, умножаемую на саму себя (из-за чего это разложение иногда называют квадратным корнем матрицы). Оба этих свойства стали возможны за счет положительной определенности и симметричности матрицы. Ещё полезными свойствами данного разложения является то, что оно требует примерно в два раза меньше операций, чем LU-разложение и является гарантированно устойчивым.