Лабораторная работа №1
Упражнение 1.
Вычислить неопределённые интегралы:
а) б)
>> syms x
>> f=sym('x*sin(5*x)')
>> I=int(f,x)
I = sin(5*x)/25 - (x*cos(5*x))/5
>> f=sym('1/((x^2+1)*(x-2)^2)')
>> I=int(f,x)
I = log(x + i)*((3*i)/50 + 2/25) - (4*log(x - 2))/25 - 1/(5*(x - 2)) + log(x - i)*(2/25 - (3*i)/50)
Упражнение 2.
Вычислить определённые интегралы в символьном виде:
а) ; б)
>> f=sym('sqrt(1-x^2)')
>> I=int(f,x, -1, 1)
I = pi/2
>> f=sym('x*exp(3*x)')
>> I=int(f,x, 0, 1)
I = (2*exp(3))/9 + 1/9
Упражнение 3.
Создать М-функции, вычисляющие значения интегральных сумм на отрезке при равномерном разбиении его на отрезков и выбором точек на:
а) левых концах отрезков разбиения;
б) правых концах отрезков разбиения.
Проверить работу М-функций, сопоставив результат выполнения программы и результат, полученный вручную, для интегральных сумм функции на отрезке при разбиении его на четыре равных части.
% f, a, b, n - входящие парпметры
syms x; f = @(x)x; a = 1; b = 2; n = 4;
dx = (b-a)/n;
sum = 0;
for x = a:dx:(b-dx)
sum = sum + abs(subs(f,x)*dx);
end
disp('Сумма при выборе левых границ: '); sum
% sum = 1.3750
sum = 0;
for x = (a+dx):dx:b
sum = sum + abs(subs(f,x)*dx);
end
disp('Сумма при выборе правых границ: '); sum
% sum = 1.6250
Упражнение 4.
Создать М-функции, вычисляющие значения верхних и нижних сумм Дарбу на отрезке при равномерном разбиении его на отрезков. Проверить работу М-функций, сопоставив результат выполнения программы и результат, полученный вручную, для сумм Дарбу функции на отрезке при разбиении его на четыре равных части.
% f, a, b, n - входящие парпметры
syms x; f = @(x)x; a = 1; b = 2; n = 4;
dx = (b-a)/n;
sum = 0;
for xi = a:dx:(b-dx)
sum = sum + abs(subs(f,fminbnd(f,xi,xi+dx))*dx);
end
disp('Нижняя сумма: '); sum
% sum = 1.3750
sum = 0;
for xi = a:dx:(b-dx)
g=@(x)-f(x);
sum = sum + abs(subs(f,fminbnd(g,xi,xi+dx))*dx);
end
disp('Верхняя сумма: '); sum
% sum = 1.6250
Упражнение 5.
Используя M-функции упр. 3 и 4, вычислить интегральные суммы и суммы Дарбу для на отрезке при
f=@(x)exp(-x^2); a=1; b=2; n=1000;
l_1_u_3;
l_1_u_4;
% Сумма при выборе левых границ:
% sum = 0.1354
% Сумма при выборе правых границ:
% sum = 0.1351
%
% Нижняя сумма:
% sum = 0.1351
% Верхняя сумма:
% sum = 0.1354
Упражнение 6.
Вычислить , используя функцию quad. Сравнить результат с результатами упражнения 5, вычислив разности между численным значением интеграла, полученным по формуле Симпсона, и значениями интегральных сумм и сумм Дарбу.
quad('exp(-x.^2)',1,2)
% ans = 0.1353
Упражнение С1.
Вычислить интеграл
>> syms x
>> f=sym('1/sqrt(x^2+2*x+3)')
>> I=int(f,x)
I = log(x + (x^2 + 2*x + 3)^(1/2) + 1)
Упражнение С2.
Вычислить определённый интеграл , используя символьное вычисление MatLab.
>> syms x
>> f=sym('x*cos(x^2)')
>> I=int(f,x, 0, pi/2)
I = sin(pi^2/4)/2
Упражнение С3.
Создать М-функцию, вычисляющую значения интегральных сумм на отрезке при равномерном разбиении его на отрезков и выбором точек, делящих отрезки разбиения в произвольном заданном отношении
Проверить работу М-функции, сопоставив результат выполнения программы и результат, полученный вручную, для интегральных сумм функции на отрезке при разбиении его на четыре равных части и выбором точек, делящих отрезки разбиения пополам.
% f, a, b, n, l - входящие параметры
syms x; f = @(x)x; a = 1; b = 2; n = 4; l = 1;
dx = (b-a)/n;
sum = 0;
for x = a:dx:(b-dx)
sum = sum + abs(subs(f,(l*(x+dx)+x)/(l+1))*dx);
end
disp('Сумма при выборе левых границ: '); sum
% sum = 1.5000
-