Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

complan_taskbook_1

.pdf
Скачиваний:
16
Добавлен:
17.12.2017
Размер:
736.67 Кб
Скачать

КИЇВСЬКИЙ НАЦIОНАЛЬНИЙ УНIВЕРСИТЕТ IМЕНI ТАРАСА ШЕВЧЕНКА

Є. Д. Бiлоколос, Л. Л. Зайцева, Д. Д. Шека

Збiрник задач з комплексного аналiзу

Частина I. Функцiї комплексної змiнної

Методична розробка

для студентiв природничих факультетiв

Київ

2014

УДК 517.53

 

Є. Д. Бiлоколос, Л. Л. Зайцева, Д. Д. Шека

версiя 25 березня 2014 р.

Збiрник задач з комплексного аналiзу. Частина I. Функцiї комплексної змiнної: Методична розробка для студентiв природничих факультетiв. — К., 2014.-71 с.

Збiрник задач мiстить близько 400 задач рiзного рiвня складностi, серед яких докладно розiбрано близько 40 прикладiв.

Для студентiв фiзико-математичних спецiальностей унiверситетiв.

Рецензенти: С. А. Кривошея, канд. фiз.-мат. наук, доцент Т. М. Жеребко, канд. фiз.-мат. наук, асистент.

Затверджено Радою радiофiзичного факультету Протокол № 7 вiд 11 березня 2013 року

c Є. Д. Бiлоколос, Л. Д. Зайцева, Д. Д. Шека, 2014

Змiст

Глава 1. Основнi поняття комплексного аналiзу

6

§ 1. Операцiї над комплексними числами . . . . . . . . . . . . . . .

6

§2. Способи зображення комплексних чисел . . . . . . . . . . . . . 10

§3. Добування кореня з комплексного числа . . . . . . . . . . . . . 16

§ 4. Елементарнi трансцендентнi функцiї . . . . . . . . . . . . . . . 18

Глава 2. Аналiтичнi функцiї. Iнтегрування функцiй комплексної змiн-

ної

24

§5. Поняття аналiтичної функцiї. Умови Кошi–Рiмана . . . . . . . . 24

§6. Геометрична iнтерпретацiя аналiтичної функцiї . . . . . . . . . 29

§7. Гармонiчнi функцiї . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

§8. Iнтеграл вiд функцiї комплексної змiнної . . . . . . . . . . . . . 40

§9. Iнтегральна формула Кошi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

Вiдповiдi

60

Рекомендована лiтература

69

Абетковий покажчик

70

3

Деякi позначення

МАТЕМАТИЧНI СИМВОЛИ

a = b a дорiвнює b;

a b a тотожно дорiвнює b;

МНОЖИНИ

N множина натуральних чисел; Z множина цiлих чисел;

Rмножина дiйсних чисел;

Cмножина комплексних чисел (комплексна площина);

Cрозширена комплексна площина;

, крива (контур);

Dобласть;

@D межа областi D;

КОМПЛЕКСНI ЧИСЛА

zкомплексне число;

zкомплексне число, спряжене до z;

Re z дiйсна частина комплексного числа z; Im z уявна частина комплексного числа z; jzj модуль комплексного числа z;

Arg z аргумент комплексного числа z; arg z головне значення аргументу комплексного числа z;

ФУНКЦIЇ

f(z) функцiя комплексної змiнної;

f(z) 2 A(D) функцiя, аналiтична в D;

f(x; y) 2 H(D) функцiя, гармонiчна в D;

ДЕЯКI УМОВНI ПОЗНАЧЕННЯ

C початок прикладу; B кiнець прикладу; J початок розв’язку;

Iкiнець розв’язку;

4

Передмова

Видання розпочинає серiю збiрникiв задач з курсу «Комплексний аналiз». За основу використано завдання, якi впродовж багатьох рокiв використовуються авторами на радiофiзичному факультетi Київського нацiонального унiверситету iменi Тараса Шевченка. В першу частину увiйшли задачi з основних понять комплексного аналiзу i теорiї аналiтичних функцiй, якi складають перший модуль курсу. Задачi добиралися у вiдповiдностi до лекцiйного матерiалу. Для зручностi читача кожний параграф мiстить основнi поняття i факти. Вiдповiдi до усiх задач наведено в кiнцi книги.

Основна частина задач складалася авторами спецiально для «Збiрника», iншi було запозичено з [69].

«Збiрник» розраховано на студентiв фiзико-математичних спецiальностей унiверситетiв.

5

Глава 1

Основнi поняття комплексного аналiзу

§ 1. Операцiї над комплексними числами

Комплексним числом називається вираз z = x + iy, де x та y — дiйснi

p

 

 

що називається уявною одиницею, тобто число,

числа, i = 1 — це символ,

i

2

= 1. Числа x та y називаються дiйсною та

квадрат якого дорiвнює 1,

 

уявною частинами комплексного числа z i позначаються x = Re z, y = Im z. Комплексне число z = x iy називається комплексно спряженим до z i позначається як z. Таким чином, x + iy = x iy: Множина комплексних чисел позначається C = fz : z = x + iy; x; y 2 Rg.

Поняття рiвностi та основнi арифметичнi операцiї на множинi C визначаються таким чином:

Два комплекснi числа z1 = x1 + iy1 i z2 = x2 + iy2 рiвнi тодi i лише тодi, коли x1 = x2 та y1 = y2:

Сумою z1 + z2 комплексних чисел z1 = x1 + iy1 i z2 = x2 + iy2 називається комплексне число

z= z1 + z2 = (x1 + x2) + i(y1 + y2):

Добутком z1z2 комплексних чисел z1 = x1 +iy1 i z2 = x2 +iy2 називається комплексне число

z= z1z2 = (x1x2 y1y2) + i(x1y2 + y1x2):

Часткою z1=z2 вiд дiлення комплексного числа z1 = x1+iy1 на комплексне число z2 = x2 + iy2 6= 0 називається комплексне число

 

z1

=

z1

 

2

=

x1x2 + y1y2

+ i

y1x2 x1y2

 

z =

z

:

z2

z2

 

2

x22 + y22

x22 + y22

 

 

z

 

 

 

Зауважимо, що всi властивостi операцiй додавання i множення (комутативнiсть, асоцiативнiсть i т.п.), притаманнi R, зберiгаються i на множинi

C:

Модулем комплексного числа z = x + iy називається число

p

jzj = x2 + y2 0:

Аргументом комплексного числа z = x + iy; z 6= 0 називається сукупнiсть чисел

arctg y

+ 2k ;

(x; y) в I та IV квадрантах;

x

 

 

Argz = arctg xy

+ + 2k ;

(x; y) в II та III квадрантах;

6

Роздiл 1. Операцiї над комплексними числами

7

де k 2 Z. Через arg z позначатиме будь-яке iз значень функцiї Arg z. Для зручностi в деяких прикладах вважатимемо, що arg z 2 ( ; ].

У багатьох задачах зручно використовувати тригонометричну форму запису комплексного числа z = (cos ' + i sin ') або показникову форму запису z = ei'; тут = jzj; ' = Arg z: Зв’язок мiж тригонометричною та показниковою формами запису комплексного сила встановлює формула Ей-

лера:

 

ei' = cos ' + i sin ':

(1.1)

Операцiї множення та дiлення двох комплексних чисел z1

= 1(cos '1 +

i sin '1) = 1ei'1 ; z2 = 2(cos '2 + i sin '2) = 2ei'2 в цих формах запису мають такий вигляд:

z1z2

= 1 2 (cos('1 + '2) + i sin('1 + '2)) = 1 2ei('1+'2);

 

 

z1

 

 

1

 

'

 

 

'

2) +

i

 

'

1

'

2)) =

1

ei('1

'2);

 

:

 

z2

 

2

 

 

 

 

 

 

=

(cos(

 

1

 

 

sin(

 

 

2

 

2

6= 0

Для пiднесення числа z = (cos ' + i sin ') = ei' до цiлого степеня зручно використовувати формулу Муавра:

(cos ' + i sin ')n = cos n' + i sin n'; n 2 Z:

(1.2)

Тодi zn = n(cos n' + i sin n') = nein'.

Приклад 1.1. C Знайти дiйсну та уявну частини комплексного числа

 

 

 

 

 

 

 

z =

 

 

 

4 3i

 

 

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3 2i)(2 + i)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Розв’язання. J

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z =

4 3i

=

 

 

 

4 3i

 

 

=

 

4 3i

=

(4 3i)(8 + i)

=

 

(3 2i)(2 + i)

 

 

6 + 3i 4i + 2

 

8 i (8 i)(8 + i)

 

=

32 + 4i 24i + 3

=

35 20i

 

=

7

 

 

i

4

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

64 + 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

65

 

 

13

13

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким чином, Re z =

7

; Im z =

4

. I

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13

13

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ i)6

у показниковiй

Приклад 1.2. C Записати комплексне число z =

3

 

 

формi. B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3 2i)4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Розв’язання. J Позначимо z1 =

3

+ i, z2

= 3 2i. Знайдемо модуль та

аргумент z1 та z2 :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

jz1j = q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= p

 

;

 

 

( p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

jz2j = 32

+ ( 2)2

 

 

 

3)2 + 12

= 2;

13

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

5

 

p

2

 

 

 

arg z1 = arctg p

 

 

+ =

 

 

;

 

 

arg z2 = arctg

 

;

 

 

 

 

 

6

 

 

3

 

 

3

 

 

 

c

v. 25 березня 2014 р.

Є. Д. Бiлоколос, Л. Д. Зайцева, Д. Д. Шека, 2014

8 Глава 1. Основнi поняття комплексного аналiзу

при обчисленнi аргументiв було враховано, що число z1 знаходиться у II квадрантi, а число z2 у IV квадрантi. Запишемо числа z1 i z2 у показниковiй формi:

 

 

 

 

 

z1 = 2ei

5

 

 

z2 = p

 

e i arctg 32 :

 

 

 

 

 

 

 

 

;

13

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

Використовуючи формулу Муавра, отримаємо

 

 

 

 

 

 

z6

 

 

26e6i56

64

2

 

64

 

2

);

z =

1

=

 

 

 

 

 

 

 

=

 

ei5 +i4 arctg 3

=

 

ei(4 arctg

3

z4

p

 

 

4i arctg 32

 

 

 

 

4

169

 

 

 

 

169

 

 

 

2

 

(

13) e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

остання рiвнiсть випливає з того, що ei6 = 1: Зауважимо, що 4 arctg 23 2

( ; ]: I

Приклад 1.3. C Використовуючи формулу Муавра, виразити cos 4' через степенi cos ' та sin '. B

Розв’язання. J З формули Муавра випливає, що

cos 4' = Re (cos 4' + i sin 4') = Re (cos ' + i sin ')4 =

=Re cos4 ' + 4i cos3 ' sin ' 6 cos2 ' sin2 ' 4i cos ' sin3 ' + sin4 ' =

=cos4 ' 6 cos2 ' sin2 ' + sin4 ':

I

Приклад 1.4. C Знайти дiйсну та уявну частини числа w = (z + 1)2 + z +i i:

B

Розв’язання. J Нехай z = x + iy: Тодi z = x iy i

w = (x + 1

 

iy)2

+

 

i

 

= (x + 1)2

 

2iy(x + 1)

 

y2 +

i (x i(y + 1))

=

 

 

 

 

x2 + (y + 1)2

 

 

x + i(y + 1)

 

 

 

 

 

 

 

 

= (x + 1)2 y2

2iy(x + 1) +

y + 1

 

+ i

 

 

x

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 + (y + 1)2

x2 + (y + 1)2

 

= (x + 1)2 y2 + x2 + (y + 1)2 + i x2 + (y + 1)2 2y(x + 1) :

 

 

 

 

 

 

y + 1

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

Таким чином,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Re w = (x + 1)2 y2

 

 

y + 1

 

 

 

 

 

x

 

 

2y(x + 1):

 

+

 

; Im w =

 

 

x2 + (y + 1)2

x2 + (y + 1)2

 

I

Приклад 1.5. C Довести, що для довiльних z1; z2 2 C; ' 2 R виконуються наступнi спiввiдношення:

z1 + z2 = z1 + z2; ei'ei' = 1:

B

v. 25 березня 2014 р.

c

Є. Д. Бiлоколос, Л. Д. Зайцева, Д. Д. Шека, 2014

Роздiл 1.

Операцiї над комплексними числами

 

 

 

 

 

 

 

 

9

Розв’язання. J Доведемо першу рiвнiсть. Нехай z1

= x1 + iy1; z2 = x2 +

iy2;

x1; x2; y1; y2 2 R. Тодi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

= x1 + iy1 + x2 + iy2 = x1 iy1 + x2 iy2 = x1 + x2 i(y1 + y2) =

 

z1

z2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= x1 + x2 + i(y1 + y2) = x1 + iy1 + x2 + iy2 = z1 + z2:

 

 

 

Розглянемо другу рiвнiсть. Для довiльного

' 2 R

скористаємось означе-

нням ei' = cos ' + i sin ': Тодi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ei'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ei'

= (cos ' + i sin ') cos ' + i sin ' = (cos ' + i sin ') (cos ' i sin ') =

 

 

 

 

 

 

 

 

= cos2 ' + sin2 ' = 1:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Завдання для класної роботи i домашнi завдання.

 

 

 

В прикладах 16 знайти дiйсну та уявну частини комплексних чисел.

1.

 

 

3i 5

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.

i + 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( 3 + i)2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2 + i)2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.

 

 

(4i + 3)2 + (3i 5)2

 

 

5.

(i31 2)3 (4i33 + 3)2

 

 

 

 

 

 

 

(3 + 2i)(2 i)

 

 

 

 

(1 2i)(5 + i)

3.

 

 

 

 

(2i53 + 1)3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.

 

 

 

(i + 1)3

 

 

 

(2 3i)(3 + i)

 

( 1 3i35)( 2 + i)

 

 

 

В прикладах 712 знайти модуль та аргумент комплексних чисел

7. 1 i.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10.

4 + 4i.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8. (12 5i)13.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11.

( 8 + 6i)100.

9.

 

 

( 1 + 3i)10

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12.

 

 

(2 5i)25

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1 ip6)36

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( 1 ip13)39

 

 

 

В прикладах 1316 записати комплекснi числа у показниковiй формi.

13. i.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16.

2.

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

14. 3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

17.

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

15.

 

 

(1 + 2i)

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1 + i)16

 

 

 

 

 

 

( 1 7i)11

 

 

 

 

 

 

 

 

18.

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( 1 + 3i)15

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В прикладах 1922, використовуючи формулу Муавра, виразити через

степенi cos ' та sin ' наступнi функцiї.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

19. sin 5'.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

21.

cos 3'.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

20. cos 8'.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

22.

sin 9'.

 

 

 

 

 

 

Вприкладах 2326 знайти дiйсну та уявну частини числа w; якщо z = x + iy.

c

v. 25 березня 2014 р.

Є. Д. Бiлоколос, Л. Д. Зайцева, Д. Д. Шека, 2014

10

Глава 1. Основнi поняття комплексного аналiзу

23.w = z1; z 6= 0.

24.w = z2 + z.

Вприкладах 2730 довести, що

27.jz1z2j = jz1jjz2j; z1; z2 2 C.

28.e1i' = e i'; ' 2 R.

 

 

z2

25.

w =

 

; z 6= 1.

z + 1

26.

w = z2 4iz + 1.

29.(zn) = (z)n; z 2 C.

30.ei' n = ei'n; ' 2 R; n 2 N.

31.Довести, що для довiльного многочлена P (z) з дiйсними коефiцiєнтами i для довiльного комплексного числа z має мiсце рiвнiсть P (z) = P (z).

32.Довести, що функцiя f(z) = zn; n 2 N є взаємно однозначним вiдображенням на множинi D = f( ; ') : > 0; ' 2 ( ; )g; якщо j j 2n :

§ 2. Способи зображення комплексних чисел

Геометрична iнтерпретацiя

комплексних чисел.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Кожному комплексному

числу z

= x + iy

ставиться

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

у вiдповiднiсть точка з

координатами (x; y)

прямоку-

iy

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

тної декартової системи координат xOy: Саму площи-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ну при цьому називають комплексною. Вiсь Ox нази-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

вається дiйсною вiссю, вiсь Oy — уявною. Кожнiй точцi

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x; y) вiдповiдає єдиний радiус-вектор цiєї точки fx; yg:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вiдповiднiсть мiж множиною всiх комплексних чисел

 

 

'

 

 

 

 

 

 

 

 

C та комплексною площиною (або множиною радiус-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

векторiв точок комплексної площини) є взаємно одно-

0

 

 

1

x

значною, тому надалi ми не будемо розрiзнювати термi-

Рис.

1:

Геометри-

ни комплексного числа та точки комплексної площини

чна

 

iнтерпретацiя

(радiус-вектора цiєї точки).

 

 

комплексного числа

Модуль та аргумент ' комплексного числа z =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ei' є координатами точки z в полярнiй системi коор-

iy

 

 

z1 + z2

 

C

динат (див. рис. 1).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

З геометричної точки зору суму або рiзницю двох

z2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

чисел z1 i z2 можна отримати за допомогою правил

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

додавання або вiднiмання векторiв, що вiдповiдають

 

 

 

 

 

 

 

z1z1 z2

цим комплексним числам (див. рис. 2).

 

 

 

 

 

 

 

 

Стереографiчна проекцiя. В трьохвимiрному про-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

сторi введемо декартову систему координат i розгля-

0

 

 

 

 

 

 

 

x

немо координатну площину xOy як комплексну пло-

Рис. 2: Геометрична iн-

щину. Побудуємо сферу одиничного дiаметра, яка є

терпретацiя

додавання

дотичною до площини в точцi z = 0 (див. рис. 3).

та вiднiмання

компле-

Позначимо точку дотику через O; а дiаметрально про-

ксних чисел.

 

 

 

 

 

 

 

 

тилежну їй точку сфери — через N: З’єднаємо точку

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N прямою з точкою z комплексної площини i позначимо через M(z)

точку

v. 25 березня 2014 р.

c

Є. Д. Бiлоколос, Л. Д. Зайцева, Д. Д. Шека, 2014