Добавил:

Neron2017 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Черкасский национальный университет им. Б. Хмельницкого

Предмет:

Комплексный анализ

Файл:

Елементи комплексного аналізу Босовський Демченко

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

17.12.2017

Размер:

1.93 Mб

Скачать

☆

1 / 131 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

ЗМІСТ

ПЕРЕДМОВА……………………………………………………………... 5

Модуль 1

Поле комплексних чисел. Геометрія комплексної площини…………...	6

Основні практичні задачі, що відносяться до теми
«Поле комплексних чисел. Геометрія комплексної площини»………...	7
Приклади розв’язування основних задач……………………...	7
Задачі для самостійного розв’язання……………………………………	16
Запитання для контролю…………………………………………………	18
Завдання для самостійного опрацювання………………………………..	18
Модуль 2.
Функції комплексної змінної. Поняття і геометрична ілюстрація
функції комплексної змінної…………………………………………….	19
функції комплексної змінної…………………………………………….
§1. Загальні зауваження, рекомендації та вказівки……………………	19
Похідна функції комплексної змінної. Комплексна
диференційованість……………………………………………………….	21
Гармонічні в області функції, їх зв’язок з аналітичними………………	22
Елементарні функції………………………………………………………	23
Лінійна функція……………………………………………………………	23
Дробово-лінійна функція………………………………………………....	24
Показникова, тригонометричні і гіперболічні функції
комплексної змінної………………………………………………………	26
Логарифми комплексних чисел………………………………………….	28
Степені з комплексними основами і комплексними показниками……	28
Оберненні тригонометричні функції…………………………………….	28
Обернені гіперболічні функції…………………………………………...	29
§2 Основні практичні задачі, що відносяться до розділу «Функції
комплексної змінної», та методика їх розв’язання……………………..	29
§3 Приклади розв’язання типових задач………………………………...	34
3

Запитання для контролю………………………………………………….	74
Завдання для самостійного опрацювання……………………………….	75
Модуль 3.
Інтегрування функцій комплексної змінної……………………………..	76
Інтегрування функцій комплексної змінної……………………………..
§1. Інтеграл від функції комплексної змінної…………………………...	76
§2. Приклади безпосереднього обчислення інтегралів…………………	77
§3. Інтегральна теорема Коші…………………………………………….	81
§4. Інтегральна формула Коші……………………………………………	83
Обчислення інтегралів за допомогою інтегральних формул Коші……	84
Завдання для самостійного опрацювання………………………………..	89
Модуль 4
Ряд Лорана. Ізольовані особливі точки. Лишки………………………...	90
Ряд Лорана. Ізольовані особливі точки. Лишки………………………...
§1. Основні поняття……………………………………………………….	90
§2. Розкладання функцій в ряди Лорана…………………………………	91
§3. Ізольовані особливі точки, їх класифікація………………………….	97
§4. Лишки………………………………………………………………….	103
§5. Застосування теорії лишків…………………………………………..	106
§6.Обчислення інтегралів від функцій дійсної змінної………………...	115

I. Інтеграли виду I R(cos x,sin x)dx ………………………………… 115

II. Невласні інтеграли від раціональних функцій……………………… 118

III. Інтеграли вигляду ei x R(x)dx ……………………………………… 119

Завдання для самостійного опрацювання……………………………….. 122

ЛІТЕРАТУРА……………………………………………………………... 133

ПЕРЕДМОВА

Перехід до вивчення функцій комплексної змінної такий же природний як і перехід від поля дійсних чисел до алгебраїчно замкненого поля комплексних чисел. Це дає можливість глибше вивчити елементарні функції і встановити можливі зв’язки між ними; з’ясувати природу багатозначності функцій і побудувати бездоганну їх теорію; створити ефективні методи обчислення інтегралів, отримання асимптотичних оцінок, дослідження розв’язків диференціальних рівнянь; описати найбільш важливі для застосувань плоскі векторні поля, тощо.

Комплексний аналіз знаходить численні застосування у різних галузях.

Його поняття служать основою і джерелом багатьох досліджень у функціональному аналізі, алгебрі, топології, диференціальній геометрії,

рівняннях з частинними похідними та інших розділах математики.

Мета вивчення курсу комплексного аналізу: освоїти загальні ідеї і методи теорії функцій комплексної змінної; детально вивчити факти, що їх ілюструють.

Завдання: оволодіти методами і основним апаратом комплексного аналізу. Сюди відносяться: представлення аналітичних функцій рядами та інтегралами; загальні методи обчислення інтегралів за допомогою теорії лишків; асимптотичні методи; набуття навичок обчислення значень найважливіших елементарних функцій комплексної змінної.

Знання, уміння і навички, здобуті в сфері комплексного аналізу, можна використати при вивченні суміжних дисциплін та в подальшій самоосвітній діяльності.

Модуль 1

Поле комплексних чисел. Геометрія комплексної площини

Ця тема відноситься до курсу алгебри, тому передбачається нагадати тут основні визначення і результати.

Алгебраїчна форма комплексного числа. Правила додавання, віднімання,

множення і ділення комплексних чисел, записаних в алгебраїчній формі.

Операція спряження, її властивості.

Геометричне зображення комплексних чисел на площині.

Тригонометрична форма комплексного числа. Правила множення, ділення,

піднесення до степеня комплексних чисел, записаних в тригонометричній формі. Добування кореня з комплексного числа, геометрична інтерпретація.

Стереографічна проекція. Сфера Рімана. Розширена комплексна площина.

Після опрацювання теми “Поле комплексних чисел. Геометрія комплексної площини” за підручником [1] потрібно:

1) знати різні форми запису комплексних чисел (алгебраїчна,

тригонометрична, показникова), правила виконання дій над числами у різних формах і відповідні геометричні інтерпретації цих дій;

2) мати практичні навички виконання операцій над комплексними числами. Якщо числа подані в алгебраїчній формі, то зручно виконувати додавання, віднімання, множення і ділення; при піднесенні до степеня і добуванні кореня варто перейти до тригонометричної (показникової) форми комплексного числа.

Основні практичні задачі, що відносяться до теми

«Поле комплексних чисел. Геометрія комплексної площини»:

1)подати у тригонометричній формі число z a bi ;

2)виконати дії над комплексними числами в алгебраїчній формі: додати,

відняти, помножити, поділити, добути квадратний корінь;

3) виконати дії над комплексними числами у тригонометричній формі:

помножити, поділити, піднести до степеня, добути корінь (знайти всі значення кореня);

4) розв’язати рівняння. Ця задача є комплексною, бо об’єднує пп. 1) – 3). Потрібно набути навички розв’язування квадратних рівнянь з комплексними коефіцієнтами та двочленних рівнянь un vn .

Приклади розв’язування основних задач.

Задача 1. Подати у тригонометричній формі числа:

1) z 1 i ; 2) z 2 7i .

Розв’язання.

1) а) Зображаємо задане число z 1 i на комплексній площині вектором (рис. 1.а).

б) Знаходимо модуль комплексного числа

(довжину цього вектора):

-1

2 .

1 1

-1-i

-1

в) Вказуємо на рисунку кут від додатної півосі Ох до

вектора z 1 i

(стрілкою).

Це і є аргумент

рис.1.а.

комплексного числа. Знаходимо його на основі

рівностей:

cos

, sin

і правила знаків для

аргументу.

У даному випадку: cos	1	;	sin	1	. Оскільки кут

	2			2

відраховується за стрілкою годинника, то аргумент від’ємний; він дорівнює

3
	.
	.
4
Таким чином: r		1 i			arg 1 i			3
			2 ;					3			;
			2 ;						4		;
									4
г) 1 i r cos sin						3				3
						3				3
				2 cos			i sin
				2 cos			i sin
						4			4

– тригонометрична форма заданого комплексного числа.

Зауваження. Рисунок виконується для правильного визначення аргументу.

2) а) Зображаємо число z 2 7i на комплексній площині вектором

(рис. 1.б.)

б) Знаходимо модуль комплексного числа (довжину вектора):

z 7

-2 О


				2 2 72
	r	2 7i			53 7,28.
r=7,28	в) Знаходимо аргумент φ комплексного числа

	(кут від Ох до вектора):
φ = 105,7	sin		7	0,96; cos		2	0,270
								;
			7,28
	х			7,28

105,70 .

рис.1.б.	г) Подаємо задане число у тригонометричній
	г) Подаємо задане число у тригонометричній
	формі:
2 7i 7,28 cos105,70 isin105,70 .


Задача 2. Обчислити квадратний корінь із заданого числа:		3 i .
Розв’язання.
а) Невідоме значення кореня подаємо в алгебраїчній формі

z 3 i x iy ;

б) Підносимо до квадрату обидві частини рівності:

3 i x iy 2 x2 y2 i 2xy ;

в) Складаємо систему на основі рівності комплексних чисел:

x2 y2 3,2xy 1

г) Розв’язуємо цю систему методом підстановки:

					y		1						1
							1		; x2				1	3 ;
									; x2				4x2	3 ;
							2x						4x2
4x4 4			x2 1 0; x2									1	2								2.

		3													3	12 4				3
		3													3	12 4				3
										2
											1 2
										3	1 2
Оскільки x2 0 , то x2			2											; x			1		1
								3									1	3
								3		2							2	3

Відповідно: y	1			3 1		.
Відповідно: y						.
	2x		2

z x iy 3 1 i 3 1 12 .

Відповідь. 3 i 3 1 i 3 1 12 0,37 1,37i .

Задача 3. Розв’язати рівняння: z2 4 i z 5 5i 0 .

Розв’язання.

а) Дискримінант рівняння:

D 4 i 2 4 5 5i 16 8i 1 20 20i 5 12i;

б) Корінь із дискримінанта (див. задачу 2): D 5 12i x iy ;

x2 y2

2xy 12.

;

x4 5x2 36 0;

x2 5

25 144

5 13

x1 2; x2 2; y1 3; y2 3.

2 3i .

в) Корені рівняння (за формулою коренів квадратного рівняння):

z	4 i 2 3i	3 i; z			4 i 2 3i	1 2i.
z		3 i; z	2			1 2i.
1	2		2	2
	2			2
		9

Відповідь. z1 3 i; z2 1 2i.

Задача 4. Знайти всі значення кореня: 4 1 i3.

Розв’язання. а) Подаємо число z 1 i3 у тригонометричній формі (див. задачу 1): r 1 2 3 2 2;

										cos					1	;		sin									3	;						2				.
										cos						;		sin										;										.
														2												2									3
																												2											2
				z r cos i sin 2 cos																												i sin										.
				z r cos i sin 2 cos																												i sin										.
																													3										3
															б)						Знаходимо												всі						значення									кореня			за

z = 1 i	3		у
													формулою: n r cos i sin


				3
				3
																		n								2 k								i sin							2 k
																		n			r					2 k															2 k
									2π												r	cos																										,
					φ =				2π																					n													n
					φ =			3																						n													n
								3
-1		О									х					n 0,1,2,..., n 1.
-1		О


	Рис.2.														У даному випадку маємо: 4																													1 i						3
																															2															2
																																	2 k																2 k
																														3			2 k												3
																				4 2																				i sin
																								cos																											,
																								cos									4														4				,
																																	4														4


																				k 0,1,2,3.
																																															i ;
					4																		4						3						1						4 2
					4																		4						3						1						4 2
k 0 : z0							2 cos							i sin																		i												3

																									2
													6						6										2						2						2
																	2					2											2			2
														cos
																			3														3
			k 1: z								4 2								3							i sin							3
			k 1: z								4 2															i sin
								1														4													4
																						4													4


												2								2
																										4 2
			4											i sin												4 2			1				i				3 ;
						2		cos
						2		cos
													3								3					2

										2			4						2			4

k 2 : z2											3					i sin			3
					4 2
						cos
						cos						4									4
												4									4




4	2	cos					6		i sin								6
							6										6
																	4
																		2
																		2		3 i ;
	4 2		cos					i sin
	4 2		cos					i sin
							6							6				2
										2		6							2			6

k 3: z3											3					i sin			3
					4 2
						cos
						cos						4									4
												4									4


				5							5				4
																2
																2	1 i			3 .
4	2	cos				i sin
4	2	cos				i sin
					3						3					2

Геометрична інтерпретація. Точки z0 , z1, z2 , z3 є вершинами правильного

чотирикутника (квадрата), вписаного в коло

4 2 ; початковий промінь Oz

відділяє від аргументу заданого числа (

) четверту частину (

) (див.

рисунок 3).

2π

z = 1 i 3

φ =

2π

φ =

: 4=

Рис. 3

Задача добування кореня із комплексного числа рівносильна задачі про поділ кола на рівні частини.

Задача 5. Розв’язати рівняння: ix 1 n x i n 0.

1 / 131 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Комплексный анализ

#
17.12.2017730.5 Кб18complan_problems.pdf
#
17.12.2017736.67 Кб16complan_taskbook_1.pdf
#
17.12.20171.93 Mб62Елементи комплексного аналізу Босовський Демченко.pdf