Задачник / Глава 01+введ (3-25)

вания, дополнения, замены, видоизменения, внесения в них элементов исследования и пр.

Материал этих пособий подвергся переработке. Число вариантов большинства задач для самостоятельного решения существенно увеличено, что расширяет возможность выдачи индивидуальных заданий. Большинство задач обновлены и заменены, некоторые темы исключены, например расчет клепаных и сварных соединений, графическое исследование напряженного состояния (круги Мора).

Работу студентов при изучении курса сопротивления материалов составляют следующие элементы: изучение теоретического материала по учебникам и конспекту лекций, решение задач на практических занятиях, зачет по лабораторному циклу, выполнение и защита расчетнографических работ.

Число часов аудиторных практических занятий в действующих учебных планах ограничено. В эти часы удается решить лишь небольшое количество типовых задач, при этом многие задачи решаются преподавателем и сопровождаются пояснениями, но даже если какие-то из задач решаются на занятиях студентами у доски, то это делается коллективно, т. е. фактически наиболее активной, знающей частью группы и с подсказками преподавателя. Чтобы усвоить и закрепить материал, проработанный на практических занятиях, необходимо самостоятельное решение задач каждым студентом по всем темам. Для этого и предназначены задачи из настоящего издания.

Подробно разобранные многочисленные примеры помогут самостоятельно выполнить расчетно-графические работы и понять задачи, решенные на практических занятиях.

При изучении курса домашняя работа требует от студента затраты двух-трех часов еженедельно. Однако при несистематических занятиях, когда материал лекций не закрепляется, учебник не просматривается, домашние задачи и задания выполняются с опозданием по срокам, трудности в освоении курса сопротивления материалов возрастают, а время, необходимое для выполнения домашней работы с соблюдением всех требований, существенно увеличивается.

Замечено, что студенты, которые испытывают большие трудности при решении задач по сопротивлению материалов, как правило, не владеют знаниями и умением составления уравнений равновесия системы в целом при определении реакций или для любой части системы при определении внутренних усилий, особенно при пространственном действии внешних сил, не могут понять физический смысл тех или иных терминов, обозначений, уравнений (например метода сил и др.). На эти моменты обращено особое внимание при решении примеров.

4

Пособие адресовано преподавателям для организации самостоятельной работы студентов по курсу «Сопротивление материалов» и, разумеется, студентам всех специальностей ПГУПС очной и очно-заочной форм обучения, изучающим курс «Сопротивление материалов» в разном объеме. Задачи для расчетно-графических работ могут выбираться по усмотрению преподавателя в любом сочетании.

В дополнение к учебнику данное издание может быть использовано также как самоучитель для решения задач по всем основным темам курса для желающих изучить сопротивление материалов самостоятельно.

При подготовке пособия было обращено особое внимание на внесение большей четкости и стройности в сравнительно краткие теоретические сведения и методические положения, которые должны способствовать лучшему пониманию материала. В главу 1 введены основополагающие понятия, на которых базируется курс сопротивления материалов.

Символы, обозначающие площади поперечных сечений стержней и внешние силы, приведены в соответствие новому стандарту.

Труд авторов при подготовке рукописи распределился следующим образом:

д-р техн. наук, проф. С.В. Елизаров – пп. 13.1.5; 14.1.3; 14.1.4;

канд. техн. наук, доц. Ю.П. Каптелин – главы 1–5, 9, 11–13, пп. 6.1.1;

6.1.3; 7.1.1; 7.1.3; 7.1.5; 7.1.6; 7.2.2–7.2.5; 10.1.1; 10.1.2; 10.1.5; 10.2.1; 14.1.1; 14.1.2;

канд. техн. наук, доц. Я.К. Кульгавий – глава 15; пп. 6.1.2; 6.1.4–

6.1.8; 6.2; 7.1.2; 7.1.4; 7.2.1; 10.1.4; 10.1.6; 10.2.2; 10.2.3;

канд. техн. наук, доц. Н.М. Савкин – глава 8; пп. 7.2.4; 10.1.3; 10.1.7;

14.2.

Авторы выражают глубокую признательность рецензентам – доктору технических наук, профессору В.П. Ильину и доктору технических наук, профессору О.Д. Тананайко – за замечания и рекомендации, которые были учтены при завершении работы над рукописью.

5

Чтобы обнаружить внутренние силы в некоторой точке С, применяют метод сечений (рис. 1.3), который позволяет эти внутренние силы перевести в разряд внешних и сделать их «видимыми».

Рис. 1.3

Метод сечений состоит в следующем. Мысленно через точку С проводят сечение (рис. 1.3, а), отбрасывают одну из частей рассеченного тела, например II. Заменяют действие отброшенной части тела на оставшуюся силами (рис. 1.3, б). Часть I должна находиться в равновесии. Вблизи точки С на проведенном сечении выделим площадку размером А и покажем равнодействующую внутренних сил F, действующих на площадке А; ориентация площадки определяется направлением в пространстве нормали .

Средняя интенсивность внутренних сил на единицу площади вблизи точки С выражается так:

p , ср F .

A

Единица измерения напряжения 1 Па = 1 Н/м2, 1 МПа = 106 Па. Для получения истинного напряжения p в точке С на площадке с нормальюнеобходимо площадку А устремить к нулю, тогда

p lim F .

A 0 A

Истинное напряжение p является вектором и характеризуется не

только величиной, но и направлением в пространстве, оно в общем случае не перпендикулярно к проведенному сечению, поэтому принято полное напряжение p раскладывать на составляющие, проектируя его на нор-

маль к сечению и на плоскость сечения (рис. 1.3, в).

Эти составляющие являются компонентами напряжения и называются нормальным и касательным напряжениями на площадке с нормалью . Они связаны между собой зависимостью

p2 2 2 .

8

При переходе к пространственной трехосной системе координат независимых компонент напряжений, характеризующих напряженное со-

стояние в некоторой точке тела, становится шесть: x , y , z , xy , yz , zx

(см. гл. 3).

1.1.4 Понятие о деформациях. Компоненты деформации

Под действием внешних сил частицы деформируемого тела смещаются, происходят линейные перемещения u, υ, w и угловые повороты α отрезков в теле (рис. 1.4, а), в результате изменяются форма и размеры тела. Именно эти изменения формы и размеров тела и характеризуют его деформацию.

Выделим вблизи точки С вдоль направлений осей х и у отрезки dx и dy (рис. 1.4, в). Внешние силы вызовут перемещения и деформации, изменится длина отрезков dx и dy на dx и dy и произойдет изменение угла между ними на величину xy .

dx и dy – это абсолютные линейные деформации. Если их отнести к первоначальной длине отрезков СВ и СД, то получим относительные

между направлениями х и у.

Если перейти к трехосной системе координат и рассмотреть пространственную деформацию, то получим три относительно линейные и три

угловые деформации: x , y , z , xy , yz , zx .

9

1.1.5 Основные формы элементов конструкций

Различают следующие характерные формы элементов конструкций:

стержни, пластины и оболочки, массивные тела.

Стержнями называют элементы, длина которых превышает поперечные размеры в пять раз и более ( l 5h или 5d ). Стержни могут быть с прямолинейной и криволинейной осью, с постоянным и переменным по длине сечением, различной формой поперечного сечения (рис. 1.5, а).

Рис. 1.5

Пластины – это плоские элементы, у которых толщина h значительно меньше других размеров а и b ( h а и b). Оболочка отличается от пластины тем, что имеет форму поверхности одинарной или двоякой кривизны (рис. 1.5, б).

Массивное тело имеет габаритные размеры а, b, h, соизмеримые между собой (рис. 1.5, в).

Сопротивление материалов изучает работу и занимается расчетом стержня и некоторых сравнительно простых стержневых систем.

Массивные тела рассчитываются методами теории упругости. Особый раздел механики твердого деформируемого тела представля-

ет теория пластин и оболочек.

1.1.6 Принцип Сен-Венана

Если система сил приложена к небольшой части тела, то напряжения и деформации в малом объеме тела, непосредственно прилегающем к месту приложения сил, зависят и от их равнодействующей, и от закона распределения сил (рис. 1.6, а). В остальном объеме тела, удаленном от места приложения сил, напряжения и деформации зависят только от равнодействующей этих сил.

10

Поперечное сечение стержня, например, прямоугольной или круглой формы можно считать малой площадкой с точки зрения принципа СенВенана (рис. 1.6, б). Система сил, приложенная к торцу стержня, имеет

равнодействующие – главный момент М и главный вектор R , равные нулю, следовательно, влиянием этой системы сил на напряжения и деформации в стержне на расстоянии h и более от торца, согласно принципу Сен-Венана, можно пренебречь. Вблизи от места приложения сил напряжения и деформации не будут малы (рис. 1.6, в).

Чтобы принцип Сен-Венана был применим, малая площадка должна быть соизмерима с наименьшим размером поперечного сечения (рис. 1.7, а). Поэтому при таком же загружении, как на рисунке 1.6, напряжения и деформации в двутавре распространяются на значительно большую длину

(рис. 1.7, б).

Другой пример. На поверхности стержня, в точке приложения сосредоточенной силы, в месте резкого перехода от одного сечения стержня к другому, в сечениях с отверстием или с проточкой, в угловых точках возникают значительные всплески напряжений, которые называют концен-

трациями напряжения (рис. 1.7, в).

Однако они локализованы в небольшом объеме вблизи от места их возникновения и потому, согласно принципу Сен-Венана, в некотором удалении эти «пики» напряжений сглаживаются. Следует отметить, что формулы сопротивления материалов для определения напряжений не отражают наличия концентраций напряжений и дают правдоподобные результаты только в некотором удалении от мест, где они возникают. Отрицательное влияние концентраций напряжений учитывается повышением коэффициента запаса прочности и соответствующим понижением величины допускаемого напряжения.

11

F

Рис. 1.7

1.1.7 Внутренние усилия в стержне при пространственном загружении

Рассмотрим стержень, загруженный пространственной системой сил (рис. 1.8, а). Стержень находится в равновесии. Координатная система выбирается так, чтобы ось z прошла вдоль центральной оси стержня, а х и у были осями симметрии поперечного сечения, в более общем случае – главными центральными осями инерции (см. гл. 4).

Для определения внутренних усилий в стержне применяется метод сечений. Проведем сечение z, отбросим часть II. Заменим действие отброшенной части на оставшуюся I часть внутренними силами, которые уравновесят ее. Эти силы в общем случае приводятся в центре тяжести сечения

к двум векторам: главному вектору – силе R – и главному моменту М

(рис. 1.8, б).

12