Задачник / Глава 04 (81-99)

Глава 4 Геометрические характеристики площади плоских фигур

4.1 Теоретическая и методическая информация. Примеры

4.1.1 Основные понятия

Геометрическими характеристиками сечения являются площадь сечения А, статические моменты площади относительно координатных осей Sx , S y , моменты инерции плоской фигуры – осевые I x , I y , центробеж-

ный I xy , полярный I p (рис. 4.1):

Рис. 4.1

4.1.2 Определение положения центра плоской фигуры

Общий случай:

где n – число простых фигур, на которые разделено сечение;

Ai , xci , yci – площадь и координаты центров каждой из фигур; xc , yc – координаты центра всего сечения.

Частные случаи

1.Если сечение имеет две оси симметрии, то центр тяжести площади размещается в точке пересечения осей симметрии.

2.Если сечение имеет только одну ось симметрии, то центр тяжести фигу-

ры лежит на этой оси и определять надо только одну координату – y c или xc . 3. Если выделить две части сечения, то их общий центр тяжести будет

81

лежать на прямой, соединяющей центры тяжести этих двух частей, и будет делить эту прямую на отрезки, по длине обратно пропорциональные площадям составляющих фигур.

Пример 4.1.1. Найти центр тяжести заданных сечений (рис. 4.2).

Рис. 4.2

Решение. Все эти сечения имеют центр тяжести в точке пересечения осей симметрии.

Пример 4.1.2. Найти центр тяжести заданных сечений (рис. 4.3).

Решение. Во всех сечениях одна ось симметрии, поэтому для определения положения центра тяжести фигуры в каждом случае необходимо вычислить только одну координату:

82

Пример 4.1.3. Найти центр тяжести фигуры (рис. 4.4).

Рис. 4.4

Этот прием определения положения центра тяжести удобен не столько для точных расчетов, сколько для ориентировочной оценки места нахождения центра тяжести.

83

Проверка. Известно, что статические моменты площади относительно осей, проходящих через центр тяжести фигуры, равны нулю.

3

Sx0 Ai yci yc 200 (5 10,16) 125 (12,5 10,16)

1

75 (20 10,16) 1,5 см3;

Если учесть, что слагаемыми при вычислении Sx0 и S y 0 были трех-,

четырехзначные числа, то можно считать, что полученные суммы – статические моменты площади заданной фигуры относительно осей x0 и y0 –

практически близки к нулю. Следовательно, оси x0 и y0 действительно проходят через центр тяжести фигуры.

4.1.3 Моменты инерции плоских фигур. Расчетные формулы

Моменты инерции простейших фигур (рис. 4.6–4.8)

Заметим, что для треугольника момент инерции определяется по приведенной формуле относительно оси, проходящей через основание, а

84

85

Определение положения главных осей, величины главных моментов инерции I xг , I yг и радиусов инерции ix , iy

Главные центральные оси инерции плоской фигуры – это такие оси, которые проходят через центр тяжести фигуры и относительно которых

осевые моменты инерции достигают экстремальных значений и

I y min , а центробежный момент инерции фигуры относительно этих осей обращается в ноль. I x max и I y min называют главными моментами инер-

ции. Если известны моменты инерции I x , I y , I xy относительно некото-

рой центральной координатной системы х, у, то найти угол наклона 0 главных осей инерции xг , yг и величины главных моментов инерции I x г

и I y г (рис. 4.12) можно, воспользовавшись последними тремя формулами для случая поворота осей.

ix IAx ; iy IAy .

86

4.1.4 Определение моментов инерции как алгебраической суммы моментов инерции простейших фигур

Пример 4.1.5. Найти момент инерции относительно главной центральной оси x (рис. 4.13).

Момент инерции I x подсчитан как разность моментов инерции опи-

санного прямоугольника и двух заштрихованных прямоугольников

(рис. 4.14).

87

4.1.5 Определение моментов инерции сечений с помощью формул перехода к параллельным осям

Пример 4.1.6. Найти моменты инерции сечений относительно центральных осей x, y (рис. 4.15).

Решение. В приведенных сечениях собственные центральные оси составляющих частей сечения параллельны главным центральным осям всего сечения. Моменты инерции частей фигуры относительно собственных центральных осей могут быть взяты из сортаментов прокатной стали (прил. I–III) или легко подсчитаны. Следовательно, для вычисления моментов инерции относительно главных центральных осей всего сечения достаточно воспользоваться формулами перехода к параллельным осям.

а) Из сортамента «Сталь прокатная уголковая равнополочная по

ГОСТ 8509-86» выписываем необходимые данные об уголке

∟100 100 10 (рис. 4.16):

88

в) Делим тавр на два прямоугольника. Замечаем, что они раны по размерам и по площади. Общий центр тяжести сечения, следовательно, расположен посередине между центрами составляющих прямоугольников, т.е. на расстоянии 9,5 см от нижнего края и по 3,5 см от оси х до осей х1 и х2:

Пример 4.1.7. Найти моменты инерции сечения относительно заданных осей (рис. 4.18).

Решение. Собственные главные центральные оси инерции сечения параллельны заданным осям x, y. При расчетах используем форму-

лы перехода к параллельным осям.

а) Из сортамента ГОСТ 8239-89 для I 10: I x0 198 см4;

89

I y I y 0 b2 A 17,9 12 102 1217,9 см4;

Ixy Ix0 y0 abA 0 12 10 20 2400 см4.

б) Для прямоугольника:

4.1.6 Определение моментов инерции с использованием формул перехода к повернутым осям

Пример 4.1.8. Найти момент инерции сечений относительно осей x,

Рис. 4.19

Решение. Моменты инерции сечения относительно главных центральных осей x0 , y0 берем из сортамента или подсчитываем.

I x0 y0 0.

90