Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Задачник / Глава 05 (100-111)

.pdf
Скачиваний:
126
Добавлен:
20.12.2017
Размер:
574.27 Кб
Скачать

Глава 5 Кручение стержней кругового поперечного сечения

5.1 Теоретическая и методическая информация. Примеры

5.1.1Внутренние усилия при кручении стержней

Впоперечных сечениях стержня, загруженного сосредоточенными или распределенными парами сил, расположенными в плоскостях, перпендикулярных оси стержня, возникает лишь одно внутреннее усилие – кру-

тящий момент Мк. Величина его определяется из единственного не обращающегося в тождество уравнения равновесия – суммы моментов относительно продольной оси стержня, составленного для части стержня, расположенной слева (или справа) от проведенного сечения (рис. 5.1).

mк

mк

 

z

mк

Мк>0

z

Рис. 5.1

Правило знаков. Мк>0, если при взгляде на отсеченную часть со стороны внешней нормали к сечению внутренний крутящий момент вращает сечение против часовой стрелки. Следовательно, внешний крутящий момент, действующий по ходу часовой стрелки, вызывает положительный внутренний крутящий момент, и наоборот.

Пример 5.1.1. Дано: mк1 = 40 кНм; mк2 = 60 кНм; mк3 = 10 кНм; mк4 = 30 кНм. Опорные подшипники повороту вала относительно оси не препятствуют, трением в них пренебрегаем (рис. 5.2).

m к1

 

m к2

 

m

m

к4

 

 

 

к3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 м

1 м

1 м

1 м

1 м

100

 

Рис. 5.2

 

 

 

 

 

 

Построить эпюру Мк.

Решение. В рассматриваемом примере опорные реакции равны нулю. Стержень имеет три участка (рис. 5.3, а).

Определяем крутящие моменты в поперечных сечениях стержня и строим эпюру Мк.

I участок: 0 z1 2 м; Мк1= mк1= 40 кНм.

II участок: 2 м z2 4м; Мк2= mк1 mк2 = 40 – 60 = –20 кНм.

III участок: при построении эпюры Мк3 рассмотрим равновесие правой части стержня 0 z3 1 м; Мк3 = – mк4 = – 30 кНм.

Функции Мк1, Мк2, Мк3

в пределах каждого из участков постоянны.

Эпюра Мк для стержня изображена на рисунке 5.3, б.

а)

m

 

 

m к2

 

mк4

 

 

к1

 

m к3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z1

z2

 

z3

 

 

 

б)

 

Эп. Мк, кНм

30

30

 

 

20

 

 

 

 

 

 

 

-

 

 

+

 

 

 

40

 

40

 

 

Рис. 5.3

Проверка. В сечениях стержня, где приложены внешние сосредоточенные крутящие моменты, в эпюре Мк должны быть скачки, равные по величине приложенным моментам. В данной задаче это условие выполняется.

5.1.2 Напряжения и деформации при кручении стержней кругового поперечного сечения

Втех случаях, когда задана мощность, передаваемая на вал, N, кВт,

ичисло оборотов вала n в минуту, крутящий момент в сечении Мк, кНм, найдем по зависимости

Мк = 9,55 Nn .

101

Условие прочности при кручении

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M к max

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

max

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Wp

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Условие жесткости

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M к max l

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

GI p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Формула для определения касательного напряжения в любой точке

поперечного сечения вала к

 

М к

 

, для определения углов закручивания

 

I p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(поворота одного сечения по отношению к другому)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

M к dz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

GI

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

при GI p const

 

1

z

 

 

 

 

 

 

мк

 

 

 

 

 

Mкdz

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

GI p 0

 

 

 

 

 

 

GI p

 

 

 

 

при GI

 

const и M

 

const

 

 

M

к

l

 

;

 

 

 

 

град

,

p

к

GI p

 

 

 

рад

180

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где – расстояние от центра сечения до точки, в которой определяется к ; G – модуль упругости при сдвиге;

мк – площадь эпюры Мк на участке, на котором определяется угол

закручивания;– допустимый угол закручивания, в радианах на заданной длине

вала l ;

I p – полярный момент инерции сечения вала,

для вала сплошного кругового поперечного сечения

I

 

 

d 4

; r

d

;

 

I

 

 

r4

 

p

 

 

 

 

p

 

;

 

32

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

для вала кольцевого сечения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I p

D4

1

4

 

;

d

,

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

32

 

 

 

 

 

 

 

 

D

 

где D – наружный, d1 – внутренний диаметры полого вала; d, r – диаметр и радиус сплошного вала.

Wp – полярный момент сопротивления сечения вала,

102

 

 

 

 

 

Wp

I p

;

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

для вала сплошного сечения

 

 

 

 

 

 

 

 

Wp

r3

 

 

 

d 3

 

 

 

 

; Wp

 

16

;

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

для вала кольцевого сечения

 

 

 

 

 

 

 

W

p

D3 1 4

, d1 .

 

 

 

 

16

 

 

 

 

 

D

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 5.1.2. Для стального стержня сплошного кругового сечения

(рис. 5.4, а), загруженного крутящими моментами, подобрать по условиям

прочности и жесткости диаметр, построить эпюры крутящих моментов и

углов закручивания, найти наибольший относительный угол закручивания.

При расчете принять

 

=100

МПа;

=0,2

град/м;

G = 8 104 МПа;

m к1 = 100 кНм; m к2 = 200 кНм; m к3 = 300 кНм.

 

а)

 

 

 

mк1

 

 

mк2

 

mк3

M0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

А

 

 

В

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

а=

 

 

b=1,5 м

 

 

b=1,5 м

 

х

z1

 

А

 

z2

В

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

z3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б)

 

 

 

 

 

Эп. Мк, кНм

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

300

400

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

500

 

 

 

500

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в)

 

 

 

 

 

Эп. , рад

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2,72 10 3

 

7,81 10 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10,86 10

Рис. 5.4

Воспользовавшись методом сечений, находим крутящие моменты по участкам.

I участок: 0 z1 a.

103

Из условия равновесия отсеченной правой части находим:

Мк1 = mк3 + mк2 mк1 = 300 + 200 – 100 = 400 кНм.

II участок: a z2 (a b).

Из суммы моментов относительно оси z для отсеченной части стержня правее сечения В-В

Мк2 = mк3 + mк2 = 300 + 200 = 500 кНм.

III участок: (a b) z3 (a 2b).

Мк3 = mк3 = 300 кНм.

Эпюра крутящих моментов представлена на рисунке 5.4, б. Определяем диаметр сечения стального стержня из условия прочно-

сти:

 

 

 

 

 

16M

к max

 

 

 

 

16 500 10 3

 

 

 

d 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

0,294 м.

 

 

 

 

 

100

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Находим диаметр сечения исходя из условия жесткости стального

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

стержня (l =1 м):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

32Mк max l

 

 

 

 

32 500 10 3

360

 

 

d 4

 

 

 

 

 

 

4

 

 

0,367 м,

 

 

G

 

 

 

 

 

8 104 2 0, 2

 

 

 

 

 

 

рад

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где рад – допускаемый угол закручивания на заданной длине вала l , выраженный в радианах; с допускаемым углом закручивания в градусах

связан зависимостью рад .

180

Следовательно, сечение вала лимитирует его жесткость. Диаметр сечения вала с учетом его округления принимаем равным 37 см.

Построение эпюры углов закручивания вала (рис.5.4, в) производим, воспользовавшись формулой угла закручивания

 

z

M кi dz

 

 

 

 

 

,

GI

 

 

 

 

 

0

 

p

 

где M кi – крутящий момент на соответствующем участке эпюры; G – модуль упругости при сдвиге, G = 8 10 4 МПа.

I участок: 0 z1 a .

 

 

 

 

 

φ1

M

к1

z

 

400 10 3 z

 

 

1

1

;

GI

p

8 104 1,84 10 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

104

 

 

I

 

 

d

4

 

 

0,374

 

 

 

м4;

 

 

p

32

 

 

32

 

1,84 10 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z 0;

0;

 

z

a 1

м; 2,72 10 3рад.

 

 

1

 

1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

II участок:

a z2

(a b) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

φ2

 

M к1a

 

M к2 (z2 a)

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

GI p

 

GI p

 

 

 

 

 

z

2

a 1 м;

2

2,72 10 3 рад; z

2

a b 2,5 м;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

φ2 ( 2,72 5,09 ) 10 3 7,81 10 3 рад.

III участок:

(a b) z3 (a 2b).

 

 

 

 

 

 

 

φ3

 

Mк1a

 

 

Mк 2b

 

 

Mк3 (z3 a b)

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

GI p

 

 

 

 

GI p

 

GI p

 

 

 

 

z3 a b 2,5 м;

 

φ3 7,81 10 3 рад;

z3 a 2b 4м;

φ3 7,81 10 3 3,06 10 3

10,87 10 3 рад.

Как видно из расчетов, на каждом участке функции, определяющие углы поворота сечений, линейны. Из эпюры углов закручивания (рис. 5.4, в) видно, что интенсивность изменения угла закручивания максимальна на II участке. Именно на этом участке эпюра крутящих моментов имеет максимальные ординаты, равные 500 кНм. Следовательно, наи-

больший относительный угол закручивания max составит

 

 

 

 

 

 

M

max

 

 

500 32

3,4

10 3 рад/м.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

max

 

 

 

 

 

 

GI p

 

8 104 103 374 10 8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 5.1.3. Для полого стального стержня кругового поперечного сечения (рис. 5.5) подобрать по условиям прочности и жесткости его наружный диаметр, приняв отношение внутреннего диаметра к наружному

Dd 0,6. Определить величину экономии материала при использова-

нии полого стержня по сравнению со сплошным.

105

а)

 

mк1

mк2

 

mк3

 

M

0

D

d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

х

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

а=

b=1,5 м

b=1,5 м

 

 

 

y

 

 

 

 

 

б)

 

Эп. Мк, кНм

 

 

 

 

 

+

 

 

300

 

 

400

 

 

 

 

 

500

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 5.5

 

 

 

Дано: m K1 100 кНм; m K 2

200 кНм; m K 3

300

кНм;

 

100 МПа;

0,2

град/м.

 

 

Решение. Поскольку в данном примере принято то же загружение,

что и в примере 5.1.2, эпюра крутящих моментов, показанная на

рисунке 5.5, б, имеет такой же вид, что и на рисунке 5.4, б.

 

Определим:

 

 

 

 

 

сечение полого вала из условия прочности

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16M к max

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16 500 10 3

 

 

 

 

 

D 3

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

0,308 м;

 

 

 

(1 4 )

(1 0,64 ) 100

 

сечение

стержня из

условия жесткости

(при этом учтем, что

рад

 

град

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

180

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

32 500 10 3

1 180

D 4

 

 

 

32M к max l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

G (1 4 )

 

4

 

 

8 104 (1 0,64 )0,2 0,380 м.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

рад

Принимаем диаметр D стержня исходя из условия его жесткости равным 38 см.

Сравнивая подобранные сечения сплошного вала (см. пример 5.1.2) D1 = 36,7 см и полого, определим экономию материала в процентах:

106

A A

 

 

D2

D2 (1 2 )

 

 

1 2

100

1

 

100

A

 

D2

 

 

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

36,72 382 (1 0,62 )100 31,4 %. 36,72

Ответ: D = 38 см.

Пример 5.1.4. Для стального стержня с круговым поперечным сечением диаметром 100 мм (рис. 5.6) определить величину допускаемых крутящих моментов m1 , m 2 , m3 из условия прочности и жесткости,

приняв соотношение между моментами m1 : m2 : m3 5 : 3 :1;0,2 град/м; 100 МПа.

Исходя из заданного соотношения внешних крутящих моментов, вы-

разим m 2 и m1 через m3 :m2 3m3 и m1 5m3 . Тогда эпюра крутящих моментов принимает вид, представленный на рисунке 5.6. Наиболее загружен участок вала l1.

а)

 

100

m 2 3m 3

m 1

5m 3

 

 

 

 

 

 

 

 

х

 

l1=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l2=2,5м

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l3=3,3м

y

m 3

z

б)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Эп. Мк

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2m 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3m 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 5.6

107

Определим значение допускаемого внутреннего крутящего момента: из условия прочности

M

 

W

p

d 3

(100 10 3 )3 100 103

19,63 кНм;

 

 

к п

 

 

 

16

 

 

16

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

из условия жесткости

 

 

 

 

M

к

 

GI

p

 

8 104

103 2 (100 10 3 )4 0,2 2,74 кНм.

 

ж

 

 

рад

 

 

 

32 180

 

Сравниваем M к п и M к ж

 

и принимаем допускаемый крутящий

момент на первом, наиболее нагруженном участке наименьшим из двух найденных, т. е. M к = 2,74 кНм.

Следовательно, 3m3 M к . Тогда

m3 Mк 2,74 0,914 кНм; 3 3

m2 3 m3 2,74 кНм;

m1 5 m3 0,914 5 4,57 кНм.

5.2 Задачи для расчетно-графических работ по теме «Кручение валов кругового сечения»

Задача 5.2.1. Подбор сечения и определение деформаций вала.

В соответствии с заданной схемой (1–24, рис. 5.7) и строкой в таблице 5.1 для загруженного крутящими моментами вала требуется:

1)из условия равновесия найти m0 ;

2)построить эпюру крутящих моментов;

3)подобрать диаметр сплошного вала кругового сечения, используя условия прочности и жесткости;

4)подобрать диаметр полого вала по условиям прочности и жесткости,

приняв отношение внутреннего диаметра к внешнему ( d / D ) равным 0,8;

5)вычислить в процентах величину экономии материала для полого вала;

6)построить эпюру углов закручивания, производя отсчет углов от правого или левого конца вала;

7)найти относительный угол закручивания.

108

m 0 m 3 m 2 m 1

1

 

 

а

2а

а

2

m 1

m 0

m 2

m 3

 

 

 

 

 

 

 

2а

а

 

а

3

m

2

m 3

m 0

m 1

 

 

 

 

 

 

 

а

а

 

2а

4

m 1

 

m 2

m 3

m 0

 

 

 

 

 

1,5а

а

а

m 0 m 1 m 2 m 3

5

2а

1,5а

а

6

m 1

m 0 m 2 m 3

 

 

m 0 m 1 m 2 m 3

13

 

 

2а

а

а

m 1 m 0

m 2 m 3

14

 

2а

2а

2а

15

m 1

 

m 2

m 0

m 3

 

 

 

 

 

 

 

1,5а

а

 

2а

16

m 1

 

m 2

m 3

m 0

 

 

 

 

 

 

 

1,5а

1,5а

 

2а

17

m

0

m 2

m 3

m 1

 

 

 

 

 

 

 

а

а

 

1,5а

18

m

3

m 0

m 2

m 1

 

 

 

 

 

2а

2а

а

7

m 1

m 2

m 0

m 3

 

 

 

 

 

а

 

2а

1,5а

8

m 1

m 2

m 3

m 0

 

 

 

 

 

а

 

а

а

1,5а

1,5а

а

19

m 2

 

m 0

m 1

m 3

 

 

 

 

 

 

 

а

 

а

а

20

m

0

m 3

m 1

m 2

 

 

 

 

 

1,5а 1,5а 1,5а

9

m 0

m 1

m 2

m 3

 

 

 

 

 

 

2а

а

1,5а

10

m 1

m 0

m 2

m 3

 

 

1,5а

а

2а

11

m 1

m 2

m 0

m 3

 

 

 

 

 

 

а

2а

2а

12

m 1

m 2

m 3

m 0

 

 

2а

2а

1,5а

m 2

m 1 m 3 m 0

21

 

 

2а

 

2а

2а

22

m 2

m 3

m 0

m 1

1,5а

а

1,5а

23

m 1

m 0

m 3

m 2

 

 

 

 

 

а

1,5а

 

а

24

m 3

m 1

m 2

m 0

 

а

а

 

2а

Рис. 5.7

 

 

 

109

Соседние файлы в папке Задачник