111Equation Chapter 1 Section 1минобрнауки россии

Санкт-Петербургский государственный

электротехнический университет

«ЛЭТИ» им. В.И. Ульянова (Ленина)

Кафедра математического обеспечения и применения ЭВМ

отчет

по практическому заданию №1

по дисциплине «Анализ, моделирование и оптимизация систем»

Тема: Моделирование и исследование случайных величин и последовательностей

Студенты гр. 3381		Сучков А.И.
		Шкулёв А.А.
Преподаватель		Романцев В.В.

Санкт-Петербург

2017

Цель работы.

Напоминание свойств и способа построения случайной величины, освоение ее моделирования.

Для достижения поставленной цели требуется решить следующие задачи:

1. Рассмотреть способ построения функции над заданной случайной величиной, для получения заданной случайной величины;

2. Смоделировать этот процесс;

3. Оценить результаты.

Основные теоретические положения.

Случайная величина – это математическое понятие, служащее для математического представления состояния объектов и процессов, свойств объектов, процессов и событий, которые принципиально не могут быть однозначно определены до проведения опыта по их измерению, или для событий – до их осуществления. Случайные величины могут принимать дискретные, непрерывные и дискретно-непрерывные значения. Соответственно, случайные величины классифицируют на дискретные, непрерывные и дискретно-непрерывные (смешанные).

Дискретная случайная величина (ДСВ) – случайная величина, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями.

Под законом распределения дискретной случайной величины понимают соответствие между возможными значениями и их вероятностями; его можно задать таблично, аналитически (в виде формулы) и графически.

Под непрерывной случайной величиной (НСВ) понимают случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка

В отличие от дискретных случайных величин вероятность отдельного значения для непрерывной случайной величины равна нулю (так как множество возможных исходов бесконечно):

22\* MERGEFORMAT ()

Функция распределения – функция, характеризующая распределение случайной величины или случайного вектора; вероятность того, что случайная величина A примет значение, меньшее t:

33\* MERGEFORMAT ()

Над случайными величинами можно выполнять арифметические операции. Результатом такой операции будет новая случайная величина со своей функцией распределения.

Математическое ожидание – мера среднего значения случайной величины в теории вероятностей; обозначается как .

Дисперсия – мера разброса значений случайной величины относительно её математического ожидания; обозначается как .

Среднеквадратичное отклонение (СКО) – в теории вероятностей и статистике наиболее распространённый показатель рассеивания значений случайной величины относительно её математического ожидания; обозначается как σ. Связь СКО и дисперсии:

44\* MERGEFORMAT ()

Постановка задачи.

Пользуясь датчиками, генерирующими последовательность случайных чисел, распределенных по равномерному закону, смоделировать:

1. Случайную величину, распределенную по равномерному случайному закону на интервале , где α – заданный параметр;

2. Случайную величину, распределенную по показательному закону с параметром λ;

3. Случайную величину, распределенную по треугольному закону , , с параметрами a = 0, b = A, c = 0, где A – заданный параметр.

У полученных случайных величин построить гистограммы, рассчитать математическое ожидание, дисперсию и СКО.

Выполнение задания.

Необходимо смоделировать различные случайные величины на основе стандартного равномерного распределения. Пусть , тогда случайную величину, распределенную по равномерному случайному закону на интервале можно получить следующим образом:

55\* MERGEFORMAT ()

Случайную величину, распределенную по показательному закону с параметром λ можно получить следующим образом:

66\* MERGEFORMAT ()

Случайную величину, распределенную по треугольному закону с параметрами a, b и c можно получить следующим образом:

, 77\* MERGEFORMAT ()

где .

В табл. 1 сведены формулы для вычисления теоретического значения математического ожидания, дисперсии и СКО.

Таблица 1 – Формулы для теоретических значений

Распределение			σ

Для выполнения данной лабораторной работы была разработана программа на языке R, генерирующая соответствующие выборки, строящая гистограммы и вычисляющая необходимые параметры. Код программы приведён в приложении А.

С помощью данной программы были смоделированы вышеописанные случайные величины на основе стандартного равномерного распределения. Для полученных распределений были построены гистограммы, вычислены математическое ожидание, дисперсия, СКО. Для каждого исследуемого параметра была вычислена абсолютная разность между полученным значением и теоретическим. Результаты сведены в табл. 2. Гистограммы для каждого распределения объёмом выборки равным 100, 500, 1000 и 10000 приведены в приложениях Б, В и Г соответственно.