ЛР 3 / отчёт_task3

111Equation Chapter 1 Section 1МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Санкт-Петербургский государственный

электротехнический университет

«ЛЭТИ» им. В.И. Ульянова (Ленина)

Кафедра математического обеспечения и применения ЭВМ

отчет

по практическому заданию №3

по дисциплине «Анализ, моделирование и оптимизация систем»

Тема: Моделирование центра массового обслуживания с ограниченной очередью

Студенты гр. 3381		Сучков А.И.
		Шкулёв А.А.
Преподаватель		Романцев В.В.

Санкт-Петербург

2017

Цель работы.

Целью работы является изучение модели обслуживания заявок с ограниченной очередью. Для достижения поставленной цели требуется решить следующие задачи:

1. изучить модель обслуживания заявок со схожими законами распределения потока заявок и обслуживания;

2. изучить модель обслуживания заявок с различными законами распределения потока заявок и обслуживания;

3. запрограммировать модель;

4. сравнить практические результаты с теоретическими.

Основные теоретические положения.

Для модели с ограниченной очередью формулы, описывающие состояние модели, распространятся: добавляется параметр m – длина очереди.

В системе появляется еще одно событие (кроме поступления заявки в очередь и на обработку) — отказ от приема заявки в очередь в силу переполнения этой очереди. Вероятность этого события можно рассчитать:

, 22\* MERGEFORMAT ()

где ρ – приведенная интенсивность.

В случае ограниченной очереди формулы средней длины очереди и среднего времени ожидания заявки в очереди также распространяются и принимают вид:

, 33\* MERGEFORMAT ()

, 44\* MERGEFORMAT ()

где ϑ – коэффициент вариации времени обслуживания. Легко заметить, что

55\* MERGEFORMAT ()

. 66\* MERGEFORMAT ()

Относительная пропускная способность – отношение среднего числа обслуженных заявок за единицу времени к среднему числу всех поступивших заявок за тоже время, т.е. средняя доля обслуженных заявок среди всех поступивших.

Абсолютная пропускная способность – среднее число заявок, которое может обслужить СМО в единицу времени.

Относительную и абсолютную пропускную способность можно вычислить по следующим формулам соответственно:

, 77\* MERGEFORMAT ()

. 88\* MERGEFORMAT ()

Постановка задачи.

Необходимо смоделировать систему обслуживания заявок с неограниченной очередью с пуассоновским потоком заявок (время отправки сообщения – случайная величина, распределенная по экспоненциальному закону) и тремя различными потоками обслуживания (время обслуживания – случайная величина, распределенная по равномерному, показательному или треугольному закону). Провести эксперимент и выяснить практические характеристики модели. Провести теоретический расчет этих параметров. Оценить результаты.

Выполнение задания.

С помощью пакета GPSS была составлена программа моделирования центра массового обслуживания (ЦМО) с ограниченной очередью. Код программы приведён в приложении А. Для каждой пары законов распределения (заявок и обслуживания) было проведено исследование для приведённой интенсивности ρ = 0,85, а также для значений количества заявок , проходящих через систему. Полученные в результате моделирования основные характеристики ЦМО приведены в табл. 1 приложения Б, где SA – среднее содержимое, SM – максимально занятая ёмкость устройства, SC – счётчик числа входов в устройство, ST – среднее время пребывания заявки в устройстве, FR – коэффициент загрузки, FT – среднее время обслуживание заявки.

По формуле (3) было рассчитано теоретическое значение среднее время заявки в очереди. Результаты сведены в табл. 2.

Таблица 2 – Теоретические значения основных характеристик ЦМО

Распределение	Значение ϑ	Значение m	Значение	Значение	Значение pотк
		3	34	25,29	0,19272
		4		33,98	0,14075
		5		42,26	0,10686
	1	3	34	37,93	0,14
		4		50,97	0,11
		5		63,38	0,08
		3	34	28,45	0,14
		4		38,23	0,11
		5		47,54	0,08

Для оценки среднего время ожидания заявки в очереди, вероятности отказа, абсолютной и относительной пропускной способности было проведено 10 экспериментов (на одном наборе данных) для показательных законов следования заявок на входе и обслуживания. Для характеристик среднего времени ожидания заявки в очереди и обслуживания заявки доверительный интервал с надёжностью равен:

, 99\* MERGEFORMAT ()

где – выборочное среднее, – полуширина доверительного интервала, – исправленное СКО, t_γ – коэффициент, который находят по таблице при заданных n и γ. Экспериментальные данные при и приведены в табл. 3.

Таблица 3 – Экспериментальные данные

i	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	89	86	94	94	87	92	92	89	86	92
	0,1092	0,1046	0,1156	0,1178	0,1144	0,1242	0,1182	0,103	0,092	0,112
qi	0,8908	0,8954	0,8844	0,8822	0,8856	0,8758	0,8818	0,897	0,908	0,888
Ai	0,02227	0,022385	0,02211	0,022055	0,02214	0,021895	0,022045	0,022425	0,0227	0,0222

;

;

;

По формуле (8) были найдены доверительные интервалы для оценок времени ожидания заявки в очереди, вероятности отказа, абсолютной и относительной пропускной способности. Результаты для каждой характеристики при заданных γ приведены в табл. 4, 5, 6 и 7 соответственно.

Таблица 4 – Доверительный интервал для параметра

γ
0,95	2,26	2,2207
0,99	3,25	3,1935
0,999	4,78	4,6969

Таблица 5 – Доверительный интервал для параметра p_отк

γ
0,95	2,26	0,0066325
0,99	3,25	0,0095379
0,999	4,78	0,014028

Таблица 6 – Доверительный интервал для параметра q

γ
0,95	2,26	0,0066325
0,99	3,25	0,0095379
0,999	4,78	0,014028

Таблица 7 – Доверительный интервал для параметра A

γ
0,95	2,26	1,6581∙10-4
0,99	3,25	2,3845∙10-4
0,999	4,78	3,507∙10-4

Выводы.

В ходе выполнения практического задания были изучены модели обслуживания заявок с ограниченной очередью. Были изучены модели обслуживания заявок со схожими и различными законами распределения потока заявок и обслуживания. Результатом работы стала модель системы обслуживания заявок с ограниченной очередью с пуассоновским потоком заявок и тремя различными потоками обслуживания, а также анализ основных характеристик центра массового обслуживания, для которых был построен доверительный интервал. Доверительное оценивание показало, что интервал действительно покрывает теоретические значения параметров с заданной надёжностью, что свидетельствует о корректном моделировании системы массового обслуживания.

Приложение А

РЕАЛИЗАЦИЯ ПРОГРАММЫ, моделирующая центр массового обслуживания

10 SIMULATE

20 VAR1 FVARIABLE -40#LOG((RN1+1)/1000)

30 GENERATE V$VAR1

40 VAR2 FVARIABLE 102#(1-SQR((RN1+1)/1000))

42 STOR1 STORAGE 5

45 GATE SNF STOR1,L1

50 ENTER STOR1,1

55 QUEUE 1,1

60 SEIZE 1

70 DEPART 1,1

75 ADVANCE V$VAR2

80 LEAVE STOR1,1

90 RELEASE 1

95 TRANSFER ,L2

100 L1 SAVEVALUE 1+,1

120 L2 TERMINATE 1

125 START 47500

140 SHOW X1

150 SHOW SM$STOR1

160 SHOW SA$STOR1

165 SHOW SC$STOR1

170 SHOW ST$STOR1

175 SHOW SR$STOR1

180 SHOW FT1

190 SHOW FR1

Приложение Б

Таблица основных характеристик центра массового обслуживания

Таблица 1 – Экспериментальные значения основных характеристик ЦМО

Распределение	N	m	pотк	q	A	SA	SM	SC	ST	SR	FR	FT	Потеря заявок
	1750	3	0,17	0,83	0,021	1	3	1458	61	425	708	34	292
		4	0,10	0,90	0,023	1	4	1579	70	395	739	33	171
		5	0,07	0,93	0,023	1	5	1632	84	384	777	34	118
	47500	3	0,16	0,84	0,021	1	3	39908	60	433	720	33	7592
		4	0,10	0,90	0,023	1	4	42559	72	416	765	33	4941
		5	0,07	0,93	0,023	2	5	43974	85	402	791	33	3527
	1750	3	0,20	0,80	0,020	1	3	1408	62	415	659	32	342
		4	0,15	0,85	0,021	1	4	1487	78	416	709	33	263
		5	0,12	0,88	0,022	2	5	1545	90	405	752	33	205
	47500	3	0,19	0,81	0,020	1	3	38443	62	424	676	32	9057
		4	0,14	0,86	0,022	1	4	40653	77	420	727	33	6847
		5	0,11	0,89	0,022	2	5	42232	88	404	756	33	5268
	1750	3	0,17	0,83	0,021	1	3	1452	61	432	707	33	298
		4	0,12	0,88	0,022	1	4	1546	72	406	732	32	204
		5	0,10	0,90	0,023	2	5	1574	88	408	772	33	176

Окончание таблицы 1

	47500	3	0,17	0,83	0,021	1	3	39574	61	431	708	33	7926
		4	0,12	0,88	0,022	1	4	42003	74	416	749	33	5497
		5	0,09	0,91	0,023	2	5	43382	87	407	781	33	4118