Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

ЛР 4 / отчёт_task4

.docx
Скачиваний:
45
Добавлен:
30.12.2017
Размер:
95 Кб
Скачать

111Equation Chapter 1 Section 1МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Санкт-Петербургский государственный

электротехнический университет

«ЛЭТИ» им. В.И. Ульянова (Ленина)

Кафедра математического обеспечения и применения ЭВМ

отчет

по практическому заданию №4

по дисциплине «Анализ, моделирование и оптимизация систем»

Тема: Планирование и проведение факторных экспериментов

Студенты гр. 3381

Сучков А.И.

Шкулёв А.А.

Преподаватель

Романцев В.В.

Санкт-Петербург

2017

Цель работы.

Целью работы является изучения способа построения и анализа полного факторного эксперимента.

Для достижения поставленной цели требуется решить следующие задачи:

1) Запустить программу PL.EXE

2) Провести эксперименты

3) Оценить результаты.

Основные теоретические положения.

Эксперимент – действие с системой, направленное на получение отклика с помощью входного воздействия.

Планирование эксперимента – комплекс мероприятий, направленных на эффективную постановку опытов.

Фактор эксперимента – один варьируемый параметр из входного воздействия.

План – набор значений факторов.

Область планирования – подпространство, из которого выбираются значения факторов.

Модель системы – закон, по которому система обрабатывает входные воздействия. Пример системы, а также трёхфакторного плана эксперимента представлены на рис. 1 и 2 соответственно.

Рисунок 1 – Система с моделью

Рисунок 2 – Пример трёхфакторного плана эксперимента

Полный факторный эксперимент (ПФЭ) – совокупность нескольких измерений, удовлетворяющих следующим условиям:

  • Количество измерений составляет:

, 22\* MERGEFORMAT ()

где k – количество факторов;

  • Каждый фактор принимает только два значения – верхнее и нижнее;

  • В процессе измерения верхние и нижние значения факторов комбинируются во всех возможных сочетаниях.

В данной работе рассматривается полный двухфакторный эксперимент с линейной моделью системы (нелинейная по факторам, линейная по параметрам):

33\* MERGEFORMAT ()

Оценить параметры модели можно, например, по методу наименьших квадратов, проведя достаточное (не меньше, чем число оцениваемых параметров) количество экспериментов.

Постановка задачи.

Необходимо провести полнофакторный эксперимент по заданной области планирования. Получить результаты экспериментов и по ним оценить параметры системы и сделать выводы о воспроизводимости экспериментов и адекватности модели.

Выполнение задания.

Необходимо определить параметры модели некоторого объекта, характеризующегося следующими данными:

  • Порядок объекта: первый;

  • Количество факторов объекта: 2;

  • Модель должна включать в себя следующие параметры: B0, B1, B2, B12;

  • Допустимый диапазон изменения факторов: , .

Установлена область планирования для каждого фактора, которая задаётся с помощью основного и интервала варьирования фактора. Основной уровень фактора – уровень фактора, в окрестности которого проводится эксперимент. Вычисляется основной уровень фактора как среднее арифметическое верхнего и нижнего уровней фактора. Интервал варьирования фактора – величина, задающая диапазон отклонения значения фактора от основного уровня в ходе эксперимента. Интервал варьирования фактора вычисляется как половина разности верхнего и нижнего уровней фактора. Параметры области планирования для каждого фактора представлены в табл. 1.

Таблица 1 – Область экспериментирования

Фактор

Координаты центра области

Интервал варьирования

X1

X2

Установлен тип плана «Полный факторный эксперимент», а также установлено планирование. Исходя из формулы (1) было установлено, что необходимое и достаточное число точек для использования в ПФЭ для данной модели равно . Спектр плана представлен в табл. 2, где для удобства в столбцах значения факторов представлены знаки значений.

Таблица 2 – Спектр плана

Точка

Значения факторов

Координаты точки в реальном масштабе

X1

X2

1

2

+

3

+

4

+

+

Проведена рандомизация для 5 опытов. Рандомизация представляет собой чисто случайный выбор элементов для последующего рассмотрения из общей совокупности, подлежащей изучению. Она проводится с целью сделать случайным систематическое воздействие неуправляемых и неконтролируемых факторов, для того, чтобы можно было это воздействие на отклик объекта рассматривать как случайную величину и, следовательно, учитывать статистически. Таблица рандомизации опытов представлена в табл. 3.

Таблица 3 – Таблица рандомизации опытов

Точка

1-ый опыт

2-ой опыт

3-ий опыт

4-ый опыт

5-ый опыт

1

1

17

10

7

18

2

6

4

16

15

5

3

2

12

9

11

3

4

14

19

13

8

20

В ходе эксперимента для каждой точки плана находится значение функции отклика. Результаты приведены в табл. 4.

Таблица 4 – Значения отклика в опытах

Точка ФП

Параллельные опыты

1

2

3

4

5

1

9781,57

9815,63

9800,79

9798,42

9815,63

2

-10001,58

-10001,58

-9984,37

-9984,37

-10001,58

3

-9985,03

-9999,21

-9999,21

-9999,21

-10007,05

4

10200,79

10215,63

10200,79

10198,42

10215,63

По данным табл. 4 рассчитаны средние и дисперсии для полученных значений отклика системы:

44\* MERGEFORMAT ()

55\* MERGEFORMAT ()

Средние значения и дисперсии отклика в точках фактора плана представлены в табл. 5.

Таблица 5 – Средние значения и дисперсии отклика

Точка фактора плана

Среднее значение

Дисперсия

1

9802,41

38,19

2

-9994,70

1,47

3

-9997,94

253,46

4

10206,25

60,51

Проверка воспроизводимости эксперимента – проверка постоянства дисперсии шума. Считается, что условие постоянства дисперсии шума выполнено, если справедлива гипотеза о том, что дисперсии в каждой точке факторного пространства оценивают одну и ту же величину.

Проверка воспроизводимости проводится при помощи критерия Кохрена. В качестве выборочной статистики для критерия Кохрена используется отношение максимальной дисперсии из заданного ряда к сумме всех дисперсий этого ряда:

. 66\* MERGEFORMAT ()

Полученное значение этой статистики сравнивается с табличным значением G-распределения Кохрена. Если выборочная статистка меньше табличного значения для соответствующего числа степеней свободы числителя (уменьшенное на единицу число параллельных опытов, m – 1) и знаменателя (число точек спектра плана, n) распределения Кохрена на выбранном уровне значимости, то считается, что экспериментальные данные не опровергают гипотезу об однородности ряда дисперсий.

По формуле (5) найдено наблюдаемое значение критерия Кохрена: . Критическое значение критерия Кохрена при уровне значимости 0,01 равно . Поскольку, , то эксперимент воспроизводим и дисперсия ошибки (воспроизводимости) эксперимента равна .

Объект содержит 4 параметра: B0, B1, B2 и B12. Для вычисления оценок параметров модели используется метод наименьших квадратов (МНК). Исходными значениями для вычисления являются: матрица спектра плана, средние значения отклика в эксперименте, матрица численных значений базисных функций. Столбцы этой матрицы соответствуют существенным переменным объекта, а строки – точкам плана. Т.е. любой элемент этой матрицы – численное значение базисной функции в конкретной точке плана. Матрица численных базисных функций представлена в табл. 6.

Таблица 6 – Матрица численных базисных функций

Точка плана

Существенные модели

X1

X2

X1X2

1

+

2

+

3

+

4

+

+

+

При использовании МНК неизвестный вектор коэффициентов находится из условия минимизации суммы квадратов отклонений измеренных значений отклика от получаемых по модели:

, 77\* MERGEFORMAT ()

, 88\* MERGEFORMAT ()

где xij – значение i-ой существенной переменной в j-ой точке. Дисперсия параметров модели оценивается на основе вычисленной ранее дисперсии воспроизводимости:

, 99\* MERGEFORMAT ()

где N – число точек спектра плана, m – количество параллельных опытов. Результаты вычислений приведены в табл. 7.

Таблица 7 – Оценки параметров модели объектов

Обозначение

Оценка

Дисперсия

B0

4,003

5,344

B1

100,150

5,344

B2

101,772

5,344

B12

10000,325

5,344

В результате проверки значимости оценок выясняется, обусловлено ли отличие коэффициента от 0 чисто случайными обстоятельствами, влиянием помехи или вызвано тем, что в теоретической регрессионной модели присутствует соответствующий, не равный 0 коэффициент регрессии. Проверка значимости сводится к последовательной проверке гипотез для каждого коэффициента: «Рассматриваемый коэффициент незначительно отличается от 0» и «Рассматриваемый коэффициент не равен 0». Для проверки этих гипотез используется критерий Стьюдента. Если наблюдаемое значение критерия больше критического, то нулевая гипотеза отвергается, то есть коэффициент статистически значим.

В качестве выборочной статистики критерия Стьюдента обычно берется отношение выборочного математического ожидания к выборочному среднему квадратическому отклонению. Критическое значение берется из таблицы значений t-распределения Стьюдента. Число степеней свободы критерия Стьюдента равно , где m – число параллельных опытов, N – число точек плана. Результаты проверки значимости оценок параметров модели при уровне значимости 0,01 приведены в табл. 8.

Таблица 8 – Результаты проверки значимости оценок параметров модели

Обозначение

Наблюдаемое значение

Критическое значение

B0

1,73

2,92

B1

43,32

2,92

B2

44,03

2,92

B12

4326,01

2,92

Анализируя данные табл. 8, можно заметить, что оценка параметра B0 незначима.

Проверка адекватности осуществляется путем сопоставления выборочных дисперсий адекватности и воспроизводимости. Для модели, адекватной реальному объекту, единственная причина, по которой дисперсия адекватности может отличаться от 0 – воздействие шума. При этом проверка адекватности сводится к проверке гипотез вида: «Дисперсии воспроизводимости и адекватности оценивают одну и ту же величину – дисперсию шума» и «Дисперсия адекватности существенно превышает дисперсию воспроизводимости».

Проверку адекватности проводят с помощью критерия Фишера: если наблюдаемое значение критерия Фишера меньше критического, принимается гипотеза об однородности дисперсий адекватности и воспроизводимости. В качестве выборочной статистики для критерия Фишера берется отношение рассматриваемых дисперсий. Критическое значение получается по таблице F-распределения.

Число степеней свободы для вычисления 3 коэффициентов в 4 точках равно 4 – 3 = 1, поэтому возможно определить дисперсию адекватности, т.е. план не является насыщенным. Получили значение дисперсии адекватности 0.00, наблюдаемое значение критерия Фишера равно 0.00, критическое значение на уровне значимости 0,01 составляет 8,53. Можно считать, что модель неадекватна. Подлинные характеристики объекта по сравнению с построенной моделью приведены в табл. 9.

Таблица 9 – Практические и теоретические значения параметров

Параметр

Модель

Объект

B0

4,003

1,000

B1

100,150

100,000

B2

101,772

100,000

B12

10000,325

10000,000

Выводы.

В ходе выполнения практического задания были получены навыки в планировании эксперимента и обработке результатов методом дисперсионного и регрессионного анализа. В ходе выполнения задания был проведён полнофакторный эксперимент по заданной области планирования, получены результаты экспериментов и по ним оценены параметры системы. В результате было установлено, что эксперимент воспроизводим и полученная модель является адекватной при заданном уровне надёжности.