Индивидуальная практическая работа ИПР3-1
Вариант 15
Задача 1. Исследуйте сходимость числового ряда, применив для этого подходящий признак сходимости
.
Решение.
,
.
Применим признак Даламбера.
И, следовательно, ряд расходится.
Задача 2. Исследуй сходимость числового ряда, применив для этого подходящий признак сходимости.
.
Решение.
Воспользуемся интегральным признаком Коши
следовательно, ряд расходится.
Задача 3. Исследуйте сходимость числового ряда, применив для этого подходящий признак сходимости
.
Решение.
.
Воспользуемся предельным признаком Коши
,
следовательно, ряд сходится.
Задача 4. Исследуйте сходимость знакочередующегося ряда. Установите характер сходимости (абсолютная или условная).
.
Решение.
Т.к.
и
,
то выполнены условия признака Лейбница, и данный ряд сходится.
Для установления характера сходимости
составим ряд из абсолютных величин,
т.е. ряд
.
.
Воспользуемся интегральным признаком Коши
следовательно, ряд расходится. Значит,
и исходный ряд
расходится. Следовательно, ряд
сходится условно.
Задача 5. Найдите интервал и область сходимости степенного ряда.
.
Решение.
Для нахождения области сходимости ряд
воспользуемся признаком Даламбера
.
Ряд сходится при
.
Отсюда интервал сходимости
.
Исследуем поведение ряда в точках
и
.
При
имеем ряд
.
Воспользуемся признаком Лейбница
и
,
выполнены условия признака и ряд
сходится.
При
имеем ряд
.
Воспользуемся признаком сравнения
.
Ряд
сходится, следовательно, и ряд
- сходится.
Таким образом, областью сходимости ряда
является интервал
.
Задача 6. Пользуясь признаком Вейерштрасса, докажите равномерную сходимость данного ряда на указанном промежутке.
;
.
Решение.
.
Исследуем с помощью признака Даламбера
следующий ряд
.
.
Следовательно, ряд
сходится. Таким образом, из сходимости
мажорирующего ряда в силу признака
Вейерштрасса следует, что исходный ряд
сходится на
равномерно.
Задача 7. Разложите функцию
в ряд Тейлора по степеням
.
;
.
Решение.
Ряд Тейлора имеет вид
,
где
.
,
,
,
,
,
,
,
,
.
Задача 8. Вычислите интеграл, разложив
подынтегральную функцию в ряд Маклорена.
Укажите количество членов числового
ряда, полученного поле интегрирования
степенного ряда, необходимое для
достижения точности вычислений с
погрешностью
.
.
Решение.
Разложим подынтегральную функцию
.
Подставляя в интеграл вышеприведенное разложение подынтегральной функции и почленно интегрируя в указанных пределах, получаем
Ряд знакочередующийся. Погрешность
замены суммы ряда суммой его первых
членов по абсолютной величине меньше
первого из отброшенных членов. И поскольку
,
то для вычисления приближенного значения
интеграла с требуемой точностью
достаточно взять первые четыре слагаемых.
.
Задача 9. Вычислите предел, используя разложение элементарных функций в ряд Маклорена.
.
Решение.
,
,
.
Задача 10. Разложите функцию
в тригонометрический ряд Фурье на
интервале
.
Решение.
Запишем функцию следующим образом
Период в данном случае
,
полупериод
.
Найдем коэффициенты разложения в ряд Фурье
Разложение в тригонометрический ряд Фурье будет следующим
Задача 11. Разложите функцию
в тригонометрический ряд Фурье по
синусам на интервале
.
Решение.
Для получения ряда Фурье по синусам,
доопределим функцию на интервале
нечетным образом:
Имеем
Вычислим коэффициенты Фурье
Таким
образом, ряд Фурье по синусам имеет вид
Задача 12. Найдите косинус-преобразование
Фурье
функции
,
.
Решение.
Индивидуальная практическая работа ИПР3-2
Вариант 15
Задача 1. Постройте на комплексной
плоскости область
,
заданную системой неравенств. Проверьте,
принадлежит ли заданная точка
области
.
Решение.
Неравенство
соответствует внешней части круга
радиусом
с центром в точке
,
включая ограничивающую его окружность.
Неравенство
соответствует внутренней части круга
радиусом
с центром в точке
,
включая ограничивающую его окружность.
Неравенство
соответствует сектору окружности. На
рисунке представлена область
.
Точка
не принадлежит области
.
Проверим это аналитически:
- неравенство выполнено.
-
неравенство не выполнено.
- неравенство не выполнено.
Значит, точка
не принадлежит области
.
Задача 2. Определите область (круг)
сходимости данного комплексного ряда.
Исследуйте его сходимость (сходится
абсолютно, сходится условно, расходится)
в точках
,
,
.
;
,
,
.
Решение.
Применим признак Даламбера:
,
.
Отсюда, следовательно, ряд сходится при
условии
или внутри круга
радиусом
с центром в точке
.
На рисунке изображены точки, которые необходимо исследовать и область сходимости.
Точка
расположена на границе круга сходимости,
т.к.
.
Для исследования сходимости заданного
ряда в этой точке подставим её в ряд:
.
.
Таким образом, исходный ряд сходится
абсолютно в точке
при
.
Точка
расположена внутри круга сходимости,
т.к.
,
поэтому ряд в ней сходится абсолютно.
Точка
расположена
вне круга сходимости, т.к.
,
поэтому ряд в ней расходится.
Задача 3. Проверьте, является и
функция
аналитической в области
.
Вычислите интеграл от этой функции по
указанной кривой
.
;
;
– ломаная
:
,
,
.
Решение.
Для проверки того, является ли функция
аналитической, воспользуемся условиями
Коши-Римана. Для этого с помощью формулы
представим заданную функцию в виде
.
С учетом
имеем
откуда получаем
,
.
Найдем частные производные
,
,
,
.
Теперь проверим выполнение условия Коши-Римана:
,
.
Так как условия Коши-Римана выполняются
для любых
и
,
то функция
является аналитической на всей комплексной
плоскости, включая и область
.
Теперь вычислим интеграл от заданной функции.
– ломаная
:
,
,
.
Заданная кривая
представляет собой ломаную
:
,
,
.
В данном случае воспользуемся формулой
.
На отрезке
:
.
На отрезке
:
.
На отрезке
:
.
Вычислим интеграл
Задача 4. Функция
разложена в ряд Лорана в окрестности
своей изолированной особой точки
,
где
.
А) Определите тип особой точки
и найдите в ней вычет функции
.
Б) Вычислите с помощью вычетов интеграл
,
если
.
,
;
.
Решение.
Т.к. функция
в окрестности изолированной точки
содержит бесконечное число слагаемых
в главной части, то точка
является существенно особой точкой.
Вычетом функции
в точке
называется коэффициент
разложения этой функции в ряд Лорана
по степеням
,
в данном случае
,
значит,
.
Рассмотрим интеграл
.
Внутри контура интегрирования
расположена только одна особая точка
подынтегральной функции, которая
согласно ряду Лорана является существенно
особой точкой. Вычет в этой точке равен
,
значит,
.
Задача 5. Найдите все лорановские
разложения функции
по степеням
.
,
.
Решение.
Функция
не является аналитической, т.к. имеем
изолированную особую точку
.
Исключим ее из рассмотрения, разбив
комплексную плоскость на две области
и
окружностью с центром в точке
радиусом, равным расстоянию от
до особой точки:
.
Найдем
.
Таким образом, имеем
,
.
Для удобства разложения в ряд Лорана
преобразуем заданную функцию, выделив
явно выражение
:
В области
имеем:
.
Воспользуемся формулой суммы бесконечно
убывающей геометрической прогрессии,
в области
выполнено неравенство
,
значит,
.
В области
имеем:
.
Воспользуемся формулой суммы бесконечно
убывающей геометрической прогрессии,
в области
выполнено неравенство
,
значит,
.
Таким образом, в разных областях аналитичности функция имеет различные разложения в ряд Лорана.
Задача 6. Дана функция
.
Найдите её изолированную особую точку
и разложите функцию в ряд Лорана в
окрестности точки
.
С помощью вычетов найдите интегралы
,
,
,
где
,
,
– заданные контуры.
;
,
,
.