Добавил:

chornyi Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники

Предмет:

Математика

Файл:

ИПР3-2(15 вариант)

.docx

Скачиваний:

Добавлен:

12.01.2018

Размер:

477.88 Кб

Скачать

☆

Индивидуальная практическая работа ИПР3-2

Вариант 15

Задача 1. Постройте на комплексной плоскости область , заданную системой неравенств. Проверьте, принадлежит ли заданная точка области .

Решение.

Неравенство соответствует внешней части круга радиусом с центром в точке , включая ограничивающую его окружность.

Неравенство соответствует внутренней части круга радиусом с центром в точке , включая ограничивающую его окружность.

Неравенство соответствует сектору окружности. На рисунке представлена область .

Точка не принадлежит области . Проверим это аналитически:

- неравенство выполнено.

- неравенство не выполнено.

Значит, точка не принадлежит области .

Задача 2. Определите область (круг) сходимости данного комплексного ряда. Исследуйте его сходимость (сходится абсолютно, сходится условно, расходится) в точках , , .

; , , .

Решение.

Применим признак Даламбера:

, .

Отсюда, следовательно, ряд сходится при условии или внутри круга радиусом с центром в точке .

На рисунке изображены точки, которые необходимо исследовать и область сходимости.

Точка расположена на границе круга сходимости, т.к. . Для исследования сходимости заданного ряда в этой точке подставим её в ряд:

Таким образом, исходный ряд сходится абсолютно в точке при .

Точка расположена внутри круга сходимости, т.к. , поэтому ряд в ней сходится абсолютно.

Точка расположена вне круга сходимости, т.к. , поэтому ряд в ней расходится.

Задача 3. Проверьте, является и функция аналитической в области . Вычислите интеграл от этой функции по указанной кривой .

;

– ломаная : , , .

Решение.

Для проверки того, является ли функция аналитической, воспользуемся условиями Коши-Римана. Для этого с помощью формулы представим заданную функцию в виде . С учетом имеем

откуда получаем

, .

Найдем частные производные

Теперь проверим выполнение условия Коши-Римана:

Так как условия Коши-Римана выполняются для любых и , то функция является аналитической на всей комплексной плоскости, включая и область .

Теперь вычислим интеграл от заданной функции.

– ломаная : , , .

Заданная кривая представляет собой ломаную : , , .

В данном случае воспользуемся формулой

На отрезке : .

Вычислим интеграл

Задача 4. Функция разложена в ряд Лорана в окрестности своей изолированной особой точки , где .

А) Определите тип особой точки и найдите в ней вычет функции .

Б) Вычислите с помощью вычетов интеграл , если .

, ; .

Решение.

Т.к. функция в окрестности изолированной точки содержит бесконечное число слагаемых в главной части, то точка является существенно особой точкой.

Вычетом функции в точке называется коэффициент разложения этой функции в ряд Лорана по степеням , в данном случае , значит,

Рассмотрим интеграл .

Внутри контура интегрирования расположена только одна особая точка подынтегральной функции, которая согласно ряду Лорана является существенно особой точкой. Вычет в этой точке равен , значит,

Задача 5. Найдите все лорановские разложения функции по степеням .

, .

Решение.

Функция не является аналитической, т.к. имеем изолированную особую точку . Исключим ее из рассмотрения, разбив комплексную плоскость на две области и окружностью с центром в точке радиусом, равным расстоянию от до особой точки:

Найдем .

Таким образом, имеем

Для удобства разложения в ряд Лорана преобразуем заданную функцию, выделив явно выражение :

В области имеем:

Воспользуемся формулой суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии, в области выполнено неравенство , значит,

В области имеем:

Таким образом, в разных областях аналитичности функция имеет различные разложения в ряд Лорана.

Задача 6. Дана функция . Найдите её изолированную особую точку и разложите функцию в ряд Лорана в окрестности точки . С помощью вычетов найдите интегралы , , , где , , – заданные контуры.

; , , .

Решение.

Единственной изолированной особой точкой функции, очевидно, является . Во всех остальных точках комплексной плоскости функции является аналитической.

Для разложения функции в ряд Лорана преобразуем её следующим образом, выделив явно :

Воспользуемся стандартным разложением косинуса в ряд Тейлора:

Видно, что является существенно особой точкой функции, так как ряд Лорана содержит в главной части бесконечное число слагаемых.

Для вычисления интеграла изобразим контуры и особую точку функции на рисунке.

Найдем вычеты функции . В разложении функции в ряд Лорана по степеням , коэффициенту соответствует слагаемое 0.

Следовательно, .

Вычислим заданные интегралы:

, т.к. внутри контура расположена только одна особая точка функции.

, т.к. точка расположена вне контура интегрирования.

Задача 7. Вычислите интеграл с помощью интегральной формулы Коши. Направление обхода контура – положительное.

, .

Решение.

Подынтегральная функция имеет следующие особые точки: , , .

Изобразим контур интегрирования и особые точки на рисунке.

Внутри контура интегрирования расположены точки , , . Окружим их контурами , , в виде положительно ориентированной окружности, целиком лежащей внутри круга , в результате получим двухсвязную область. По интегральной теореме Коши для многосвязной области запишем

Задача 8. Найдите изображение заданного оригинала.

Решение.

Представим заданную функцию-оригинал в виде , где

Используя таблицу получим

Окончательно по свойству линейности преобразования Лапласа получаем

Задача 9. Найдите оригинал по заданному изображению.

Решение.

Упростим заданный оригинал, представив его в виде суммы простейших дробей

Воспользовавшись свойствами преобразования Лапласа и таблицей оригиналов и изображений, получим

Задача 10. Решите дифференциальное уравнение операционным методом.

; , .

Решение.

Пусть правая часть уравнения является оригиналом, тогда и искомая функция будет оригиналом. Преобразуем обе части уравнения по Лапласу, воспользовавшись формулой изображения производной оригинала: