ипр 2-1 (15 вариант) / ипр2-1

xy

x2

ния первого порядка (tgxy

)dx

dy 0 .

cos2 xy

cos2 xy

Решение.

xy

x2

tgxydx

dx

dy 0

cos2 xy

cos2 xy

y

x

tgxydx x(

dx

dy) 0

cos2 xy

cos2 xy

tgxydx xdtgxy 0

tgxydx xdtgxy

dx

dtgxy

x

tgxy

dx

dtgxy

x

tgxy

ln x ln tgxy ln C,C const

ln x ln

C

,C const

tgxy

x

C

,C const xtgxy C,C const

tgxy

ния первого порядка

(

y

2

)dx (arctgx

2

)dy 0 .

x2

xy2

1

x2 y

Решение.

y

dx

2

dx arctgxdy

2

dy 0

1 x2

xy2

x2 y

dyarctgx 2d

1

0

xy

dyarctgx 2 d

1

xy

yarctgx

2

C,C const

xy

yarctgx

2 C,C cons

Ответ:

xy

y

y

y '

e x

x

dt

2dx

t

x

ln t 2ln x ln C

t

C

x2

Представим, что C C(x) , тогда получим t '

C ' x2

2xC

.

x4

Подставим в уравнение t ' 1

2t

.

x

C ' x2 2xC

1

2C

x4

x3

C '

1 C ' x2

C x2dx

x3

C ',C ' const

2

x

3

x3

C '

Получаем t

3

x

C '

,C ' const

x2

3

x2

Задача 13

Решите задачу Коши yy '' 2x(y')2 0, y(2) 2, y '(2)

1

2

Решение. Проведем замену

y ' yu, y '' y 'u yu ' y(u2 u ')

yy(u2 u ') 2xy2u2 0,

u2 u ' 2xu2 0

du

u2 (2x 1),

dx

du

(2x 1)dx

u2

1

x2

x C

u

u

1

,C1 const

x2

x C

1

y '

y

x2

x C

1

y '(2)

2

1

C 2

4 2 C1

2

1

y '

y

x2 x 2

dy

y

dx

x

2

x 2

dy

dx

y

x2 x 2

dy

dx

y

9

(x

1

)

2

4

2

3

x

1

ln y

1

ln

2

2

ln C

2

3

3

1

2

x

2

2

2

y C

3

1 x

,C

const

2

2

2

x

x2 x2 p2

400

x2 p2 400 x2

p

400

1

x2

y ' p

400

1

x2

y

400

1dx

10

400

1

1

ln

20

400

1

C

x2

x

x2

2

x

x2

2

10

400

1

1

ln

20

400

1

C C

8

1

ln 3

12

144

2

12

144

9

2

y

10

400

1

1

ln

20

400

1

8

1

ln 3

x2

x2

x

2

x

9

2

Ответ:

y

10

400

1

1

ln

20

400

1

8

1

ln 3

x2

x2

x

2

x

9

2

y ''' 2 y '' 2 y ' 40 y 0, y '(0) 3, y(0)

3, y''(0) 1

Решение.

Решим однородное уравнение:

y ''' 2 y '' 2 y ' 40 y 0

3 2 2 2 40 0

( 4)( 1 3i)( 1 3i) 0

1 1 3i, 2 1 3i, 3 4

y C e4 x

ex (C

2

cos3x C sin 3x);C ,C

,C const

1

3

1

2

3

Найдем частное решение

y C e4 x

ex (C

2

cos3x C sin 3x);C ,C

2

,C const

1

3

1

3

y(0) C1

C2 3

y ' 4C e4 x ex (C

2

cos3x C sin 3x) ex ( 3C

2

sin 3x 3C cos3x)

1

3

3

4C e4 x ex ((C

2

3C )cos3x (C 3C

)sin 3x)

1

3

3

2

y'(0) 4C1 C2 3C3

3

y '' 16C e4 x

ex ((C

2

3C )cos3x (C 3C

)sin 3x) ex ( 3(C 3C )sin 3x

1

3

3

2

2

3

3(C 3C

)cos3x) 16C e4 x ex (( 8C

2

6C

3

)cos3x ( 6C

2

8C )sin 3x)

3

2

1

3

y ''(0) 16C1

8C2 6C3 1

Решим систему уравнение

17

C2

,

C1

C2 3,

30