ипр 2-1 (15 вариант) / ипр2-1

Задача 16

Решите линейную неоднородную систему дифференциальных уравнений

dx 2x 4 y 4e 2t ,dt

dy 2x 2 y.

dt

Решение.

x ' 2x 4 y 4e 2t ,

y ' 2x 2 y.

Из второго уравнения выразим х:

x 12 y ' y

Найдем первую производную и подставим в первое уравнение системы:

x ' 12 y '' y '

12 y '' y ' 2(12 y ' y) 4 y 4e 2t 12 y '' y ' y ' 2 y 4 y 4e 2t

y '' 4 y 8e 2t

Решим однородное уравнение: y '' 4 y 0

2 4 0

2 4

1,2 2i

y0 C1 cos2t C2 sin 2t

Найдем частное решение в виде

y Ae 2t

y ' 2 Ae 2t y '' 4 Ae 2t

Подставляем в уравнение y '' 4 y 8e 2t

12

4Ae2t 4Ae2t 8e2t

8Ae2t 8e2t A 1

y y0 y C1 cos 2t C2 sin 2t e2t y ' 2C1 sin 2t 2C2 cos 2t 2e2t

x	1	y ' y	1	( 2C sin 2t 2C			cos 2t 2e2t ) C	cos 2t C		sin 2t e2t
						2			2
2			2	1			1
(C1 C2 )cos 2t (C2					C1)cos 2t

Ответ:

x (C1 C2 ) cos 2t (C2 C1)sin 2t, y C1 cos 2t C2 sin 2t e2t ,C1,C2 const

13