- •1. Функции. Основные определения и свойства. Способы задания. Классификация.
- •Способы задания функции
- •1)Аналитический способ
- •2)Табличный способ
- •3)Графический способ
- •2. Предел функции точке. Односторонние пределы.
- •Предел функции на бесконечности. Бесконечно большая функция
- •Сравнение бесконечно малых Допустим, у нас есть бесконечно малые при одном и том же величиныи(либо, что не важно для определения, бесконечно малые последовательности).
- •Раскрытие неопределенностей
- •Непрерывность функции на промежутке
- •Точка разрыва первого рода
- •Точка разрыва второго рода
- •Свойства функций непрерывных на отрезке:
- •Инвариантность формы дифференциала
- •Геометрический смысл дифференциала
- •Формула
- •Доказательство
- •Доказательство Отношение бесконечно малых
- •Отношение бесконечно больших Докажем теорему для неопределённостей вида .
- •Производные высших порядков
- •Формула Тейлора
- •Понятие экстремума функции
- •Необходимое условие экстремума
- •Понятие экстремума функции
- •Первое достаточное условие экстремума
- •Виды асимптот
- •Производная степенно-показательной функции
1. Функции. Основные определения и свойства. Способы задания. Классификация.
Вещественные функции вещественного аргумента делят на два класса: элементарные и не элементарные. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Элементарной функцией называется функция, которая может быть задана одной формулой , где– выражение, составленное из основных элементарных функций и действительных чисел с помощью конечного числа операций сложения, вычитания, умножения, деления и взятия функции от функции.Основными элементарными функциями называются следующие функции:
степенная функция , гдеR;
показательная функция , гдеи;
логарифмическая функция , гдеи;
тригонометрические функции ,,,;
обратные тригонометрические функции ,,, .
Областью определения функции (выраженияf(x) ) называют множество всех значений x , для которых функция (выражение) имеет смысл.
Область определения функции обозначается какили.
Способы задания функции
1)Аналитический способ
Закон, устанавливающий связь между аргументом и функцией, задается посредством формул.
2)Табличный способ
Функцию можно задать, перечислив все её возможные аргументы и значения для них.
3)Графический способ
Функцию можно задать графически, отобразив множество точек её графика на плоскости.
Обратная функция Обратная функция, функция, обращающая зависимость, выражаемую данной функцией. Так, еслиу = f (x) — данная функция, то переменная х, рассматриваемая как функция переменной у, х = j (y), является обратной по отношению к данной функции у = f (x). Например, О. ф. для у = ax + b (а¹0) является х = (у—b)/a.
| |
|
Сложная функция Сложная функция, функция от функции. Если величина y является функцией от u, то есть у = f (u), а u, в свою очередь, функцией от х, то есть u = j(х), то у является С. ф. от х, то есть y = f [(x)], определённой для тех значений х, для которых значения j(х) входят в множество определения функции f (u). В таком случае говорят, что у является С. ф. независимого аргумента х, а u — промежуточным аргументом. Например, если у = u2, u = sinx, то у = sin2х для всех значений х. |
2. Предел функции точке. Односторонние пределы.
Предел функции в точке
Пусть задано некоторое числовое множество и каждомупоставлено в соответствие число, тогда говорят, что на множествезадана функция,.
Определение предела функции по Коши
Определение
Число называетсяпределом функции в точке , если длятакое, что дляиз того, чтоследует, что:илипри.
Односторонние пределы
Определение
Односторонний предел — предел числовой функции, подразумевающий «приближение» к предельной точке с одной стороны. Такие пределы называют соответственно левым и правым пределами.
Левый и правый пределы функции
Определение
Число называетсяправым пределом функции в точке , если длятакое, что для любогои, выполняется неравенство(рис. 1). Правый предел обозначается
Число называетсялевым пределом функции в точке , если длятакое, что для любогои, выполняется неравенство(рис. 2). Левый предел обозначается
Левый и правый пределы функции называются односторонними пределами.
Теорема
Если существуют и, причем, то существует и. Обратное утверждение также верно.
В случае, если , то пределне существует.
3. Предел функции в точке. Предел на бесконечности. Первая часть в предыдущем вопросе.