Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Методичка теория вероятности с типовыми заданиями (Силкин)

.pdf
Скачиваний:
95
Добавлен:
17.01.2018
Размер:
710.78 Кб
Скачать

883

ЛЕКЦИЯ 8.3. КЛАССИЧЕСКАЯ, ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ И СТАТИСТИЧЕСКАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ

8.3.1. Вероятность события

Вероятность события – это число, имеющее ту же природу, что и расстояние в геометрии или масса в теоретической механики и всегда связанное с каким либо пространством элементарных событий.

Вероятность события – это численная мера объективной возможности его появления.

Существует несколько подходов к определению вероятности события. Рассмотрим основные из них.

8.3.1.1. Аксиоматическое определение вероятности

В аксиоматическом подходе вероятность определяется как величина, удовлетворяющая следующим аксиомам:

1. Каждому событию A ставится в соответствие неотрицательное число p, которое называется вероятностью события A:

P(A) = p>0, где A S, S .

2.Если события A1, A2,..., An несовместны, то верно равенство:

P(A1+A2+...+An)=P(A1)+P(A2)+...+P(An), где Ai S (i=1,2,...,n), S .

3.P( )=1, где – истинное (достоверное) событие.

Пространство элементарных событий , с заданной в нем алгеброй S (или -алгеброй) и определенной на S вероятностью – неотрицательной мерой P(A), A S называется вероятностным пространством и обозначается ( , S, P). Вероятностное пространство служит математической моделью любого случайного явления в теории вероятностей.

Аксиоматический подход не указывает, как конкретно находить вероятность, поэтому для решения задач целесообразно использовать подходы к определению вероятности, которые перечислены ниже.

8.3.1.2. Классическое определение вероятности

 

Пусть события

 

A1, A2,...,An S

(*)

образуют множество элементарных событий. Тогда события из (*), которые приводят к наступлению события A, называются благоприятствующими исходами для события A, m(A) – число благоприятствующих исходов.

Вероятностью события A называется отношение числа исходов благоприятствующих наступлению события A к числу всех возможных исходов

884

 

P(A)

m(A)

(8.3.1)

n

 

 

Из классического определения следуют свойства вероятности:

1.0<P(A)<1,

2.P( )=1,

3.P( )=0.

A+ A = – достоверное событие, поэтому P(A) + P( A ) = 1 или P( A )=1–

P(A).

При вычислении вероятностей по классической схеме приходится решать фактически комбинаторные задачи. При решении конкретной комбинаторной задачи нужно вначале выяснить, каким способом вы будете ее решать, либо непосредственным применением принципов умножения и сложения, либо применением комбинаторных формул, но перед этим нужно выяснить какой вид комбинации имеется в задаче, важен ли в ней порядок или нет, допускаются повторения или нет.

Пример 1. В урне содержатся 3 синих, 5 красных и 2 белых шара. Из нее наудачу извлекаются сразу два шара. Найти вероятность того, что будут вынуты либо два белых шара, либо два разных цветных шара.

Решение. Поскольку в данной задаче неважен порядок, то для решения будем применять сочетания без повторения (шары не возвращаются обратно в урну). Найдем общее число возможных исходов:

n C 2

10 9 45.

10

2

Теперь найдем число благоприятствующих возможных исходов. Два белых шара можно вынуть m1 C22 1 способом, два разных цветных шара

m2 C31 C51 3 5 15 способами. Тогда общее число благоприятствующих исходов, в соответствии с принципом сложения, равно m m1 m2 16 . Та-

ким образом,

P m1 m2 16 n 45

Пример 2. Наудачу взятый телефонный номер состоит из 5 цифр. Какова вероятность, что в нем все цифры разные?

Решение. Предположим, что равновозможны появления любой из 10 цифр во всех позициях телефонного номера. Поскольку при составлении пятизначным номеров важен порядок и возможны повторения, то общее число возможных пятизначных номеров будет равно

n A105 105

Номера, у которых все цифры разные, – это размещения без повторе-

ний

885

m A105 10 9 8 7 6 .

Таким образом, искомая вероятность (при сделанном предположении) будет равна

P m

 

10 9 8 7 6

 

189

0,3024

105

625

n

 

 

 

8.3.1.3. Статистическое определение вероятности

Пусть проводится серия опытов (n раз), в результате которой наступает или не наступает некоторое событие A (m раз), тогда отношение mn при n

называется статистической вероятностью события A.

 

Опыты по подбрасыванию монеты

Таблица 8.3.1

 

 

Опыт

Число опытов, n

Появление герба, m

m

n

 

 

 

 

 

 

 

Опыт Керриха

10000

5087

0,5087

 

 

 

 

Опыт Бюффона

4040

2048

0,5069

 

 

 

 

1 Опыт Пирсона

12000

6019

0,5016

 

 

 

 

2 Опыт Пирсона

24000

12012

0,5005

Из (табл. 8.3.1), описывающей опыт подбрасывания монеты следует,

что mn 0,5 , где mn относительная частота или частость события A .

8.3.1.4. Геометрическое определение вероятности

Иногда, при рассмотрении бесконечных множеств, удобно рассматривать геометрическое определение вероятности.

Рассмотрим такой эксперимент. Точку бросают наугад на отрезок [a;b], расположенную на оси OX (рис. 8.3.1). Слово «наугад» означает, что все мыслимые положения точки на отрезке [a;b] равновозможны. Тогда пространство элементарных событий будет состоять из всех точек, принадлежащих отрезку [a;b] с одной координатой x. Это можно записать

= {ωi } = {x: a x b}.

886

Данный эксперимент имеет несчетное множество равновозможных элементарных исходов. Если событие A в данном эксперименте есть попадание точки в часть отрезка [c;d] (рис. 8.3.1), то вероятность этого события будет равна отношению длин:

P(A) = длина (cd)

= благоприятные исходы(А) .

длина (ab)

все исходы( )

a

c

d

b

x

Рисунок 8.3.1.

Рассмотрим другой пример. Точку бросают наугад в область D, расположенную на плоскости XOY(рис. 8.3.2).

x

D

q

x

Рисунок 8.3.2

Пространство элементарных событий также несчетно и представляет собой множество точек с координатами (x,y), принадлежащих области D.

= {ω} = {(x,y): (x,y) D}

Вероятность попадания точки в часть области q (событие A) будет равна отношению площадей S:

P( A) S(q) S(A) .

S(D) S( )

Таким образом, геометрической вероятностью события A называется отношение меры области, благоприятствующей появлению события A, к мере всей области.

887

Пример 3. Найти вероятность того, что точка случайным образом брошенная в квадрат ABCD со стороной 4, попадет в квадрат A1B1C1D1 со стороной 3, находящийся внутри ABCD (рис. 8.3.3.).

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B1

 

 

 

 

C1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A1

 

 

 

D1

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

Рисунок 8.3.3.

Решение. Вероятность события определяется как отношение меры части области (в данном случае площади), благоприятствующей событию A

SA1B1C1D1 к мере всей области – SABCD.

 

SA B C D

9

 

P(A)

1 1 1 1

 

 

 

.

 

16

 

SABCD

 

С помощью геометрического определения вероятности можно решать не только задачи геометрического содержания. Классическим примером таких задач является задача о встрече.

Пример 4. Два лица A и B договорились встретиться в определенном месте в промежутке времени от 900до 1000 часов. Каждый из них приходит наудачу, независимо от другого и ожидает 10 минут. Какова вероятность того, что они встретятся.

Решение. При решении такого рода задач необходимо правильно геометрически интерпретировать пространство элементарных событий и событие, вероятность которого находим.

Рассмотрим прямоугольную систему координат XOY, в качестве единиц масштаба выберем часы. Пусть x и y – моменты прихода A и B соответственно. Необходимым и достаточным условием встречи является выполнение неравенства |yx| < 1/6 ( или x–1/6 < y < x+1/6). Тогда все возможные исходы будут являться точками квадрата со стороной 1. Заштрихованной области квадрата, ограниченной сторонами квадрата, а также прямыми y = x– 1/6 и y = x+1/6, соответствуют исходы благоприятствующие встрече (рис. 8.3.4). Искомая вероятность равна отношению площади заштрихованной фигуры к площади всего квадрата:

 

888

 

 

 

 

2

 

5

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

6

 

25

 

11

P

 

 

1

 

 

12

 

 

 

36

 

36

y

 

 

 

 

 

 

 

1/6

 

 

 

 

 

 

 

1/6

 

 

 

 

 

1

x

 

Рисунок 8.3.4.

 

 

 

Следует отметить, что геометрическое определение вероятности, так же как и классическое, на практике применяют для узкого круга задач, поскольку, одинаковая возможность элементарных исходов наблюдается очень редко, и, как правило, в искусственно организованных испытаниях. Например, в опытах с симметричными исходами, при проведении азартных игр, в различных лотереях, где каждому предмету специально обеспечивается равная возможность быть выбранным.

889

ЛЕКЦИЯ 8.4. ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ. ПОЛНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ И ФОРМУЛА БАЙЕСА

8.4.1. Основные теоремы теории вероятностей

Теорема 1. Вероятность суммы двух несовместных событий A и B равна сумме их вероятностей:

P(A+B)=P(A)+P(B).

Доказательство. Пусть опыт имеет n равновозможных элементарных исходов = { ω1, ω2… ωn}, из них m – благоприятных событию A, k – собы-

тию B, тогда P(A) = mn , P(B)= kn Так как события А и В несовместны, то по-

явление любого из них (A+B) возможно в m+k случаях, следовательно

P(A B) m k m k P(A) P(B) . n n n

Следствие 1. Если A1, A2, ..., An попарно несовместные события, то вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий:

P(A1 + A2 + ... + An) = P(A1) + P(A2) + ... + P(An).

Следствие 2. Вероятность суммы попарно несовместных событий A1, A2, ..., An , образующих полную группу, равна 1:

P(A1 + A2 + ... + An) = P(A1) + P(A2) + ... + P(An) =1.

Следствие 3. События A и A несовместны и образуют полную группу событий, поэтому

P(A A) P(A) P(A) 1.

Отсюда

P(A) 1 P(A).

Пример 1. В урне 30 шаров, из них 10 – красных, 5 – синих, 15 – белых. Наудачу вынимают один шар. Найти вероятность появления цветного шара.

Решение. Обозначим события: А – появление красного шара, В – появление синего шара.

Число всех исходов n=30, из них благоприятных событию A – десять, а

событию B – пять, т.е. P(A) 1030 13 , P(B) 305 16 . Нас интересует сумма несовместных событий А+В – появление либо красного, либо синего шара.

По теореме сложения вероятностей P(A B) P(A) P(B) 13 16 12 .

890

Пример 2. Из полной колоды карт (52 карты) наугад вынимают три карты (без возврата). Найти вероятность того, что среди вынутых карт будет хотя бы один туз.

Решение. Обозначим события:

A – появление одного туза в 3 взятых картах; B – появление двух тузов;

C – появление трех тузов;

D – появление 0 тузов в 3 взятых картах.

Нас интересует сумма несовместных событий (A+B+C) либо один, либо два, либо три туза (хотя бы один). состоит из равновозможных исходов, число которых равно числу способов взять 3 карты из52, т.е. числу сочетаний

n=C352 . Исходы, благоприятные событиям A, B, C, соответственно равны m (A) = C14 C242 , m(B) = C24 C148 , m(C) = C34 , следовательно

P(A) = C14 C482

; P(B) = C42 C148

; P(D) =

C34

.

 

 

 

 

 

C523

C523

 

C523

 

 

Применяя теорему сложения вероятностей, получим

 

 

P(A+B+C) = P(A) + P(B) + P(C) =

C14 C482

C42 C148

C34

0,217.

 

C523

 

 

 

 

 

 

Вероятность события (A+B+C) можно было найти другим способом. Событие D (появление 0 тузов) является противоположным событию (A+B+C), поэтому

P(A+B+C) = 1 – P(D)

P(D) = C348

=

48 47 46

= 0,783; P(A+B+C) = 1 – 0,783 = 0,217.

3

 

52 51 50

 

C52

 

 

 

Теорема 2. Вероятность суммы двух совместных событий A и B равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их произведения:

P(A + B) = P(A) + P(B) – P(A B).

Мы не будем доказывать эту теорему, отметим только, что та часть благоприятных исходов, которая входит как в событие А, так и в событие В при сложении вероятностей этих событий суммируется дважды. Поэтому нужно вычесть вероятность их совместного появления.

891

Пример 3.Чему равна вероятность того, что наудачу взятое двухзначное число окажется кратным либо 2, либо 5?

Решение. Обозначим события: A – двухзначное число кратно 2, B – двухзначное число кратно 5.

Нас интересует сумма совместных событий (A+B) – появление числа, кратного либо 2, либо 5, либо обоим вместе.

Количество всех двухзначных чисел n=90, из них благоприятных событию A (число кратно 2) m(A)=45, событию B (число кратно 5) m(B) =18. События A и B имеют общие исходы, так как среди двухзначных чисел есть кратные 2 и 5 одновременно, таких чисел m(AB) = 9.

По теореме сложения вероятностей совместных событий имеем

P(A+B) = P(A) + P(B) – P(AB) = 9045 1890 909 5490 .

Для следующих теорем введем понятие зависимых и независимых событий. Два события A и B называются независимыми, если появление одного из них не влияет на вероятность появления другого (в противном случае события зависимы).

Теорема 3. Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению их вероятностей:

P(A·B) = P(AP(B).

Пример 4. Найти вероятность совместного появления «герба» при одновременном бросании двух монет.

Решение. Обозначим события:

A – появление «герба» на первой монете, B – появление «герба» на второй монете. Выпадение «герба» на одной из монет никак не влияет на вероятность его появления на другой, поэтому А и В независимые события,

P(A·B) = P(A)·P (B) = 12 12 14 .

Следствие. Вероятность произведения n независимых событий A1, A2,

..., An равна произведению их вероятностей:

P(A1·A2·...·An) = P(A1)·Р(A2)·...· P(An).

Условной вероятностью события В при условии, что событие A уже произошло, называется число P(AB)/P(A),

которое обозначается

P(AB)/P(A) = P(B/A) = PA(B).

Аналогично, P(AB)/P(B)=P(A/B)=PB(A) – условная вероятность события А при условии, что событие В уже произошло.

892

Теорема 4. Вероятность произведения 2-х зависимых событий A и B равна произведению вероятности наступления события A на условную вероятность наступления события B при условии, что событие A уже произошло:

P(A·B)=P(AP(B/A).

Следствие. Если события A и B независимы, то из теоремы 4 следует теорема 3.

Событие В не зависит от события А, если P(B/A)=P(B). Теорему 4 можно обобщить на n событий.

Теорема 5. Вероятность произведения n зависимых событий A1, A2, ..., An равна произведению последовательных условных вероятностей:

P(A1 A2 ... An)=P(A1P(A2/A1).....P(An/A1·A2 ·...·An–1).

Теорема 6. Вероятность наступления хотя бы одного из событий A1, A2,..., An равна разности между единицей и вероятностью произведения отрицаний событий A1, A2,...,An:

P(A)=1–P( A1 A2 ... An ) =

= 1–P( A1 P( A2 / A1 )·…·P( An / A1 A2 ... An 1 ).

Следствие 1. Вероятность наступления хотя бы одного из событий A1, A2,...,An независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий:

P(A)=1–P(A1)P(A2)...P(An).

Следствие 2. Если события A1, A2, ..., An независимы и имеют одинако-

вую вероятность появиться (P(A1) = P(A2) = …=P(An) = p, P( Ai ) = 1–p = q), то

вероятность появления хотя бы одного из них равна

P(A)=1–qn.

Замечание. В теоремах 1–6 неявно предполагается, что все события, в рамках каждой теоремы, принадлежат одному пространству элементарных событий.

Пример 5. Студент знает 20 вопросов из 25. Найти вероятность того, что он ответит на предложенные ему последовательно 3 вопроса?

Решение. Обозначим события:

A – студент ответил на первый вопрос, B – ответил на второй вопрос,

C – ответил на третий вопрос.

События A, B, C – зависимые, так как вероятность ответов на каждый последующий вопрос зависит от того, ответил или нет студент на предыдущие вопросы. По теореме умножения находим

P(A·B·C)=P(A) ·P(A/B) ·P(C/AB)= 2025 1924 1823 11557 0,5 .