Конспект лекций Высшая математика (Басканова)
.pdfФедеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Сибирский федеральный университет» Институт фундаментальной подготовки
МАТЕМАТИКА – I
конспект лекций
Красноярск 2008
2
РАЗДЕЛ 1. ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ………………………………………………………...3
РАЗДЕЛ 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ……………………...136 РАЗДЕЛ 3. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА. ИНТЕГРАЛЬНОЕ
ИСЧИСЛЕНИЕ…………………………………………………...264
РАЗДЕЛ 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ……………………….409 РАЗДЕЛ 5. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ. ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ…………………………………………………………..483
РАЗДЕЛ 6. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ …………………………………555 РАЗДЕЛ 7. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО. ЭЛЕМЕНТЫ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА…………………………....621
РАЗДЕЛ 8. ТЕОРИЯ |
ВЕРОЯТНОСТИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ |
||
СТАТИСТИКА…………………………………………………...676 |
|||
РАЗДЕЛ 9. ПРИМЕНЕНИЕ |
МАТЕМАТИЧЕСКИХ |
МЕТОДОВ В |
|
БИОЛОГИИ И ГЕОЛОГИИ…………………………………......749 |
|||
ОСНОВНАЯ |
И |
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ |
ЛИТЕРАТУРА, |
ИНФОРМАЦИОННЫЕ РЕСУРСЫ…………………………….769
РАЗДЕЛ 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
ЛЕКЦИЯ 2.1. МНОЖЕСТВА. ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ. ОТОБРАЖЕНИЕ МНОЖЕСТВ. МОЩНОСТЬ МНОЖЕСТВА. МНОЖЕСТВО ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
ЛЕКЦИЯ 2.2. ПЕРЕМЕННАЯ ВЕЛИЧИНА. ФУНКЦИЯ ОДНОЙ И НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ. ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ, ИХ СВОЙСТВА И ГРАФИКИ
ЛЕКЦИЯ 2.3. ПРЕДЕЛ ПЕРЕМЕННОЙ ВЕЛИЧИНЫ. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ. БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ И БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИЕ ФУНКЦИИ
ЛЕКЦИЯ 2.4. ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛАХ И |
ИХ ПРИМЕНЕНИЕ. |
||||||
ПРИЗНАКИ СУЩЕСТВОВАНИЯ ПРЕДЕЛОВ |
|||||||
ЛЕКЦИЯ 2.5. ПЕРВЫЙ |
ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЙ |
ПРЕДЕЛ. |
ВТОРОЙ |
||||
ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЙ |
ПРЕДЕЛ. |
|
СРАВНЕНИЕ |
||||
БЕСКОНЕЧНО |
|
МАЛЫХ |
|
ФУНКЦИЙ. |
|||
ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ |
БЕСКОНЕЧНО |
|
МАЛЫЕ И |
||||
ТЕОРЕМЫ О НИХ |
|
|
|
|
|
||
ЛЕКЦИЯ 2.6. ПРИРАЩЕНИЕ |
ФУНКЦИИ |
ОДНОЙ |
И ДВУХ |
||||
ПЕРЕМЕННЫХ. |
НЕПРЕРЫВНОСТЬ |
ФУНКЦИИ |
|||||
ОДНОЙ И ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ. ТОЧКИ РАЗРЫВА |
|||||||
ЛЕКЦИЯ 2.7. ЗАДАЧИ, |
ПРИВОДЯЩИЕ |
К |
|
ПОНЯТИЮ |
|||
ПРОИЗВОДНОЙ. ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ И |
|||||||
ЧАСТНЫХ |
|
|
ПРОИЗВОДНЫХ, |
|
ИХ |
||
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ |
|
|
|
|
|||
ЛЕКЦИЯ 2.8. ПРОИЗВОДНАЯ |
СЛОЖНОЙ |
И |
|
ОБРАТНОЙ |
|||
ФУНКЦИЙ. |
ПРОИЗВОДНЫЕ |
|
ОСНОВНЫХ |
||||
ЭЛЕМЕНТАРНЫХ |
ФУНКЦИЙ. |
|
|
ТАБЛИЦА |
|||
ПРОИЗВОДНЫХ. |
|
|
|
|
|
|
|
ЛЕКЦИЯ 2.9. ДИФФЕРЕНЦИАЛ, |
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ |
СМЫСЛ, |
|||||
ИНВАРИАНТНОСТЬ |
ФОРМЫ. |
ПРИМЕНЕНИЕ |
|||||
ДИФФЕРЕНЦИАЛА |
К |
ПРИБЛИЖЕННЫМ |
|||||
ВЫЧИСЛЕНИЯ |
|
|
|
|
|
|
|
ЛЕКЦИЯ 2.10. ДИФФЕРЕНЦИАЛ, |
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ, |
||||||
ИНВАРИАНТНОСТЬ |
ФОРМЫ. |
ПРИМЕНЕНИЕ |
|||||
ДИФФЕРЕНЦИАЛА |
К |
ПРИБЛИЖЕННЫМ |
|||||
ВЫЧИСЛЕНИЯ |
|
|
|
|
|
|
|
ЛЕКЦИЯ 2.11. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
ЛЕКЦИЯ 2.12. ТЕОРЕМЫ |
О |
СРЕДНЕМ |
ДЛЯ |
|
ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ |
|
|
||
ЛЕКЦИЯ 2.13. ПРАВИЛО |
ЛОПИТАЛЯ, |
РАСКРЫТИЕ |
||
НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА |
|
|||
ЛЕКЦИЯ 2.14. ПРИМЕНЕНИЕ |
|
ПРОИЗВОДНЫХ |
К |
|
ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ. ОБЩАЯ СХЕМА |
||||
ИССЛЕДОВАНИЯ |
ФНКЦИЙ И |
ПОСТРОЕНИЕ |
||
ГРАФИКА |
|
|
|
|
ЛЕКЦИЯ 2.15. ЭКСТРЕМУМЫ |
|
ФУНКЦИИ |
НЕСКОЛЬКИХ |
|
ПЕРЕМЕННЫХ |
|
|
|
|
Контрольные вопросы и задания для самопроверки
3
ВВЕДЕНИЕ........................................................................................... |
6 |
РАЗДЕЛ 1. ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА.
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ................................................. |
7 |
ГЛАВА 1. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА........................................................ |
7 |
ЛЕКЦИЯ 1.1. МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ ......................... |
8 |
1.1.1. Виды матриц........................................................................................ |
8 |
1.1.2. Действия над матрицами и их свойства...................................... |
10 |
ЛЕКЦИЯ 1.2. ПОНЯТИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ. СВОЙСТВА
ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ...................................................................................... |
13 |
1.2.1. Понятие об определителе второго, третьего и n-го порядка
порядков. Свойства определителей........................................................ |
13 |
1.2.2. Методы вычисления определителей ......................................... |
16 |
ЛЕКЦИЯ 1.3. ОБРАТНАЯ МАТРИЦА. РАНГ МАТРИЦЫ................. |
19 |
1.3.1. Обратная матрица............................................................................ |
19 |
1.3.2. Ранг матрицы.................................................................................... |
24 |
ЛЕКЦИЯ 1.4. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И ИХ МАТРИЧНАЯ ЗАПИСЬ. ПРАВИЛО КРАМЕРА. МАТРИЧНЫЙ МЕТОД. МЕТОД ГАУССА. ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ. ПОНЯТИЕ ОБ ИТЕРАЦИОННЫХ МЕТОДАХ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ
УРАВНЕНИЙ................................................................................................. |
33 |
1.4.1. Основные понятия и теоремы ....................................................... |
33 |
1.4.2. Методы решения систем линейных алгебраических уравнений
........................................................................................................................ 36 1.4.3. Общая схема исследования и решения систем линейных
алгебраических уравнений....................................................................... |
42 |
1.4.4. Системы линейных однородных уравнений. Фундаментальная
система решений......................................................................................... |
46 |
1.4.5.Использование систем линейных уравнений в прикладных
задачах .......................................................................................................... |
49 |
1.4.6. Понятие об итерационных методах решения систем линейных
алгебраических уравнений....................................................................... |
51 |
ГЛАВА 2. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА..................................................... |
58 |
ЛЕКЦИЯ 1.5. ВЕКТОРЫ, ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ. ПРОЕКЦИЯ ВЕКТОРА НА ОСЬ. ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И НЕЗАВИСИМОСТЬ ВЕКТОРОВ. БАЗИС В R2 И R3. РАЗЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРА ПО БАЗИСУ. ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ
БАЗИС.............................................................................................................. |
58 |
1.5.1. Основные понятия. Линейные операции над векторами........ |
58 |
1.5.2. Линейная зависимость и независимость векторов. Базис
векторного пространства и разложение вектора по базису............... |
63 |
4
ЛЕКЦИЯ 1.6. СКАЛЯРНОЕ, ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ, ИХ СВОЙСТВА, ВЫЧИСЛЕНИЕ,
ПРИМЕНЕНИЕ. |
УСЛОВИЯ |
КОЛЛИНЕАРНОСТИ, |
|
ОРТОГОНАЛЬНОСТИ И КОМПЛАНАРНОСТИ ВЕКТОРОВ......... |
71 |
||
1.6.1. Скалярное произведение векторов. Условие ортогональности
векторов........................................................................................................ |
71 |
1.6.2. Векторное произведение векторов. Условие коллинеарности
векторов........................................................................................................ |
74 |
1.6.3. Смешанное произведение векторов. Условие компланарности
векторов........................................................................................................ |
78 |
1.6.4. Применение элементов векторной алгебры в прикладных
задачах .......................................................................................................... |
81 |
ЛЕКЦИЯ 1.7. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ. МАТРИЦА ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА. СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ И
СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ..................................................................... |
83 |
ГЛАВА 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ................................. |
89 |
ЛЕКЦИЯ 1.8. ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ, ЕЕ УРАВНЕНИЯ. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПЛОСКОСТЕЙ. РАССТОЯНИЕ
ОТ ТОЧКИ ДО ПЛОСКОСТИ................................................................... |
89 |
1.8.1 Предмет аналитической геометрии............................................... |
89 |
1.8.2.Плоскость в пространстве, её уравнения. Взаимное
расположение плоскостей. Расстояние от точки до плоскости |
......... 90 |
ЛЕКЦИЯ 1.9. ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ. |
|
ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ НА ПРЯМУЮ И ПЛОСКОСТЬ В |
|
ПРОСТРАНСТВЕ.......................................................................................... |
97 |
1.9.2. Прямая в пространстве. Основные задачи на прямую и |
|
плоскость.................................................................................................... |
105 |
ЛЕКЦИЯ 1.10. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА: ОКРУЖНОСТЬ, |
|
ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА, ПАРАБОЛА. ОБЩЕЕ ЗАДАНИЕ КРИВЫХ |
|
ВТОРОГО ПОРЯДКА И ПРИВЕДЕНИЕ ИХ УРАВНЕНИЙ К |
|
КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ..................................................................... |
111 |
1.10.1 Общее задание кривых второго порядка и приведение их |
|
уравнений к каноническому виду......................................................... |
111 |
1.10.2. Окружность.................................................................................... |
112 |
1.10.3. Эллипс............................................................................................. |
113 |
1.10.4. Гипербола....................................................................................... |
115 |
1.10.5. Парабола......................................................................................... |
118 |
ЛЕКЦИЯ 1.11. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА ................... |
120 |
1.11.1. Общее задание поверхностей второго порядка. Таблица |
|
основных поверхностей второго порядка (их канонический вид). |
|
Метод сечений........................................................................................... |
120 |
1.11.2. Эллипсоид...................................................................................... |
123 |
5 |
|
1.11.3. Гиперболоиды............................................................................... |
124 |
1.11.4. Параболоиды................................................................................. |
126 |
1.11.5. Конус............................................................................................... |
127 |
1.11.6. Цилиндры....................................................................................... |
128 |
1.11.7. Примеры решения задач............................................................. |
128 |
1.11.8.Применение аналитической геометрии к решению
прикладных задач .................................................................................... |
130 |
Контрольные вопросы и задания для самопроверки к главе 1......... |
133 |
Контрольные вопросы и задания для самопроверки к главе 2......... |
133 |
Контрольные вопросы и задания для самопроверки к главе 3......... |
134 |
6
ВВЕДЕНИЕ
Настоящий конспект лекций, предназначен в первую очередь для студентов специальностей 130301 «Геологическая съемка, поиски и разведка месторождений полезных ископаемых», 130308 «Прикладная геохимия, петрография, минералогия», 130304 «Геология нефти и газа», 130203 «Технология и техника разведки месторождений полезных ископаемых», 280101 «Безопасность жизнедеятельности в техносфере», 020201 «Биология», 020208 «Биохимия», 020801 «Экология», 020803 «Биоэкология» СФУ и может быть полезен для всех категорий студентов, изучающих в том или ином объеме высшую математику.
Данный конспект содержит необходимый лекционный материал по разделам курса высшей математики. Изложение теоретического материала по всем темам сопровождается рассмотрением примеров и задач, ведется на доступном, но логически выстроенном, строгом языке.
Конспект лекций может быть использован студентами для самостоятельного изучения теоретического материала данных разделов, является базой для подготовки к коллоквиуму, семестровым экзаменам по высшей математики на первом и втором курсах.
7
РАЗДЕЛ 1. ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
ГЛАВА 1. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Современные шахты, рудники, карьеры, обогатительные фабрики представляют собой сложные комплексные предприятия, оснащенные мощной горной техникой. Планирование и управление технологическими процессами и горными предприятиями, объединениями требуют от руководителя любого ранга умения быстро и правильно принимать решения. При этом его функции все более усложняются из-за роста объемов производства, ухудшения горно-геологических условий и экологической обстановки, дальнейшего развития техники, повышению требований к максимальному использованию недр и охране окружающей среды. Поэтому возникла необходимость зарождения и развития новой дисциплины – исследования операций
– науки о количественном обосновании решений, которая опирается на теоретические положения разделов линейного и нелинейного программирования. Для того чтобы эффективно освоить данные разделы и применять их при решении прикладных задач необходимо изучить основные понятия раздела высшей математики – линейной алгебры. Такими являются понятия «матрица», определитель, матричная запись системы линейных и нелинейных уравнений.
8
ЛЕКЦИЯ 1.1. МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ
1.1.1. Виды матриц
Матрица – удобный способ организации данных во многих задачах. В середине XIX века в работах английских математиков У.Гамильтона и А.Кели впервые было введено понятие матрицы, которое в настоящее время используется весьма широко. Значительная часть математических моделей различных объектов и процессов записывается в простой компактной матричной форме.
В частности, с помощью матриц удобно записывать некоторые экономические зависимости. Например, таблица распределения ресурсов по определенным отраслям экономики (усл.ед.) (табл. 1.1.1)
|
|
Таблица 1.1.1 |
||
Ресурсы |
Отрасли экономики |
|
||
Промышленность |
Сельское хозяйство |
|||
|
||||
Электроэнергия |
5,3 |
4,1 |
|
|
Трудовые ресурсы |
2,8 |
2,1 |
|
|
Водные ресурсы |
4,8 |
5,1 |
|
|
может быть записана в компактной форме в виде матрицы распределения ресурсов по отраслям:
|
|
5,3 |
4,1 |
|
А3×2 |
|
2,8 |
2,8 |
|
= |
. |
|||
|
|
4,8 |
5,1 |
|
|
|
|
Введем понятие матрицы.
Числовой матрицей размерности m×n или (m×n) – матрицей, называется прямоугольная таблица чисел, состоящая из m строк и n столбцов:
a11 |
a12 |
... |
a1n |
||
a |
a |
... |
a |
|
|
Аm×n = 21 |
22 |
|
|
2n . |
|
|
... |
... |
... |
|
|
... |
|
||||
am1 |
am2 |
... |
amn |
||
Числа аij называются элементами матрицы, где ij – индекс элемента, i
– номер строки (i = 1,2,…m), j – номер столбца (j = 1,2,…,n).
Наряду с круглыми скобками используются и другие обозначения матрицы, например, [.], ||.||.
Матрицы называются равными, если они имеют одинаковые размерности, и их соответствующие элементы равны (аij = bij).
Матрицы можно классифицировать по размерности или по виду элементов.