- •Гидрогазодинамика
- •Лекция 1. Предмет «гидрогазодинамика». История развития
- •Лекция 2. Основные свойства жидкостей и газов
- •Гидростатическое давление
- •Уравнение поверхности равного давления
- •Равновесие жидкости при наличии негравитационных массовых сил
- •Эпюра гидростатического давления
- •Давление жидкости на плоскую стенку
- •Давление жидкости на криволинейные стенки
- •Закон Архимеда
- •Лекция 5. Капиллярные поверхностные силы
- •Кинематика точки в криволинейных координатах
- •Лекция 7. Поле скоростей и ускорений сплошной среды
- •Траектории частиц и линии тока
- •Интенсивность вихря. Вторая теорема Гемгольца
- •Циркуляция скорости
- •Функция тока плоского течения
- •Лекция 11. Методы расчета потенциальных потоков
- •Лекция 12. Наложение потенциальных потоков
- •Уравнение Бернулли для идеальной жидкости
- •Лекция 15. Уравнение энергии
- •Параметры торможения потока
- •Лекция 17. Возмущения в газе при движении тела
- •Критические параметры потока
- •Энтропия потока
- •Лекция 18. Сопло лаваля
- •Лекция 19. Приведенная скорость газа
- •Лекция 21. Прямой скачок уплотнения.
- •Лекция 22. Косой скачок уплотнения
- •Сверхзвуковое течение Прандтля-Майера
- •Обтекание плоской стенки
- •Обтекание выпуклой криволинейной стенки
- •Истечение из плоского сопла с косым срезом
- •Лекция 23. Движение газа в соплах
- •Сужающиеся сопла
- •Режимы течения в сопле Лаваля
- •Рабочий процесс эжектора
- •Лекция 25. Расчет газового эжектора
- •Критические режимы работы эжектора
- •Характеристики эжектора
- •26.2. Уравнение Бернулли для элементарной струйки реальной жидкости
- •Лекция 27. Основы теории гидродинамического подобия
- •Лекция 28. Режимы движения жидкости
- •Ламинарное течение жидкости
- •Лекция 29. Турбулентное течение жидкости
- •Лекция 30. Пограничный слой
- •Лекция 31. Гидравлические сопротивления и потери напора
- •Гидравлический расчет простого трубопровода
- •Гидравлический расчет сложных трубопроводов
- •Гидравлические характеристики трубопроводов
- •Истечение жидкости через затопленное отверстие
- •Истечение жидкости при переменном напоре
- •Истечение через насадки
- •Кавитация
- •Гидравлический удар
Интенсивность вихря. Вторая теорема Гемгольца
С вихревой трубкой связано понятие интенсивности вихря, которое достаточно абстрактно и вводится чисто формально.
В математике потоком векторного поля или потоком вектора через поверхность называют интеграл по поверхности
,
где Аn – проекция вектора на нормаль к площадке ds. Это произведение в соответствии с рис.9.2. можно представить в виде
.
Очевидно, что поток вектора через поверхность есть величина скалярная и зависит от ориентации площадки. Если поверхность расположена так, что поток пересекает ее инзутри наружу, то Q > 0, если снаружи внутрь, то Q < 0.
Физический смысл потока зависит от вида поля. Если рассматривается поле скоростей , то есть объемный расход жидкости через элементарную площадку. Если , то dQ представляет массовый расход жидкости.
Интенсивностью вихря называется поток вектора через выделенную площадку, т.е.
. (9.3)
Иногда в качестве интенсивности вихря рассматривают поток вектора угловой скорости
. (9.4)
Для того, чтобы различать эти величины, будем называть интенсивностью завихренности. Очевидно, что
. (9.5)
Воспользуемся формулой Гаусса-Остроградского
и перейдем от поверхностного интеграла к объемному.
В нашем случае
. (9.6)
Раскроем выражение, стоящее под знаком интеграла, имея в виду, что проекции вектора вихря имеют вид:
Получим для подинтегральной функции
.
Этот результат соответствует известному в теории поля соотношению
.
Отсюда следует, что (5.20) можно представить в виде
. (9.7)
Рассмотрим вихревой шнур, ограниченный поверхностями вихревой трубки Sбок и двумя поверхностями S1 и S2, пересекающими сечение вихревой трубки, как показано на рис.9.3.
Так как вектор направлен по касательной к боковой поверхности и, следовательно, перпендикулярен к нормали этой поверхности, то на боковой поверхности . Поэтому уравнение (5.21) можно представить в виде
или
.
Для вихревой трубки малого сечения можно принять, что угловая скорость одинакова по всему сечению, т.е.
; .
Тогда
. (9.8)
В общем случае имеем
. (9.9)
Этот результат отражает сущность второй теоремы Гемгольца:
Интенсивность вихревого шнура на всей его протяженности остается постоянной.
Отсюда следует другой важный вывод, сделанный Гемгольцем в 1855 г.:
Так как произведение остается неизменным, то уменьшение площади сечения вихревой трубки S должно приводить к увеличению окружной скорости. Но при стремлении площади сечения вихревой трубки к нулю угловая скорость должна увеличиваться до бесконечности, что физически невозможно. Следовательно, вихрь не может закончиться в жидкости острием.
Таким образом, возможными формами существования вихрей являются следующие:
-
Концы вихря совпадают, т.е. вихревая трубка замыкается сама на себя и образует вихревое кольцо, вид которого показан на рис.9.4.
Для демонстрации подобных вихрей используется устройство, называемое ящиком Томпсона и изображенное на рис.9.5.
Устройство представляет собой ящик с упругими стенками и круглым отверстием. Если его заполнить дымом и ударить по стенке, то из отверстия вылетит вихревое кольцо. При этом можно наблюдать очень интересное явление. Если поднести к вихревому кольцу острие ножа, то кольцо отклонится, что свидетельствует о том, что разрезать вихрь ножом невозможно. Н.Е. Жуковский в 1894 г. аналитически доказал этот факт.
-
Концы вихря лежат либо на границах рассматриваемой жидкости, либо один конец опирается на границу жидкости, а другой – на твердую стенку. К этому типу вихрей принадлежат воздушные и водяные смерчи.
Рис.9.7. Установка, искусственно создающая водяной вихрь.
Водяной вихрь такого типа можно создать на установке, показанной на рис.9.7 и описанной Н.Е. Жуковским. Если над чаном с водой установить на расстоянии около 3 м полый шкив диаметром 1 м с несколькими перегородками, расположенными в радиальных плоскостях, и шкив быстро вращать, то шкив начнет закручивать воздух. На поверхности воды в чане давление воды понизится, вода начнет подниматься вверх и вращаться вместе с воздухом. Через некоторое время над чаном образуется водяной столб, внизу сплошной, а вверху образованный из капелек.